21_11_11 (1183944), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Уравнения газовой динамики допускают существование волновых решений в видепродольных волн. Так как волновые уравнения существенно нелинейны, то скоростьраспространения волны, заданной в начальный момент дифференцируемойфункцией, зависит от величины начального возмущения в данной точке пространстваи увеличивается с ростом возмущения.2. Любое возмущение, описываемое в начальный момент дифференцируемойфункцией, спустя некоторое время становится разрывным.

Волновое решение,описываемое разрывным решением, называется ударной волной. Времяформирования разрывного решения определяется как формой, так и величинойначального возмущения.3. Распространение ударной волны не может быть описано системойдифференциальных уравнений. Для описания движения ударной волны следуетвоспользоваться теоремами динамики в интегральной форме.где c0 15Проводящая среда в магнитном поле1.

Система уравнений самосогласованной задачиДо сих пор мы рассматривали движение вещества под действием объемных сил тяжести.Представляет интерес рассмотреть движение проводящего вещества в электромагнитном поле.Возникающие при движении токи порождают электромагнитные поля, которые могутоказывать влияние на движение среды, поэтому рассмотрим уравнения, описывающиесамосогласованную систему среда + поле.Построим систему уравнений для описания самосогласованной задачи. Выделим 3 группыуравнений.I.Система уравнений механического движения сплошной среды состоит из двухуравнений:1. Уравнения непрерывностиdρ ρ div v  0dt2. Уравнения Эйлераdvρ  grad p  f AdtМы рассматриваем идеальную жидкость, для которой тензор напряжений имеет видp ik   pδ ik , и плотность объемных зарядов которой равна нулю.

Механическое воздействиеполя на такую проводящую среду определяется силами Ампера, пропорциональными токампроводимости. Объемная плотность этих сил определяется выражением1  f A  j H .cII.Термодинамические уравнения, включающие термическое и калорическое уравнениясостояния системыp  p ρ,T , H  ,e  e ρ, T , H  ,а также уравнения процессов, происходящих со сплошной средой.В приложениях часто ограничиваются адиабатическими процессами, в которыхтеплообменом можно пренебречь, и влияние поля на состояние вещества мало, так что второеначало термодинамикиdq  de  pd 1 ρприводит к уравнениюde  pd 1 ρ  0 .III.Уравнения, определяющие поле в движущейся среде – уравнения Максвелла 1 E 4π 1 Hrot E  rot H j,,c tc tcdiv E  0 ,div H  0 ,Здесь мы предполагаем, что электрическая и магнитная проницаемость вещества равнаединице, а плотность объемных зарядов в среде равна нулю.Если ограничиться квазистационарными процессами, то в уравнениях Максвелла можноE j ).

В этом случаепренебречь токами смещения по сравнению с токами проводимости (tуравнения Максвелла еще больше упрощаются, поскольку теперь можно положить 4π rot H j.c16Уравнения Максвелла устанавливают связь между плотностью тока проводимости инапряженностью магнитного поля, что позволяет определить плотность силы Ампера,действующей на проводящую среду, как функцию поля.1  1 f A  j H  H  rot H .c4πУравнение Эйлера для квазистационарных процессов удобно записать в виде:dv1 ρ  grad p H  rot H .dt4π2.

Тензор напряжений для проводящей среды в магнитном поле1 H  rot H можно представить в виде4πH 2  1    f A  H  H 8π  4π    1воспользовавшись тождеством H  rot H  H    H  H 2   H   H .2В тензорной форме выражение для плотности силы Ампера имеет вид: H 2 H k H i.f iA  x i 8π4π x kH kПоскольку div H  0 плотность силы Ампера f i A представима в виде производной отx kсимметричного тензора H 2 HiHk  δ ik  f iA  M ik .x k 8π4π x kПлотность силы Ампера fA  H 2 HiHkназывается- максвелловским тензором магнитных напряжений.8π4πПредставление объемных сил Ампера в той же форме, что и поверхностных, позволяетТензор M ik  δ ikописать взаимодействие в среде с помощью тензора напряжений.

Для идеальной жидкости вмагнитном поле тензор напряжений определяется выражением:Pik  δ ik p  M ik .Уравнение Эйлера в этом случае приводится к виду:ρdv i Pik.dtx k3. Уравнения Максвелла в среде с высокой проводимостьюВ уравнения Максвелла входит выражение для плотности тока в среде. В соответствии снашим предположением, что объемные заряды отсутствуют, ток в среде является токомпроводимости, плотность которого пропорциональна скорости упорядоченного движения(дрейфа) носителей в веществе u :j  enu17здесь n - концентрация носителей заряда e . В соответствии с законом Ома будем считать, чтоэта скорость пропорциональна сумме сил, действующих на носители в веществе со стороныполя: u~fВ неподвижных проводниках дрейф носителей обусловлен обычно электрическими полями. Врассматриваемом случае проводники могут перемещаться, поэтому на носители действует ещеи сила Лоренца, пропорциональная скорости их движения в данной системе отсчета.

Скоростьэта складывается из скорости движения проводников и скорости дрейфа. Полагая, что скоростьдрейфа носителей много меньше скорости движения среды u  v , запишем соотношение дляскорости дрейфа носителей в виде 1   u ~ e E  v  H  .cЭто позволяет записать закон Ома, учитывающий действие сторонних (неэлектрических) сил вдифференциальной форме 1   j  λ E  v  H  .cВ случае среды, обладающей высокой проводимостью, заметная плотность тока возникаетпри малых силах, действующих на носители. В пределе можно считать, что эти силыпренебрежимо малы, что соответствует квазиравновесным состояниям носителей в веществе,когда 1  E  v H 0.cЭто значительно упрощает уравнения Максвелла, поскольку позволяет исключить из них 1 электрическое поле.

В этом случае rot E  rot H  v и уравнение Максвелла приводит кcусловию квазистатичности  Hrot v  H t4. Условия «вмороженности» силовых линийНапомним, что векторное поле, линии которого в любой момент проходят через одни и те жечастицы среды, называется «вмороженненным». Условие вмороженности силовых линиймагнитного поля в вещество имеет вид:  H  H vВ веществе высокой проводимости скорость и напряженность магнитного поля связаныусловием квазистатичности  Hrot v  H .tИспользуем тождество      rot v  H  v div H  H div v  H v  v H .Из уравнений Максвелла div H  0 , а в случае несжимаемой жидкости и div v  0 , поэтомудля несжимаемой жидкости условие квазистатичности при высокой проводимости приводит куравнению      Hrot v  H  H v  v H .t      18 d v , нетрудно получить связь между векторомdt tскорости и напряженности магнитного поля в несжимаемой среде (жидкости) высокойпроводимости dH H v ,dtНо это как раз условие «вмороженности» силовых линий поля в вещество, рассмотренноевыше.Следовательно, силовые линии магнитного поля «вморожены» в несжимаемом веществевысокой проводимости.Вводя субстанциальную производную 5.

Теорема об изменении энергииУмножая уравнение Эйлера скалярно на вектор скорости, можно уравнение, описывающиеизменение плотности энергии проводящей среды в магнитном поле: dv 1  ρv  v  p v  H  rot H .dt4πЛевая часть этого уравнения преобразуется к виду: dvd  v 2  d  ρv 2  v 2 dρ   ρv 2    ρv 2 v 2 dρ  v ρv ρ     .dtdt  2  dt  2  2 dt t  2 22 dtДля преобразования последнего слагаемого воспользуемся уравнением непрерывности: dρ  ρ v  ρv   v   ρ .dtВ итоге левая часть уравнения принимает вид: dv   ρv 2    ρv 2 ρv 2    ρv 2    ρv 2    v    ρv v  v (а)dt t  2 22t  2  2   Для вычисления мощности поверхностных сил давления в среде v   p   pv   p vвоспользуемся первым началом термодинамикиde dq p dρ,dt dt ρ2 dtкоторое с учетом уравнения непрерывности можно записать в виде:de dq p v.dt dtρИз этого выражения с учетом уравнения непрерывности получаемdedp v  ρ q  ρe   ρe v  q  ρe   ρev   q .dtdttОтсюда для адиабатических процессов q  0 мощность сил определяется выражением f пов  v   v   p   ρe   ρe  p v  .(б)tВыражение для мощности силы Ампера также удобно преобразовать, учитывая свойствасмешанного произведения векторов: 1  1  f A v  v  H  rot H  v  H  rot H4π4πВ рассматриваемом квазистатическом случае для вещества высокой проводимости v  H  cE , так что c f A v E  rot H .4π         19 1 HУчитывая тождество E  rot H  H  rot E  div E  H и уравнение Максвелла rot E  ,c tвыражение для мощности силы Ампера можно представить в виде:   H2c(в)f A v  div E  H .t 8π 4πРавенства (а), (б) и (в) приводят к уравнению  ρv 2    ρv 2  H2 c  div v    ρe   div ρe  p v  div E  H ,t  2 tt 8π 4π 2 которое можно рассматривать, как уравнение для изменения плотности энергии вещества и поля:ρv 2 H 2 ρv 2      ρe    div   ρw v  S t 28π 2  c  E  H - плотность потока энергии поля.Здесь w  e  p ρ - плотность энтальпии, а S 4π6.

Волны в несжимаемой проводящей средеВ качестве примера рассмотрим возможность существования и свойства волновых решенийв несжимаемойρ  const ,div v  0электронейтральной проводящей среде  v1 ρ ρ v   v  p H  rot Ht4πв магнитном полеdiv H  0в квазистатическом случае H rot v  H .tПредположим, что среда первоначально покоилась, а отклонения от исходного состояниядостаточно малы:p  p0  p1 ,H  H0  h ,где h  H 0 , p1  p0 и носят волновой характер.Будем искать решение системы линеаризованных уравненийdiv h  0 ,div v  0 , hv1  p1 H 0  rot h rot v  H 0 ρtt4πв виде плоских волн  v  v e iωt ikr .p1  pe iωt ikr , h  h e iωt ikr ,В этом случае операция дифференцирования сводится к умножению на соответствующеечисло, что приводит к системе алгебраических уравнений:     ωh   k  v  H 0 ,k h   0 ,k v   0 ,   1 ρωv   kp H0  k h  .4π20Раскрывая векторные произведения, получим систему:      ωh   v k  H 0 ,k h   0 ,k v   0 , 1    1   ρωv   k  p  H 0 h    h  H 0 k .4π 4πУмножая скалярно последнее уравнение системы на k и учитывая первые два уравнения,получим систему:1  1   p H 0 h   0 ,ρωv    h  H 0  k .4π4πСистема уравнений   1    ωh   v k  H 0ρωv    h  H 0  k4πимеет нетривиальное решение, если частота удовлетворяет условию: H 0 k.ωk  4πρЭто дисперсионное уравнение определяет групповую скорость волны, направленную вдольполя H 0 :H0Vгр  k ω k .4πρ  Возникающие волны являются поперечными, т.к.

k v   0 и k h   0 , а амплитудывозмущений магнитного поля, давления и скорости пропорциональны друг другу:h1  v  ,p  H 0 h  .4π4πρЭти волны называются волнами Альфвена.21.

Характеристики

Список файлов лекций