21_11_11 (1183944), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

е. V    V0, а начальное распределение0задано зависимостью, изображенной на рисунке0xlРис.Деформация профиля волны, обусловленная тем, что скорость точки с максимальнымзначением   0 превышает скорость всех остальных участков волны, изображена на рисунке.Для рассмотренного распределения решение перестает быть однозначной функциейкоординаты при t  t0 . Определить дальнейшую эволюцию системы с помощьюдифференциального уравнения невозможно, поэтому дальнейшее описание процесса мыпроведем с помощью интегральных соотношений. Квазилинейное уравнение V   0txможет быть представлено в виде  0,t xгде   V d .4Ему соответствует интегральное соотношение:x 2 x dx    x1     x2  .t x1Для рассматриваемого случая2.2 0Выбирая контрольные поверхности в точках, где поток равен нулю, получим закон сохранения(массы) в выделенном объеме:   V  d x2 x dx  const .x1Предположим, что в начальный момент времени имеется разрывное решение(сформировавшееся из рассмотренного ранее непрерывного треугольного)x0 0 x    0 x l 0  x  l 0xlЕсли при дальнейшей эволюции этого решения имеется лишь единственный разрыв, а то егокоордината x1 в момент t  t1 , отсчитываемый после образования разрыва, связана с точкойx1образовния разрыва l, соотношением 1 , следующим из подобия треугольников ОАC иl  V0t 0ОВD, изображенных на рис.

Здесь мы полагаем, что существование разрыва никак не влияет нараспространение волны слева от него.0В1ОАlСDx1l +V0txРис.Закон сохранения (массы) дает второе соотношение:0l  1 x1 .Исключая плотность среды, получим закон движения разрыва – «фронта ударной волны»:x1 t   l 1  V0t l .Движение разрыва происходит со скоростьюx1 t   V0 2 1  V0t l .Амплитуда волны с течением времени убывает:1 t   0 1  V0t l .Квазилинейные уравнения широко используются для описания волновых процессов,сопровождающихся деформацией начального распределения.5Обобщения. Известны и широко используются обобщения квазилинейных уравнений,описывающие распространение волновых пакетов (специальной формы) без деформаций.1) Уравнение Кортевега – де Фриса (КдФ)Это уравнение получается добавкой «дисперсионного» члена:uu  3u 1  12u   3  0 .tx xРешение уравнения КДФ, убывающее на бесконечности, имеет видa 2 2u  x, t  ch a x  1  a 2 t  b 2 ,4где a, b - произвольные постоянные.Оно описывает уединенную волну – солитон, распространяющийся со скоростью V a   1  a 2 ,зависящей от амплитуды волны.u10,5-4-2204хРис2) Уравнение Бюргерса (с диссипацией)uu 2uu 2 0txxДля этого уравнения известно решение Тейлора («ударная волна»), имеющее вид:ux, t   a1  thax  a 2t 2u21-10-50510xРис.62.

Малые возмущения в газахРассмотрим распространение малых возмущений в среде. Пусть равновесное состояние средыописывается параметрами p0 , 0 , V , а отклонения от этих значений в каждой точкепространства в любой момент времени (возмущения) малы и описываютсядифференцируемыми функциями p, , u :p  p0  p,   0  , vk  Vk  uk .Уравнение непрерывности и уравнение Эйлера для сплошной среды  vk 0txk vi   vi vk 0txkпри подстановке в них выражений для плотности и скорости дают в линейном приближении повозмущениям следующую систему уравнений:   0uk   Vk 0txkxkuup 0 i   0Vk i  0.txk xkДля рассматриваемых баротропных процессов давление среды определяется лишь ееплотностью в данной точке пространства, так что уравнения движения дополняютсязависимостью  p  p .Обычно при описании распростанении звуковых волн предполагается, что термодинамическиепроцессы в элементарном объеме среды являются квазиравновесными и происходят безизменения числа частиц в данном объеме и без теплообмена.

В этом случае можноиспользовать модель адиабатических процессов, в которых зависимость давления от плотностидается соотоношением:p  p0  0  ,где   cp cv - отношение теплоемкостей при изобарном и изохорном процессах.Выполняя дифференцирование по координатам и вводя обозначениеpp  0  c2 , s0получим систему дифференциальных уравнений для возмущений плотности и скорости:u 0 k  Vk0txkxkuu0 i  0Vk i  c20txkxkЧасто для решения системы используется метод исключения одной из переменных,например, возмущения скорости. Получившееся при этом уравнение для возмущенияплотности среды будет уравнением второго порядка:2222ρρρρ2 2Vkc VkVm 0.2xk txk xkxk xmt7Будем искать решение линейной однородной системы в виде суперпозиции плоскихмонохроматических волн плотности и скорости. Воспользуемся для этого представлениемрешения в виде интеграла Фурье~k  exp it  ik x d 3kx , t   u x , t    u~ k  exp it  ik x dkikkikssss3kПодставляя эти решения в уравнения и проводя дифференцирование, получим длятрансформант Фурье систему алгебраических уравнений:  Vk kk ~  0kk u~k  0~     V k u~  0 . c 2 ki 0k kiСистема будет иметь нетривиальное решение, если ее определитель обращается в ноль, чтопозволяет определить значения частоты , при которой существуют волновые решения.Дисперсионное уравнение, устанавливающее связь между волновым вектором и частотой,удобно получить, если умножить второе уравнение на ki и рассматривать нетривиальные~ и ~решения системы относительно величин z  ki u~i  .

В этом случае дисперсионноеуравнение имеет вид:  Vk kk 2  c 2 k 2Вводя угол  между вектором скорости невозмущенной среды и волновым вектором(направлением распространения волны), приведем уравнение к виду  Vk cos 2  c 2k 2 .Решение полученного уравнения имеет вид:  0 1  V cos  c  ,где введено обозначение  0  ck .Решение с   0 существует для любых направлений волнового вектора, если скоростьдвижения невозмущенной среды V меньше фазовой скорости распространения волны визотропной среде c.Величина фазовой скорости монохроматической волны зависит от скорости среды и V инаправления распространения волныVph   c  V cos  .kВолна подвергается "сносу" потоком, движущимся со скоростью V.Из уравнения непрерывности для возмущений следует, что вектор скорости возмущения uiнаправлен вдоль волнового вектораВ том случае, когда скорость невозмущенного потока V превосходит скорость звука (внеподвижной среде) V  c , распространение волны ограничено углами, при которыхвыполняется неравенство c  V cos  0 .

Волны, волновой вектор которых составляет угол .. снаправлением вектора скорости среды V, имеют фазовую скорость, равную нулю, т.е.поверхность постоянной фазы плоской волны любой частоты не перемещается в пространстве(относительно выбранной системы отсчета). Волновой фронт такой волны составляет свектором скорости потока угол , такой что sin  c V . Этот угол называется углом Маха. Есливозмущение среды вызвано неподвижным источником, находящимся в некоторой точке среды,например, в начале координат, то волны, создаваемые таким источником, распространяютсявнутри конуса, вершина которого совпадает с точечным источником, а угол при вершине равен2.

Этот конус называется конусом Маха. Распространение волновых возмущений вне конусанавстречу набегающему потоку невозможно.83. Излучение источника в движущейся средеДля более подробного анализа возмущений среды, создаваемых точечным источником,рассмотрим решение системы уравнений, исключив из нее одну из неизвестных, например,скорость. При этом удобно перейти к волновому уравнению второго порядка. Наличиеточечного источника возмущения плотности описывается введением -функции в правой частиуравнения.Пусть среда, в которой находится источник, движется со скоростью V в положительномнаправлении оси OX. Размеры источника будем считать пренебрежимо малыми, а еговоздействие на среду – периодическим.

В этом случае волновое уравнение будетнеоднородным. Пусть возмущение среды описывается скалярной функцией : 2222 2 222 φ  4πqc 2 δx δy δz  cos Ωt .2VcVc2222 t zzy  x tРешение уравнения удобно проводить с помощью разложения Фурье по плоским волнам:  ikr1~ k,t e ,r , t    dk x  dk x eikx x ,2что дает для временной зависимости фурье-компоненты уравнение вынужденных колебанийвида222~2 2~~~  2iVk (1)z  c 1   k z   c k    F t  ,с правой частью4qc 2F t  cos t .2 3Решение уравнения вынужденных колебаний мы будем проводить с помощью функции Грина,что позволяет в явном виде учесть условие причинности.

Будем искать это решение в виде t~t   Gt  t F t dt  .(2)Интегрирование по времени формально можно вести до t   , если положить, что функцияГрина имеет вид:G t  t  t   tG t  t   . 0 t  tТакое представление функции Грина соответствует обычному представлению опоследовательности причинно-следственных связях, когда динамическая переменная не можетзависеть от будущего воздействия на систему.Подставляя решение (2) в уравнение (1), для функции Грина получим уравнение: Gt  t  2iVk G t  t  c 1   k22z2z c 2k2 G t  t F t dt   F t  ,(3)откуда следует, что выражение в фигурных скобках является -функцией:t  t   2iVk G t  t   c 2 1  2 k 2  c 2 k 2 Gt  t   t  t  .Gzz~Фурье-образ для функции Грина G   , который мы определим выражением(4)~G     G e i dформально выражается дробью11~G  ,22    2ck z   1   2 c 2 k z2  c 2 k 29знаменатель которой обращается в нуль в точках 1,2  ck z  ck , где k  k2  kz2 - волновоечисло.

Для определения функции Грина Gt  t  следует вычислить интеграл, что удобносделать с помощью теории вычетов. При этом можно так выбрать контур интегрирования, чтоусловие причинности будет выполнено автоматически. Для этого достаточно обойти полюсасверху в комплексной плоскости  или, что тоже самое, сместить оба полюса вниз сдействительной оси на малую величину   0, которую после вычисления интеграла следуетустремить к нулю.1e it t dG t  t  .2   2  2ck z   1   2 c 2 k z2  c 2 k 2  iВычисляя интеграл при t  t   0 по контуру, который замыкается в верхней полуплоскости, мыполучим нуль, так как внутри контура полюсов нет. При t  t   0 контур следует замыкать внижней полуплоскости, где расположены полюса.

Характеристики

Список файлов лекций