Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (786091), страница 42

Файл №786091 Диссертация (Метод ортогональных полиномов в механике микрополярных и классических упругих тонких тел) 42 страницаДиссертация (786091) страница 422019-03-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

для любого ε > 0существует δ(ε) > 0, чтоΦ0 (x′ , x3 )| < ε, ||P(r) (x′ , x3 )|| < ε, ||µµ(r) (x′ , x3 )|| < ε,|U0 (x′ , x3 )| < ε, |Φee(−)0 < δ < x3 < 1 − δ, x′ ∈ S , x3 ∈ [0, 1].Следует заметить, что в рассматриваемом случае тензорные поля u, φ , P и µe e(решения поставленной задачи) представляются в видеu(x′ , x3 ) = u(N ) (x′ , x3 ) + U0 (x′ , x3 ), φ(x′ , x3 ) = φ(N ) (x′ , x3 ) + Φ0 (x′ , x3 ),P(x′ , x3 ) = P(r,N ) (x′ , x3 ) + P0(r) (x′ , x3 ), µ (x′ , x3 ) = µ (r,N ) (x′ , x3 ) + µ 0(r) (x′ , x3 ),eeeeee(3.7.15)где u(N ) , φ (N ) , P(r,N ) и µ (r,N ) даются соотношениями (3.7.2), а тензорные поляe ≡ µ (r) (U0 , Φ 0 ) — формуламиP0(r) ≡ P(r) (U0 ,eΦ 0 ) и µ 0(r)eeee−−−−2M·M·3·3·P0(r) = g P− C· NP U0 + C· NP Φ 0 + A· ∂3 U0 + g P− A· ∂3Φ 0 − C ⊗C· Φ0,≃≃≃≃(r)(r)MMee ≃−Pµ 0(r) = g − D≃(r)MeM·−P(r)M−M·· NP Φ 0 + D· ∂3Φ 0 + g − B≃≃3·−2(3.7.16)· NP U0 + B· ∂3 U0 − B ⊗C· Φ0.≃e ≃3·Таким образом, нужно найти корректирующие слагаемые U0 и Φ 0 , с помощью которых в свою очередь формулами (3.7.16) определяются корректирующие слагаемые P0(r) и µ 0(r) так, что тензоры P и µ , представленные двумяee сe граничными условиямиeпоследними формулами(3.7.15),были согласованына лицевых поверхностях, т.е.

с условиями (3.5.2) и (3.5.4). При этом должновыполняться все вышеуказанные условия.Покажем, что векторные поля U0 и Φ 0 , удовлетворяющие вышеуказаннымусловиям, существуют. В данном случае используем полиномы Лежандра.Ищем корректирующие слагаемые U0 и Φ 0 так же, как это делается дляклассического варианта теории в [69], а именно]][ ∗[ ∗∗(x3 ) ,(x3 ) − Pm+1(x3 ) − Pm∗ (x3 ) + Bm+1 (x′ ) Pm+3U0 (x′ , x3 ) = Bm (x′ ) Pm+2]][ ∗[ ∗∗(x3 ) , m > N,(x3 ) − Pm+1(x3 ) − Pm∗ (x3 ) + Dm+1 (x′ ) Pm+3Φ 0 (x′ , x3 ) = Dm (x′ ) Pm+2(3.7.17)где m — достаточно большое любое фиксированное целое число больше N .197Нетрудно заметить, что(m)(m+2)(m+1)(m+3)(m)(m+2)(m+1)(m+3)U 0 (x′ ) = − U 0 (x′ ) = −Bm (x′ ),U 0 (x′ ) = − U 0 (x′ ) = −Bm+1 (x′ ),Φ 0 (x′ ) = − Φ 0 (x′ ) = −Dm (x′ ),Φ 0 (x′ ) = − Φ 0 (x′ ) = −Dm+1 (x′ ).(k)(k)Следовательно, U0 (x′ ) = 0 и Φ 0 (x′ ) = 0, если k ̸= m, m + 3, в частности,(k)(k)U0 (x′ ) = 0 и Φ 0 (x′ ) = 0, если k ≤ N , т.е.

функции U0 (x′ , x3 ) и Φ 0 (x′ , x3 )удовлетворяют вышеуказанному условию 2).Заметим также, что в силу (2.1.7) из (3.7.17) будем иметь±= 0,= 0, (∂I U0 ) = (∂I U0 )= U0 33 x =0;1 x =0;1= 0.= 0, (∂I Φ 0 )± = (∂I Φ 0 )Φ±0 = Φ0 33U±0x =0;1Теперь найдем выражения для (∂3 U0 ) = (∂3 U0 )(3.7.18)x =0;1и (∂3Φ 0 ) = (∂3Φ 0 )±±x3 =0;1x3 =0;1с помощью заданных величин. Прежде всего отметим, что посредством рекуррентного соотношения (2.1.11) из (3.7.17) простыми вычислениями получим∗∗∂3 U0 = 2(2m + 3)Bm (x′ )Pm+1(x3 ) + 2(2m + 5)Bm+1 (x′ )Pm+2(x3 ),∗∗∂3Φ 0 = 2(2m + 3)Dm (x′ )Pm+1(x3 ) + 2(2m + 5)Dm+1 (x′ )Pm+2(x3 ).(3.7.19)Отсюда, учитывая значения полиномов Лежандра на концах сегмента (2.1.7),найдем[]1(∂3 U0 )+ − (−1)n (∂3 U0 )− ,4(2n + 3)[]1Dn (x′ ) =(∂3Φ 0 )+ − (−1)n (∂3Φ 0 )− , n = m, m + 1.4(2n + 3)Bn (x′ ) =(3.7.20)С целью определения (∂3 U0 )± и (∂3Φ 0 )± воспользуемся соотношениями (3.7.16).Из них с учетом (3.7.18) приходим к формулам(−)−(−)−(−)3·3·C· (∂3 U0 )− + A· (∂3Φ 0 )− = P 0(r) ,≃≃e(−)−(−)−(−)3·−3·−B·(∂U)+D·(∂Φ)=µ3 03 00(r) ,≃≃e(+)−−(+)−−+ (+) −(+)−−(+)−−(3.7.21)+ (+) −(+)N·3·3·N·) · (∂3 U0 )+ + ( A− g +3 g Q− A(C− g +3 g Q− C) · (∂3Φ 0 )+ = P 0(r) ,≃≃≃≃Q (r)NQ (r)Ne(B≃3·+ (+) −N·+ (+) −N·(3.7.22)(+)) · (∂3 U0 ) + ( D− g+ g − D− g+ g − B) · (∂3Φ 0 ) = µ 0(r) .≃≃≃Q (r)NQ (r)Ne3Q+3·3Q+Вводя обозначения(+)++ (+)−(+)−−+ (+) −N·3·n·3·),C= g −3 C= (C− g +3 g Q− C≃≃ (r)≃≃(r) nQ (r)NC ⇒ A ⇒ B ⇒ D,соотношения (3.7.22) можно записать в виде(+)+(+)+(+)3·3·C· (∂3 U0 )+ + A· (∂3Φ 0 )+ = P 0(r) ,≃ (r)≃ (r)e(+)+(+)+(+)3·+3·+B·(∂U)+D·(∂Φ)=µ3 03 00(r) .≃ (r)≃ (r)e(3.7.23)198−+3+3−Умножая (3.7.21) слева скалярно на r , а (3.7.23) на r = g 3− rm , получимm(−)− −(−)− −(−)−3C 3· 3· · (∂3 U0 )− + A 3· 3· · (∂3Φ 0 )− = P 0(r),eee−(−)− −(−)− −(−)3B 3· 3· · (∂3 U0 )− + D 3· 3· · (∂3Φ 0 )− = µ 0(r),eee(+)+ +(+)+ +(3.7.24)(+)+3· 3·3· 3·3C (r)· (∂3 U0 )+ + A (r)· (∂3Φ 0 )+ = P 0(r),eee(+)+ +(+)+ +(+)+3· 3·3· 3·3· (∂3 U0 )+ + D (r)· (∂3Φ 0 )+ = µ 0(r).B (r)eee(3.7.25)Далее, используя последние два соотношения (3.7.15), граничные условия налицевых поверхностях (3.5.2) и (3.5.4) в рассматриваемом случае представятсяв форме√√(−)−3P 0(r)(−)−3µ 0(r)=−=−((√−− (−)(−)−−− (−)(−)−g33g33P+µ +3P (r,N)3µ (r,N))(+)+,),3P 0(r)=(+)+3µ 0(r)=√++ (+)(+)+++ (+)(+)−3g 3 3 P − P (r,N),g33µ −(3.7.26)3µ (r,N).Итак, функции в правых частях (3.7.24) и (3.7.25) определены с помощьюизвестных величин и искомых моментов векторов перемещений и вращений(−)−3P 0(r),(+)+3P 0(r),−(−)+(+)33µ 0(r)формулами (3.7.26).

Так как выражения для функциии µ 0(r)найдены, то (3.7.24) и (3.7.25) можно рассматривать как системы алгебраических уравнений для определения искомых величин (∂3 U0 )± и (∂3Φ 0 )± . Разрешаяэти системы уравнений, получим((−))(−)− −(−)(−)− − )−1 ((−)(−)−(−)(−)−′′3· 3·3· 3·′′33µ(∂3 U0 ) = A − − · C− D −− · B· A − − · P 0(r) − D − − · 0(r) ,e 3· 3· ee 3· 3· e ) ( e 3· 3·e 3· 3·)((−)(−)− −(−)−(−)(−)− −(−)(−)−1(−)−33,− B ′ − − · µ 0(r)· C ′ − − · P 0(r)(∂3Φ 0 )− = C ′ − − · A 3· 3· − B ′ − − · D 3· 3·e 3· 3·e 3· 3· ee 3· 3·e 3· 3· e)((+)(+)+(+)(+)+ + )−1 ((+)(+)+ +(+)(+)+′3· 3·′3′3′3· 3·+· A − − · P 0(r) − D − − · µ 0(r) ,(∂3 U0 ) = A − − · C (r) − D − − · B (r)(r) 3· 3· e(r) 3· 3· eee (r) 3· 3·e (r) 3· 3·e)((+)(+)+ +(−)(+)+ + )−1 ((+)(+)+(+)(+)+333· 3·3· 3·.− B ′ − − · D (r)· C ′ − − · P 0(r)− B ′ − − · µ 0(r)(∂3Φ 0 )+ = C ′ − − · A (r)e (r) 3· 3·e (r) 3· 3·e (r) 3· 3· ee (r) 3· 3· e−(3.7.27)(3.7.28)Здесь введены следующие обозначения(−)(−)− −C ′ − − = ( C 3· 3· )−1 ,e 3· 3·e(+)(+)+ +3· 3· −1C ′ − − = ( C (r)) ,(r)3·3·eeC ⇒ A ⇒ B ⇒ D.(−)−Заметим, что в соотношения (3.7.27) и (3.7.28) выражения для−(−)+(+)3P 0(r),(+)+3P 0(r),33µ 0(r)и µ 0(r)с целью сокращения письма подставлять не стали.

Заметим также,что, имея в виду реальную физическую задачу, можно утверждать, что нормывеличин (∂3 U0 )± и (∂3Φ 0 )± , вычисленные с помощью (3.7.27) и (3.7.28), должныбыть ограниченными.Учитывая (3.7.27) и (3.7.28), из (3.7.20) получим выражения для Bn (x′ ) иDn (x′ ) при n = m, m + 1, с помощью которых в свою очередь на основании(3.7.17) найдем окончательный вид корректирующих слагаемых U0 (x′ , x3 ) иΦ 0 (x′ , x3 ). Далее посредством этих функций и получаемых на основании их199корректирующих слагаемых для тензоров напряжений и моментных напряжений (3.7.16) из (3.7.15) получим решения рассматриваемой задачи.

При этомполя тензоров напряжений P(x′ , x3 ) и моментных напряжений µ (x′ , x3 ) будутeсогласованы с краевыми условиямифизического содержания наe лицевых поверхностях чем и доказывается выполнение условия 1). Нетрудно проверить,что соблюдается и условие 3). В самом деле, учитывая, что из (3.7.20) имеют место соотношения |Bm | = O(m−1 ) и |Dm | = O(m−1 ), в силу второго неравенства3(3.7.14) из (3.7.17) заключаем, что верны следующие оценки: |U0 | = O(m− 2 ) и333Φ0 | = O(m− 2 ), а также |∂I U0 | = O(m− 2 ) и |∂I Φ 0 | = O(m− 2 ). Нетрудно видеть,|Φ11что на основании (3.7.19) имеем |∂3 U0 | = O(m− 2 ) и |∂3Φ 0 | = O(m− 2 ). Наконец,учитывая вышеприведенные оценки величин, входящих в правые части (3.7.16),11µ0(r) || = O(m− 2 ).

Таким образом, илегко показать, что ||P0(r) || = O(m− 2 ) и ||µeвыполнение условия 3)e обеспечено, и тем самымсуществование корректирующих слагаемых в виде (3.7.17) доказано.Рассмотрим частные случаи:а) Тело обладает центром симметрии. В этом случае A = 0 и B = 0, поэтоeeму вместо (3.7.24) и (3.7.25) будем иметь следующие системыалгебраическихуравнений:(−)− −(−)−3C 3· 3· · (∂3 U0 )− = P 0(r),ee+++(+)(+)3· 3·3C (r)· (∂3 U0 )+ = P 0(r),ee(−)− −(−)−3D 3· 3· · (∂3Φ 0 )− = µ 0(r),ee+++(+)(+)3· 3·3D (r)· (∂3Φ 0 )+ = µ 0(r).ee(3.7.29)Разрешая системы уравнений (3.7.29) относительно (∂3 U0 )± и (∂3Φ 0 )± , получим(−)(−)−(−)(−)−33,, (∂3Φ 0 )− = D ′ − − · µ 0(r)(∂3 U0 )− = C ′ − − · P 0(r)3·3·3·3·ee(+)(+)+(+)(+)+33(∂3 U0 )+ = C ′ − − · P 0(r), (∂3Φ 0 )+ = D ′ − − · µ 0(r),e (r) 3· 3·e (r) 3· 3·(−)−(+)+−(−)(+)(3.7.30)+3333где, конечно, P 0(r), P 0(r), µ 0(r)и µ 0(r)определяются с помощью (3.7.26).

Учитывая (3.7.30), из (3.7.20) найдем(+)+(−)(−)−[(+)′]133− (−1)n C ′ − − · P 0(r),C − − · P 0(r)4(2n + 3) e (r) 3· 3·e 3· 3·(−)[(+)′](+)+(−)−133Dn (x′ ) =D − − · µ 0(r)− (−1)n D ′ − − · µ 0(r),4(2n + 3) e (r) 3· 3·e 3· 3·Bn (x′ ) =(3.7.31)n = m, m + 1.Подставляя (3.7.31) в (3.7.17), получим окончательные выражения для корректирующих слагаемых U0 и Φ 0 , удовлетворяющих всем вышеприведеннымусловиям(+)+(−)(−)−]][ ∗[(+)′133C − − · P 0(r)− (−1)n C ′ − − · P 0(r)Pm+2 (x3 ) − Pm∗ (x3 ) +4(2m + 3) e (r) 3· 3·e 3· 3·(−)(−)−(+)+]][ ∗[(+)′1∗33(x3 ) ,Pm+3 (x3 ) − Pm+1+C − − · P 0(r)− (−1)n C ′ − − · P 0(r)4(2m + 5) e (r) 3· 3·e 3· 3·+(+)(−)]][ ∗[ ′(+)(−)−133Pm+2 (x3 ) − Pm∗ (x3 ) +Φ 0 (x′ , x3 ) =D − − · µ 0(r)− (−1)n D ′ − − · µ 0(r)4(2m + 3) e (r) 3· 3·e 3· 3·+(+)(−)]][ ∗[(+)(−)−1∗33(x3 ) , m > N,+D ′ − − · µ 0(r)−(−1)n D ′ − − · µ 0(r)Pm+3 (x3 ) − Pm+14(2m + 5) e (r) 3· 3·e 3· 3·U0 (x′ , x3 ) =(3.7.32)200Подставляя (3.7.32) в (3.7.15), найдем в рассматриваемом случае выражение для векторов перемещений u(x′ , x3 ) и вращений φ (x′ , x3 ), а также тензоровнапряжений P и моментных напряжений µ .eб) Микрополярноеизотропное тело с eцентром симметрии.

Характеристики

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6502
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее