Диссертация (786091), страница 40
Текст из файла (страница 40)
f (q) , g (q) , вообще говоря, зависит от координат и времени.e1883.5.4Начальные условия в моментахПри рассмотрении нестационарных задач в некоторый момент времени t = t0должны быть заданы начальные условия. Пусть для нестационарной (динамической) задачи микрополярной МДТТ начальные условия представлены в видеu(x′ , x3 , t)= u0 (x′ , x3 ),t=t0φ (x′ , x3 , t)= φ 0 (x′ , x3 ),t=t0∂u = v(x′ , x3 ),∂t t=t0φ ∂φ= ω (x′ , x3 ),∂t t=t0(3.5.60)а для нестационарной задачи теплопроводности начальное условие представлено в формеT (x′ , x3 , t)= T 0 (x′ , x3 ).(3.5.61)t=t0Исходя из (3.5.60), для искомых начальных условий в моментах будем иметьвыраженияu(x , t)(k)(k)′t=t0φ (x′ , t)(k)′= u 0 (x ),(k)t=t0= φ 0 (x′ ),(k)(k)∂ u = v (x′ ),∂t t=t0(k)(k)∂ φ = ω (x′ ),∂t t=t0(3.5.62)(−)k = 0, N ,наS.Аналогично (3.5.62) из (3.5.61) для нестационарной задачи теплопроводностиполучим следующие начальные условия в моментах:T (x′ , t)(k)(−)(k)= T 0 (x′ ) k = 0, N ,наS.(3.5.63)t=t0Из изложенного выше видно, что трехмерные законы Гука и теплопроводности Фурье в теории тонких тел заменяются соответствующими бесконечнымисистемами законов в моментах.
При этом каждый закон содержит бесконечноечисло слагаемых. Поэтому аналогично системам уравнений движения и притока тепла в моментах следует их редуцировать к конечным системам законов вмоментах, каждый закон которых будет содержать конечное число слагаемых.Редукция производится следующим образом: фиксируем некоторые (в частности, те же самые числа, что при редукции систем уравнений) неотрицательныецелые числа r и N , а затем из бесконечной системы законов в нормированных моментах тензоров напряжений и моментных напряжений приближенияпорядка r выбираем совокупность первых N + 1 законов.
При упрощенной схеме редукции из бесконечной системы законов в моментах приближения порядкаr выбираем совокупность первых N + 1 законов, в каждом законе которой пренебрегаем моментами искомых величин, порядок которых больше N . В этойсвязи целесообразно вводить определения.Определение 3.5.1. Совокупность законов Гука (теплопроводности Фурье)в моментах, которая состоит из первых N + 1 законов соответствующей бесконечной системы законов Гука (теплопроводности Фурье) в нормированныхмоментах тензоров напряжений и моментных напряжений порядка r, назовемсистемой законов Гука (теплопроводности Фурье) в нормированных моментах189тензоров напряжений и моментных напряжений (вектора потока тепла) приближения (r,N).Определение 3.5.2.
Совокупность законов Гука (теплопроводности Фурье) вмоментах, которая состоит из первых N + 1 законов соответствующей бесконечной системы законов Гука (теплопроводности Фурье) в моментах порядкаr и каждый закон которой не содержит моментов искомых величин, порядоккоторых больше N , назовем системой законов Гука (теплопроводности Фурье)в моментах приближения (r,N).В силу этих определений, например, система законов Гука (теплопроводности Фурье) в нормированных моментах тензоров напряжений и моментныхнапряжений (вектора потока тепла) приближения (0, N ) получается из (3.4.3)(+)(−)((3.4.21)) при выборе первых N +1 соотношений и учете выражений для u ′ , u ′ ,(+)(−)(+)(−)φ ′ и φ ′ ( T ′ и T ′ ), полученных при решении системы уравнений (3.5.16)((3.5.18)).Аналогично, например, система законов Гука (теплопроводности Фурье) вмоментах приближения (0, N ) получается из (3.4.4) ((3.4.22)) при выборе первых N + 1 соотношений.
Следовательно, выбор первых N + 1 соотношенийозначает, что k = 0, N .3.6Классификация и постановка задач в теории тонких телКлассификация и постановка задач как в микрополярной, так и в классическойтеории тонких тел осуществляются так же, как в МДТТ [338].В отличие от МДТТ в рассматриваемом случае как для однородного, таки для неоднородного тела рассматриваются приближенные ОС, системы уравнений движения и уравнений теплопроводности в моментах.
При этом и граничные условия ставятся на части граничного контура базовой поверхности вмоментах.Для граничных условий и соответствующих краевых задач в микрополярнойтеории принимается такая классификация.(−)Определение 3.6.1. Если на граничном контуре ∂ S заданы только моменты векторов перемещения и вращения (кинематические граничные условия)(3.5.25), то такие условия называются граничными условиями первого рода, азадача МДТТТ, использующая эти условия — первой краевой задачей.(−)Определение 3.6.2. Если на граничном контуре ∂ S заданы только граничные условия физического содержания в моментах (3.5.53), то такие граничныеусловия называются граничными условиями второго рода, а соответствующаязадача МДТТТ — второй краевой задачей.(−)Определение 3.6.3.
Если на одной части граничного контура ∂ S 1 заданы(−)кинематические граничные условия (3.5.25), а на остальной его части ∂ S 2 —190(−)(−)(−)(−)граничные условия физического содержания (3.5.53), ∂ S 1 ∪ ∂ S 2 = ∂ S , ∂ S 1 ∩(−)∂ S 2 = ∅, то такие граничные условия называются смешанными граничнымиусловиями, а задача МДТТТ, использующая их — смешанной краевой задачей.Следует заметить, что в случае динамических задач в некоторый моментвремени t = t0 должны быть заданы и начальные условия в моментах (3.5.62).Если тонкое тело не ограничено, то должны быть заданы условия на бесконечности в моментах.Заметим также, что исключая из приведенных выше определений характеристики микрополярной теории, получим соответствующие определения дляклассической МДТТТ.3.6.1Постановки задач микрополярной теории термоупругости тонких тел в моментахРассматриваются постановки связанной и несвязанной динамических задач вмоментах приближения (r, N ) микрополярной теории термоупругости тонкихтел (ТУТТ), а также нестационарной температурной задачи в моментах приближения (r, N ) и обсуждаются вопросы получения из них некоторых другихчастных случаев постановок задач.Постановка связанной динамической задачи в моментах приближения (r, N )микрополярной теории ТУТТ включает в себя:1) систему уравнений движения в моментах приближения (r, N ) микрополярной МДТТТ (3.3.83);2) систему уравнений притока тепла в моментах приближения (r,N) микрополярной ТМДТТТ (3.3.86);3) систему ОС в нормированных моментах тензоров напряжений и моментных напряжений приближения (r, N ) микрополярной теории ТУТТ или систему ОС в моментах приближения (r, N ) микрополярной теории ТУТТ приупрощенной схеме редукции;4) систему законов теплопроводности Фурье в нормированных моментахвектора потока тепла приближения (r, N ) или систему законов теплопроводности Фурье в моментах приближения (r, N ) при упрощенной схеме редукции;5) в зависимости от типа краевых задач одну из следующих систем граничных условий в моментах:5a) систему кинематических граничных условий в моментах приближенияN (3.5.25) для первой краевой задачи и какую-нибудь систему из трех родовсистем граничных условий теплового содержания в моментах (3.5.54), (3.5.56)или (3.5.59);5b) систему статических граничных условий в моментах приближения (r, N )микрополярной МДТТТ (3.5.53) для второй краевой задачи и какую-нибудьсистему из трех родов систем граничных условий теплового содержания в моментах (3.5.54), (3.5.56) или (3.5.59);1915c) систему кинематических граничных условий в моментах приближения N(3.5.25) на одной части граничного контура и систему статических граничныхусловий в моментах приближения (r, N ) микрополярной МДТТТ (3.5.53) надругой (остальной) части граничного контура для смешанной краевой задачии какую-нибудь систему из трех родов систем граничных условий тепловогосодержания в моментах (3.5.54), (3.5.56) или (3.5.59);6) системы начальных условий кинематического (3.5.62) и теплового (3.5.63)содержаний в моментах приближения N .Если в систему уравнений притока тепла в моментах приближения (r, N )(k)не входят механические характеристики (моменты тензоров напряжений P и(k)eмоментных напряжений µ ), то отдельно рассматривается нестационарная темeпературная задача в моментахприближения (r, N ), которая включает в себя:1) систему уравнений притока тепла в моментах приближения (r, N ) безмеханических характеристик;2) систему законов теплопроводности Фурье в нормированных моментахвектора потока тепла приближения (r, N ) или систему законов теплопроводности Фурье в моментах приближения (r, N ) при упрощенной схеме редукции;3) какую-нибудь систему из трех родов систем граничных условий тепловогосодержания в моментах (3.5.54), (3.5.56) или (3.5.59);4) системуначальныхусловийтепловогосодержанияв моментахприближенияN (3.5.63).В этом случае динамическая задача в моментах приближения (r, N ) микрополярной теории ТУТТ разделяется на две задачи: нестационарную температурную задачу в моментах приближения (r, N ), решением которой определяется температурное поле, в дальнейшем считающееся известным и динамическую задачу в моментах приближения (r, N ) микрополярной теории ТУТТпри неизотермических процессах с известным температурным полем, котораявключает в себя:1) систему уравнений движения в моментах приближения (r, N ) микрополярной МДТТТ;2) систему ОС в нормированных моментах тензоров напряжений и моментных напряжений приближения (r, N ) микрополярной теории ТУТТ с известным температурным полем или систему ОС в моментах приближения (r, N )микрополярной теории ТУТТ с известным температурным полем при упрощенной схеме редукции;3) в зависимости от типа краевых задач одну из следующих систем граничных условий в моментах:3a) систему кинематических граничных условий в моментах приближенияN (3.5.25) для первой краевой задачи;3b) систему статических граничных условий в моментах приближения (r, N )микрополярной МДТТТ (3.5.53) для второй краевой задачи;1923c) систему кинематических граничных условий в моментах приближенияN микрополярной теории (3.5.25) на одной части граничного контура и систему статических граничных условий в моментах приближения (r, N ) микрополярной МДТТТ (3.5.53) на другой (остальной) части граничного контура длясмешанной краевой задачи;4) систему кинематических начальных условий в моментах приближения N(3.5.62).Задачи при неизотермических процессах, которые разделяются на температурную задачу и задачу ТМДТТ с известным температурным полем, называются несвязанными задачами ТМДТТ [338].Таким образом, выше даны формулировки постановок связанной и несвязанной динамических задач в моментах приближения (r, N ) микрополярнойтеории ТУТТ, а также нестационарной температурной задачи в моментах приближения (r, N ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
