Диссертация (786091), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Разрешая эту систему, получим векторы u ′ , u ′ , φ ′ и φ ′ ,(m)(m)(m)(m)(m)выраженные при помощи моментов u , ∂I u , φ и ∂Iφ , ϑ ; m = 0, N . Если учестьполученные выражения для искомых векторов в (3.4.3), найдем ОС (систему(k)(k)законов Гука) в моментах нулевого приближения. При этом P(0) и µ(0) представee(m) (m)(m)(m) (m)ляют линейные формы относительно u , ∂I u , φ и ∂Iφ , ϑ , m = 0, N . Подставляя(k)(k)P(0) и µ(0) в (3.5.10), получим приближенные выражения для тензоров напряжеe и eмоментных напряжений, удовлетворяющие граничным условиям на линий(m)(m)(m)цевых поверхностях для любых векторных полей u , φ и скалярных полей ϑ ;m = 0, N , являющихся моментами искомых векторных полей u, φ и скалярного(k)(k)поля ϑ. Следуя И.Н.Векуа, выражения для P(0) и µ(0) , согласованные с краевыeeнормированными моментамими условиями на лицевых поверхностях, назовемk-го порядка полей тензоров напряжений и моментных напряжений нулевогоприближения (аналогично определяются нормированные моменты k-го порядкаполей тензоров напряжений и моментных напряжений любого приближения).3.5.1.2Определение нормирующих функций для ОС теплового содержания нулевого приближенияПусть вектор притока тепла задается приближенной формулойq(0) (x′ , x3 ) =N (k)∑q (0) (x′ )Ûk∗ (x3 ).(3.5.19)k=0Сперва рассмотрим граничные условия второго рода (типа Неймана) (3.5.6).Представим их аналогично (3.5.11) в форме−(−)r · q (0)3√−− (−)= − g33 q ,(−−+r − g+ g − r33 PP M−M)(+)· q (0)√++ (+)= g33 q .(3.5.20)178На основании значений ортонормированных смещенных полиномов Чебышевавторого рода (2.5.16) на концах сегмента [0, 1] из (3.4.10) находимq (0) = q(0) (−)N(k)2 ∑=√(−1)k (k + 1) q (0) ,π k=0x3 =0q (0) = q(0) (+)N(k)2 ∑=√(k + 1) q (0) .π k=0x3 =1(3.5.21)Учитывая (3.4.21), (3.4.22), последние два соотношения (3.4.23) и (3.5.14), из(3.5.21) получим− )(+)N−− (−)( −(k)2 ∑q (0) = √(−1)k (k + 1) q (0,N ) − b(N )Λ · r 3 − g 3+ rM T ′ + a(N )Λ · r 3 T ′ ,π k=0Mee−N−−−(+)(−)()(+)(k)2 ∑q (0) = √(k + 1) q (0,N ) − a(N )Λ · r 3 − g 3+ rM T ′ + b(N )Λ · r 3 T ′ .π k=0Mee(−)−(3.5.22)−−+−Умножая первое соотношение (3.5.22) на r 3 скалярно, а второе на r 3 − g +3 g P− rK ,P Kв силу (3.5.20) будем иметь(+)(+)(−)(−)(−)Λ ′(0,N ) T ′ + Λ ′(0,N ) T ′ = Q (0,N ) ,(+)(+)(−)(−)(+)Λ ′′(0,N ) T ′ + Λ ′′(0,N ) T ′ = Q (0,N ) ,(3.5.23)где аналогично (3.5.17) введены обозначения(+)Λ ′(0,N ) = −b(N )(−−−−−)−−(−)Λ −g + Λ, Λ ′(0,N ) = a(N ) Λ3 3 ,M[( −− − − − ) − + ( − − − − − )](+)Λ ′′(0,N )= −a(N ) Λ3 3−g 3+ Λ3 M −g +3 g P− ΛK 3−g 3+ ΛK M ,P KM( −− − +M − − )(−)−−−−Λ · rn ,Λ ′′(0,N ) = b(N ) Λ3 3−g +3 g P− ΛK 3 , Λmn = rm ·ΛP Ke[ √π√ −− (−) ∑]N−(−)(k)3g 3 3 q + (−1)k (k+1) q(0,NQ(0,N )=−) ,2k=0√ √((k)−) (k) −−N− +(+)−(k)π +3 +3 (+) ∑33 P (k)KmmQ(0,N ) =g q − (k+1) q(0,N−gg.=q·rq,q(0,N)+−)(0,N )(0,N )2P Kk=03333M(3.5.24)Соотношения (3.5.23) представляют собой систему из двух уравнений отно(+)(−)(+)сительно двух неизвестных T ′ и T ′ .
Решая эту систему, получим функции T ′(−)(m)(m)и T ′ , выраженные через моменты T , ∂I T , m = 0, N . Подставляя полученные(+)(−)выражения для T ′ и T ′ в (3.4.21), найдем соотношения в моментах, связываю(m)(k)(m)щие между собой q (0) и T , ∂I T , m = 0, N . Они являются линейными формами(m)(m)(k)относительно T , ∂I T , m = 0, N . Учитывая выражение для q (0) в (3.5.19), получим приближенное выражение для вектора потока тепла, удовлетворяющееграничным условиям второго рода на лицевых поверхностях для любых ска(m)лярных полей T , m = 0, N , являющихся моментами искомого скалярного поля(k)T (x′ , x3 ). Следуя Векуа И.Н., выражение для q (0) , согласованное с краевымиусловиями на лицевых поверхностях, назовем нормированным моментом k-гопорядка поля вектора потока тепла нулевого приближения (аналогично определяется нормированный момент k-го порядка поля вектора потока тепла любогоприближения).179Теперь рассмотрим граничные условия третьего рода (теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона).
В этом случае нет необходимости останавливаться на подробном выводе системы уравнений относительно функций(+)(−)T ′ и T ′.В самом деле, представляя граничные условия (3.5.8) аналогично (3.5.20) ввиде−(−)r · q (0)3√(−) )−− (−)((−)= − g 3 3 β T − Tc ,(−−+r − g+ g − r33 PP M−M)√(+)· q (0) =(+) )++ (+)((+)g 3 3 β T − Tc ,(+)(−)нетрудно заметить, что и в рассматриваемом случае для определения T ′ и T ′будем иметь уравнения (3.5.23), правые части которых получаются из шестой(−)((−)(−) )(−)(+)и седьмой соотношений (3.5.24), если в них q и q заменить на β T − Tc(+)((+)(+) )и β T − Tc соответственно. С целью сокращения письма их выписывать небудем.3.5.2Граничные условия в моментах в теории тонких телДля корректной постановки задач в теории тонких тел к любой системе уравнений, согласованной или несогласованной (при упрощенной схеме приведениябесконечной системы уравнений к конечной) с граничными условиями на ли(−)цевых поверхностях, следует присоединить граничные условия на контуре ∂ S(−)основной базовой поверхности S .На боковой грани Σ могут быть заданы условия кинематического содержания (векторы перемещения и вращения) или физического содержания (векторынапряжения и моментного напряжения), или на одной ее части Σ1 могут бытьзаданы условия кинематического содержания, а на другой части Σ2 — физического содержания; Σ1 ∪ Σ2 = Σ, Σ1 ∩ Σ2 = ∅.
При неизотермических процессахна некоторой части боковой грани еще задаются граничные условия тепловогосодержания первого рода (типа Дирихле) или второго рода (типа Неймана), илиже третьего рода (теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона). Приэтом на одной части боковой грани можно задать один тип из этих условий, надругой — другой, а на третьей — третий.Ниже рассмотрены граничные условия кинематического, физического и теплового содержаний на боковой грани тонкого тела и в силу них получены соответствующие граничные условия в моментах на граничном контуре основнойбазовой поверхности.В дальнейшем предполагаем, что боковая грань Σ состоит из линейчатыхповерхностей и фиксировано некоторое неотрицательное целое число N .
Задание числа N означает, что из каждой бесконечной системы уравнений рассматривается только совокупность первых N + 1 уравнений. Тогда, очевидно,(m)(m)(m)(m)(m)неизвестными будут моменты P , µ , u , φ , T , m = 0, N , и, например, для микe неизотермических процессах задача будетрополярной теории тонких телe при180(−)(−)корректно поставлена, если на граничном контуре ∂ S базовой поверхности Sзаданы 2N + 2 векторных граничных условий кинематического содержания, а(−)(−)на его части ∂ S q ⊆ ∂ S N + 1 граничных условий теплового содержания (в слу(−)чае первой краевой задачи), или на ∂ S заданы 2N + 2 векторных граничных(−)(−)условий физического содержания, а на ∂ S q ⊆ ∂ S N + 1 граничных условийтеплового содержания (в случае второй краевой задачи), или на одной его части(−)∂ S 1 могут быть заданы 2N +2 векторных граничных условий кинематического(−)(−)(−)(−)(−)(−)содержания, на остальной части ∂ S 2 (∂ S 1 ∪ ∂ S 2 = ∂ S , ∂ S 1 ∩ ∂ S 2 = ∅) —(−)(−)2N +2 векторных граничных условий физического содержания, а на ∂ S q ⊆ ∂ SN + 1 граничных условий теплового содержания (в случае смешанной краевойзадачи).
Заметим, что в случае динамических задач к граничным условиямследует присоединять начальные условия в моментах, о которых речь пойдетниже.3.5.2.1Кинематические граничные условия в моментахПусть на боковой грани Σ заданы векторы перемещения u и вращения φ , т.е.u(x′ , x3 , t) = f (x′ , x3 , t),Σφ (x′ , x3 , t) = g(x′ , x3 , t).ΣТогда кинематические граничные условия в моментах относительно системыортонормированных смещенных полиномов Чебышева второго рода представляются в виде(k)(k)u(x′ , t) = f (x′ , t),(k)(k)(k)φ (x′ , t) = g (x′ , t),(−)k = 0, N , x′ ∈ ∂ S .(3.5.25)(−)Здесь f (x′ , t) и g(x′ , t), k = 0, N — известные векторные поля на ∂ S какмоменты известных векторных полей f (x′ , x3 , t) и g(x′ , x3 , t) соответственно.3.5.2.2(k)Граничные условия физического содержания в моментахПрежде чем получить эти условия, выведем некоторые геометрические соотношения на боковой грани при новой параметризации области тонкого тела.(−)(−)В этой связи, полагая, что h ⊥ S , введем следующие обозначения: ∂ S , ∂S и(+)(−)(+)(∼)(∼)(∼)∂ S — граничные контуры поверхностей S , S и S соответственно; m, s и l ,∼ ∈ {−, ∅, +}, — единичный вектор нормали к боковой грани, единичный век(∼)тор касательной к контуру ∂ S и единичный вектор тангенциальной нормали к(∼)(∼)контуру ∂ S в точке M , ∼ ∈ {−, ∅, +}; dΣ — элементарная площадка одной вершиной в точке M с координатами (x1 , x2 , x3 ) и со сторонами dr = dss = rI dxI(+)(+)и hdx3 = r3 dx3 ; d Σ — элементарная площадка с одной вершиной в точке M(−)(+)с координатами (x1 , x2 , 1) и со сторонами d r = r+ dxI и hdx3 = r3 dx3 ; d Σ —I181Рис.
3.1: Боковая грань при новой параметризации(−)элементарная площадка с одной вершиной в точке M с координатами (x1 , x2 , 0)(−)(−)и со сторонами d r = r− dxI и hdx3 = r3 dx3 ; n = |h|−1 h — единичный векторI(−)(−)(−)нормали к поверхности S в точке M (см. рис. 3.1).
Заметим, что в точке Mединичный вектор нормали к боковой грани и единичный вектор тангенциаль(−)(+)ной нормали к контуру ∂ S совпадают, а в точках M и M в общем случае онине совпадают.Нетрудно заметить, что√−−(−)√IJ3Σ = dΣm = dss × hdx = gϵIJ r dx dx =dΣg gIK ϵIK r I dxJ dx3 ,√√+−−(+)(+)(+)(+)(+)(+)(−)3IJ3d Σ = d Σ m = d s s × hdx = g ϵIJ r dx dx =g g+K ϵIK r I dxJ dx3 ,J√−(−)(−)(−)(−)(−)(−)d Σ = d Σ m = d s s × hdx3 =g ϵIJ r I dxJ dx3 ,3(3.5.26)где последние два соотношения (3.5.26) получаются аналогично. Их, конечно,можно еще получить из первого соотношения (3.5.26) при x3 = 1 и x3 = 0соответственно.Далее, очевидно, имеем√ √ −−− −(−)√ √ KLIJds|s × h| = |dr × h| = g g ϵKI ϵLJ dx dx =g g M N ϵM K ϵN L gIK gJL dxI dxJ =√ √ +++ +(+)= g g M N ϵM K ϵN L gIK gJL dxI dxJ ,√ √ ++√ √ −−− −(+) (+)(+)(−)d s | s × h| = |dr × h| = g g K L ϵKI ϵLJ dxI dxJ = g g M N ϵM K ϵN L g+K g+L dxI dxJ ,I J√ √ −−√ √ +++ +(−) (−)(−)(+)d s | s × h| =g g K L ϵKI ϵLJ dxI dxJ =g g M N ϵM K ϵN L g−K g−L dxI dxJ .IJ(3.5.27)182Теперь в силу первых и третьих соотношений (3.5.26) и (3.5.27) получаем√− −√g M N AK− AL− ϵKI ϵLJ dxI dxJ (−)KLIJ(−)(−)g ϵKI ϵLJ dx dx√ M NdΣ =dΣ =dΣ = ϑ √−−−−g K L ϵKI ϵLJ dxI dxJg K L ϵKI ϵLJ dxI dxJ√− −− −g M N ϵM K ϵN L gIK gJL dxI dxJ (−)√=dΣ.−−KLIJg ϵKI ϵLJ dx dx(+)(3.5.28)(−)Выпишем выражения длин элементов дуг на поверхностях S, S , S .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
