Диссертация (786091), страница 42
Текст из файла (страница 42)
для любого ε > 0существует δ(ε) > 0, чтоΦ0 (x′ , x3 )| < ε, ||P(r) (x′ , x3 )|| < ε, ||µµ(r) (x′ , x3 )|| < ε,|U0 (x′ , x3 )| < ε, |Φee(−)0 < δ < x3 < 1 − δ, x′ ∈ S , x3 ∈ [0, 1].Следует заметить, что в рассматриваемом случае тензорные поля u, φ , P и µe e(решения поставленной задачи) представляются в видеu(x′ , x3 ) = u(N ) (x′ , x3 ) + U0 (x′ , x3 ), φ(x′ , x3 ) = φ(N ) (x′ , x3 ) + Φ0 (x′ , x3 ),P(x′ , x3 ) = P(r,N ) (x′ , x3 ) + P0(r) (x′ , x3 ), µ (x′ , x3 ) = µ (r,N ) (x′ , x3 ) + µ 0(r) (x′ , x3 ),eeeeee(3.7.15)где u(N ) , φ (N ) , P(r,N ) и µ (r,N ) даются соотношениями (3.7.2), а тензорные поляe ≡ µ (r) (U0 , Φ 0 ) — формуламиP0(r) ≡ P(r) (U0 ,eΦ 0 ) и µ 0(r)eeee−−−−2M·M·3·3·P0(r) = g P− C· NP U0 + C· NP Φ 0 + A· ∂3 U0 + g P− A· ∂3Φ 0 − C ⊗C· Φ0,≃≃≃≃(r)(r)MMee ≃−Pµ 0(r) = g − D≃(r)MeM·−P(r)M−M·· NP Φ 0 + D· ∂3Φ 0 + g − B≃≃3·−2(3.7.16)· NP U0 + B· ∂3 U0 − B ⊗C· Φ0.≃e ≃3·Таким образом, нужно найти корректирующие слагаемые U0 и Φ 0 , с помощью которых в свою очередь формулами (3.7.16) определяются корректирующие слагаемые P0(r) и µ 0(r) так, что тензоры P и µ , представленные двумяee сe граничными условиямиeпоследними формулами(3.7.15),были согласованына лицевых поверхностях, т.е.
с условиями (3.5.2) и (3.5.4). При этом должновыполняться все вышеуказанные условия.Покажем, что векторные поля U0 и Φ 0 , удовлетворяющие вышеуказаннымусловиям, существуют. В данном случае используем полиномы Лежандра.Ищем корректирующие слагаемые U0 и Φ 0 так же, как это делается дляклассического варианта теории в [69], а именно]][ ∗[ ∗∗(x3 ) ,(x3 ) − Pm+1(x3 ) − Pm∗ (x3 ) + Bm+1 (x′ ) Pm+3U0 (x′ , x3 ) = Bm (x′ ) Pm+2]][ ∗[ ∗∗(x3 ) , m > N,(x3 ) − Pm+1(x3 ) − Pm∗ (x3 ) + Dm+1 (x′ ) Pm+3Φ 0 (x′ , x3 ) = Dm (x′ ) Pm+2(3.7.17)где m — достаточно большое любое фиксированное целое число больше N .197Нетрудно заметить, что(m)(m+2)(m+1)(m+3)(m)(m+2)(m+1)(m+3)U 0 (x′ ) = − U 0 (x′ ) = −Bm (x′ ),U 0 (x′ ) = − U 0 (x′ ) = −Bm+1 (x′ ),Φ 0 (x′ ) = − Φ 0 (x′ ) = −Dm (x′ ),Φ 0 (x′ ) = − Φ 0 (x′ ) = −Dm+1 (x′ ).(k)(k)Следовательно, U0 (x′ ) = 0 и Φ 0 (x′ ) = 0, если k ̸= m, m + 3, в частности,(k)(k)U0 (x′ ) = 0 и Φ 0 (x′ ) = 0, если k ≤ N , т.е.
функции U0 (x′ , x3 ) и Φ 0 (x′ , x3 )удовлетворяют вышеуказанному условию 2).Заметим также, что в силу (2.1.7) из (3.7.17) будем иметь±= 0,= 0, (∂I U0 ) = (∂I U0 )= U0 33 x =0;1 x =0;1= 0.= 0, (∂I Φ 0 )± = (∂I Φ 0 )Φ±0 = Φ0 33U±0x =0;1Теперь найдем выражения для (∂3 U0 ) = (∂3 U0 )(3.7.18)x =0;1и (∂3Φ 0 ) = (∂3Φ 0 )±±x3 =0;1x3 =0;1с помощью заданных величин. Прежде всего отметим, что посредством рекуррентного соотношения (2.1.11) из (3.7.17) простыми вычислениями получим∗∗∂3 U0 = 2(2m + 3)Bm (x′ )Pm+1(x3 ) + 2(2m + 5)Bm+1 (x′ )Pm+2(x3 ),∗∗∂3Φ 0 = 2(2m + 3)Dm (x′ )Pm+1(x3 ) + 2(2m + 5)Dm+1 (x′ )Pm+2(x3 ).(3.7.19)Отсюда, учитывая значения полиномов Лежандра на концах сегмента (2.1.7),найдем[]1(∂3 U0 )+ − (−1)n (∂3 U0 )− ,4(2n + 3)[]1Dn (x′ ) =(∂3Φ 0 )+ − (−1)n (∂3Φ 0 )− , n = m, m + 1.4(2n + 3)Bn (x′ ) =(3.7.20)С целью определения (∂3 U0 )± и (∂3Φ 0 )± воспользуемся соотношениями (3.7.16).Из них с учетом (3.7.18) приходим к формулам(−)−(−)−(−)3·3·C· (∂3 U0 )− + A· (∂3Φ 0 )− = P 0(r) ,≃≃e(−)−(−)−(−)3·−3·−B·(∂U)+D·(∂Φ)=µ3 03 00(r) ,≃≃e(+)−−(+)−−+ (+) −(+)−−(+)−−(3.7.21)+ (+) −(+)N·3·3·N·) · (∂3 U0 )+ + ( A− g +3 g Q− A(C− g +3 g Q− C) · (∂3Φ 0 )+ = P 0(r) ,≃≃≃≃Q (r)NQ (r)Ne(B≃3·+ (+) −N·+ (+) −N·(3.7.22)(+)) · (∂3 U0 ) + ( D− g+ g − D− g+ g − B) · (∂3Φ 0 ) = µ 0(r) .≃≃≃Q (r)NQ (r)Ne3Q+3·3Q+Вводя обозначения(+)++ (+)−(+)−−+ (+) −N·3·n·3·),C= g −3 C= (C− g +3 g Q− C≃≃ (r)≃≃(r) nQ (r)NC ⇒ A ⇒ B ⇒ D,соотношения (3.7.22) можно записать в виде(+)+(+)+(+)3·3·C· (∂3 U0 )+ + A· (∂3Φ 0 )+ = P 0(r) ,≃ (r)≃ (r)e(+)+(+)+(+)3·+3·+B·(∂U)+D·(∂Φ)=µ3 03 00(r) .≃ (r)≃ (r)e(3.7.23)198−+3+3−Умножая (3.7.21) слева скалярно на r , а (3.7.23) на r = g 3− rm , получимm(−)− −(−)− −(−)−3C 3· 3· · (∂3 U0 )− + A 3· 3· · (∂3Φ 0 )− = P 0(r),eee−(−)− −(−)− −(−)3B 3· 3· · (∂3 U0 )− + D 3· 3· · (∂3Φ 0 )− = µ 0(r),eee(+)+ +(+)+ +(3.7.24)(+)+3· 3·3· 3·3C (r)· (∂3 U0 )+ + A (r)· (∂3Φ 0 )+ = P 0(r),eee(+)+ +(+)+ +(+)+3· 3·3· 3·3· (∂3 U0 )+ + D (r)· (∂3Φ 0 )+ = µ 0(r).B (r)eee(3.7.25)Далее, используя последние два соотношения (3.7.15), граничные условия налицевых поверхностях (3.5.2) и (3.5.4) в рассматриваемом случае представятсяв форме√√(−)−3P 0(r)(−)−3µ 0(r)=−=−((√−− (−)(−)−−− (−)(−)−g33g33P+µ +3P (r,N)3µ (r,N))(+)+,),3P 0(r)=(+)+3µ 0(r)=√++ (+)(+)+++ (+)(+)−3g 3 3 P − P (r,N),g33µ −(3.7.26)3µ (r,N).Итак, функции в правых частях (3.7.24) и (3.7.25) определены с помощьюизвестных величин и искомых моментов векторов перемещений и вращений(−)−3P 0(r),(+)+3P 0(r),−(−)+(+)33µ 0(r)формулами (3.7.26).
Так как выражения для функциии µ 0(r)найдены, то (3.7.24) и (3.7.25) можно рассматривать как системы алгебраических уравнений для определения искомых величин (∂3 U0 )± и (∂3Φ 0 )± . Разрешаяэти системы уравнений, получим((−))(−)− −(−)(−)− − )−1 ((−)(−)−(−)(−)−′′3· 3·3· 3·′′33µ(∂3 U0 ) = A − − · C− D −− · B· A − − · P 0(r) − D − − · 0(r) ,e 3· 3· ee 3· 3· e ) ( e 3· 3·e 3· 3·)((−)(−)− −(−)−(−)(−)− −(−)(−)−1(−)−33,− B ′ − − · µ 0(r)· C ′ − − · P 0(r)(∂3Φ 0 )− = C ′ − − · A 3· 3· − B ′ − − · D 3· 3·e 3· 3·e 3· 3· ee 3· 3·e 3· 3· e)((+)(+)+(+)(+)+ + )−1 ((+)(+)+ +(+)(+)+′3· 3·′3′3′3· 3·+· A − − · P 0(r) − D − − · µ 0(r) ,(∂3 U0 ) = A − − · C (r) − D − − · B (r)(r) 3· 3· e(r) 3· 3· eee (r) 3· 3·e (r) 3· 3·e)((+)(+)+ +(−)(+)+ + )−1 ((+)(+)+(+)(+)+333· 3·3· 3·.− B ′ − − · D (r)· C ′ − − · P 0(r)− B ′ − − · µ 0(r)(∂3Φ 0 )+ = C ′ − − · A (r)e (r) 3· 3·e (r) 3· 3·e (r) 3· 3· ee (r) 3· 3· e−(3.7.27)(3.7.28)Здесь введены следующие обозначения(−)(−)− −C ′ − − = ( C 3· 3· )−1 ,e 3· 3·e(+)(+)+ +3· 3· −1C ′ − − = ( C (r)) ,(r)3·3·eeC ⇒ A ⇒ B ⇒ D.(−)−Заметим, что в соотношения (3.7.27) и (3.7.28) выражения для−(−)+(+)3P 0(r),(+)+3P 0(r),33µ 0(r)и µ 0(r)с целью сокращения письма подставлять не стали.
Заметим также,что, имея в виду реальную физическую задачу, можно утверждать, что нормывеличин (∂3 U0 )± и (∂3Φ 0 )± , вычисленные с помощью (3.7.27) и (3.7.28), должныбыть ограниченными.Учитывая (3.7.27) и (3.7.28), из (3.7.20) получим выражения для Bn (x′ ) иDn (x′ ) при n = m, m + 1, с помощью которых в свою очередь на основании(3.7.17) найдем окончательный вид корректирующих слагаемых U0 (x′ , x3 ) иΦ 0 (x′ , x3 ). Далее посредством этих функций и получаемых на основании их199корректирующих слагаемых для тензоров напряжений и моментных напряжений (3.7.16) из (3.7.15) получим решения рассматриваемой задачи.
При этомполя тензоров напряжений P(x′ , x3 ) и моментных напряжений µ (x′ , x3 ) будутeсогласованы с краевыми условиямифизического содержания наe лицевых поверхностях чем и доказывается выполнение условия 1). Нетрудно проверить,что соблюдается и условие 3). В самом деле, учитывая, что из (3.7.20) имеют место соотношения |Bm | = O(m−1 ) и |Dm | = O(m−1 ), в силу второго неравенства3(3.7.14) из (3.7.17) заключаем, что верны следующие оценки: |U0 | = O(m− 2 ) и333Φ0 | = O(m− 2 ), а также |∂I U0 | = O(m− 2 ) и |∂I Φ 0 | = O(m− 2 ). Нетрудно видеть,|Φ11что на основании (3.7.19) имеем |∂3 U0 | = O(m− 2 ) и |∂3Φ 0 | = O(m− 2 ). Наконец,учитывая вышеприведенные оценки величин, входящих в правые части (3.7.16),11µ0(r) || = O(m− 2 ).
Таким образом, илегко показать, что ||P0(r) || = O(m− 2 ) и ||µeвыполнение условия 3)e обеспечено, и тем самымсуществование корректирующих слагаемых в виде (3.7.17) доказано.Рассмотрим частные случаи:а) Тело обладает центром симметрии. В этом случае A = 0 и B = 0, поэтоeeму вместо (3.7.24) и (3.7.25) будем иметь следующие системыалгебраическихуравнений:(−)− −(−)−3C 3· 3· · (∂3 U0 )− = P 0(r),ee+++(+)(+)3· 3·3C (r)· (∂3 U0 )+ = P 0(r),ee(−)− −(−)−3D 3· 3· · (∂3Φ 0 )− = µ 0(r),ee+++(+)(+)3· 3·3D (r)· (∂3Φ 0 )+ = µ 0(r).ee(3.7.29)Разрешая системы уравнений (3.7.29) относительно (∂3 U0 )± и (∂3Φ 0 )± , получим(−)(−)−(−)(−)−33,, (∂3Φ 0 )− = D ′ − − · µ 0(r)(∂3 U0 )− = C ′ − − · P 0(r)3·3·3·3·ee(+)(+)+(+)(+)+33(∂3 U0 )+ = C ′ − − · P 0(r), (∂3Φ 0 )+ = D ′ − − · µ 0(r),e (r) 3· 3·e (r) 3· 3·(−)−(+)+−(−)(+)(3.7.30)+3333где, конечно, P 0(r), P 0(r), µ 0(r)и µ 0(r)определяются с помощью (3.7.26).
Учитывая (3.7.30), из (3.7.20) найдем(+)+(−)(−)−[(+)′]133− (−1)n C ′ − − · P 0(r),C − − · P 0(r)4(2n + 3) e (r) 3· 3·e 3· 3·(−)[(+)′](+)+(−)−133Dn (x′ ) =D − − · µ 0(r)− (−1)n D ′ − − · µ 0(r),4(2n + 3) e (r) 3· 3·e 3· 3·Bn (x′ ) =(3.7.31)n = m, m + 1.Подставляя (3.7.31) в (3.7.17), получим окончательные выражения для корректирующих слагаемых U0 и Φ 0 , удовлетворяющих всем вышеприведеннымусловиям(+)+(−)(−)−]][ ∗[(+)′133C − − · P 0(r)− (−1)n C ′ − − · P 0(r)Pm+2 (x3 ) − Pm∗ (x3 ) +4(2m + 3) e (r) 3· 3·e 3· 3·(−)(−)−(+)+]][ ∗[(+)′1∗33(x3 ) ,Pm+3 (x3 ) − Pm+1+C − − · P 0(r)− (−1)n C ′ − − · P 0(r)4(2m + 5) e (r) 3· 3·e 3· 3·+(+)(−)]][ ∗[ ′(+)(−)−133Pm+2 (x3 ) − Pm∗ (x3 ) +Φ 0 (x′ , x3 ) =D − − · µ 0(r)− (−1)n D ′ − − · µ 0(r)4(2m + 3) e (r) 3· 3·e 3· 3·+(+)(−)]][ ∗[(+)(−)−1∗33(x3 ) , m > N,+D ′ − − · µ 0(r)−(−1)n D ′ − − · µ 0(r)Pm+3 (x3 ) − Pm+14(2m + 5) e (r) 3· 3·e 3· 3·U0 (x′ , x3 ) =(3.7.32)200Подставляя (3.7.32) в (3.7.15), найдем в рассматриваемом случае выражение для векторов перемещений u(x′ , x3 ) и вращений φ (x′ , x3 ), а также тензоровнапряжений P и моментных напряжений µ .eб) Микрополярноеизотропное тело с eцентром симметрии.