sem_21_11_11 (1183955)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Мелкая водаЕсли течение можно рассматривать, как одномерное, то уравнения движениянесжимаемой среды (жидкости) в горизонтальном канале уодбно получить, используяинтегральные теоремы об изменении массы и импульса объема жидкости междувыдаланными сечениями (см. рис.). Обозначим уровень жидкости h  h  x , t  . Масса Мжидкости плотностью ρ между сечениями х1 и х2yh2h1v2v1Ох1x2определяется интегралом M  t     h  x , t  dx , а еех2x1xРис.изменение обусловлено потоками вещества через этиM  t сечения:   h1 v1  h2 v2  .tx2Импульс выделенного объема P  t     v  x , t  h  x , t  dx ,x1а его изменение обусловлено как потоками импульса через сечения, так и давлением состороны внешних частей жидкости в сечениях х1 и х2. В первом приближении можно взятьгидростатическое давление p   gy  p0 .Более аккуратно давление определяется уравнением Эйлера. Для потенциального течения,1когда   rotv  0 , можно ввести потенциал скорости v   и воспользоваться2интегралом Коши: v2  x , y , t   x , y , t p  x , y , t    gy  F t  .2tОпределяя константу из граничных условий на поверхности p  x , h  x , t  , t   p0 , получим  x , h  x , t  , t  p0   gh  ,ttтак как скорость (по предположению о характере течения) не зависит от у.

Если набесконечности поверхность жидкости не возмущена, то h  x , t   h0 . Функциюp  x , y , t    gy    x , h0 , t   x , h0 , t  0 можно положить равной нулю (?), так как v  const txне зависит от времени. Тогдаp  x , y , t   p0   g  h0  y   .tПоскольку мы учитываем только горизонтальную скорость течения идеальной жидкости ik   p ik , общее выражение теоремыf t  Pi  t     ik d k   f i dVtVупрощается, так как i  1 (Рх):Px  t     xk d ktЗдесь ik    vi vk  p ik  - тензор плотности потока импульса.Выполняя интегрирование по замкнутой поверхности, получим:  vx2  x , y , t  dsx    vx2  x1 , t  h1   vx2  x2 , t  h2 ,1h1h200h2  h1   , 2   g  y  x , y , t  dsx    g   h0  y  dy   g   h0  y  dy   g  h2  h1  h0    x , y , t   x1 , y , t     x2 , y , t dsx     dy  dy ttt00h2h1p0  dsx  0 .Px  t g 2 2    v22 h2  v12 h1  h2  h1    gh0  h2  h1    dsx .t2tПереходя к пределу x2  x1  dx , получим дифференциальные уравнения непрерывностии изменения импульса (аналог уравнения Эйлера в редуцированной задаче):22  hv    hv   g   h h   hv h0  gh0  v2 h2  v1h1  0 .txtx2 xxtС помощью уравнения непрерывности уравнение Эйлера можно упростить, учитывая2  hv    hv vvvv h   hv   v vhv,htxx txtx t2 g  h h.  gh2 xxПолучим системуvvhh   hv  v  g0 .0txxtxСравним ее с системой уравнений для идеального газа в адиабатном процессеОтсюда   p     p0   .

Уравнение непрерывности для газа переменной плотности и уравнение 0 Эйлера при одномерном течении имеют вид    v vv 1 p0 ,v 0 .txtx  xВыполняя дифференцирование давления, получимp vv v    2 00 .tx0 xПри   2 уравнение Эйлера для газа упрощается, что приводит к системе    v vv 2 p 0 , v  200 ,txtx 0 xкоторая совпадает редуцированной системой для «мелкой воды» в канале, при замене2 p0  y, g .02Интегральные теоремы (модификация)Другой подход может быть основан на применении интегральных теорем об изменениимассы импульса и энергии, поскольку скорость в любой точке сечения мы считаемодинаковой, а течение – одномерным.Тогда рис….изменение массы, импульса и полной энергии в выделенном объеме, заданномсечениями х1 и х2 и поверхностью жидкости, определяется системмой уравнений:2yh2h1v2v1О1.

Уравнение непрерывностиdm  m1  m2    v1h1  v2 h2  dtx22.где dm    dx  h  x , t2   h  x , t1  х1х2xx1Рис.dP 2. Изменение импульсаx2   v t , x  h t , x    v t , x  h t , x   dx    v h22121 11 v22h2  dt   F1  F2  dt ,x1h1гдеh2F1   p  x1 , y dy ,F2   p  x2 , y dy .003. Изменение полной энергии  v 2  t2 , x h 2  t 2 , x    v 2  t1 , x h 2  t1 , x  dE     h  t2 , x    g gh  t1 , x   dx 2222 x1  x2  v2 h v22 h2h 2  t1 , x  h 2  t2 , x      1 1  gvg 1  v2  dt   F1 v1  F2 v2  dt 222 2 Переходя к пределу x2  x1  dx , и t2  t1  dt , получим систему уравнений «мелкой воды»:h   vh  0,tx2  vh    v h  1 F0,tx x  v2  gh  h tЗдесь величина F  x , t    v  v2  gh  h x2   Fv 0. xh x ,t  p  x , y dy должна рассчитываться, как и прежде, при помощи0интеграла Коши, если рассматривается потенциальное течение.Метод Лагранжа (вариационный принцип)И наконец, можно использовать метод Лагранжа для систем с идеальными связями.Для этого вычислим кинетическую и потенциальную энергию системы как функциюлагранжевой координаты qi.

Пусть положение частицы задано лагранжевой координатойq   ,  , так что r  t   r0  q  r0 , t  . Здесь нумерация частиц осуществляется по ихначальному положению. Соответственно, r  q  r0 , t  - скорость частицы. Для элементарногообъема V масса остается постоянной, но при движении возможны деформации,удовлетворяющие уравнению непрерывности.На частицу действует сила тяжести f А   gV  mg , определяемае ее положением –активная сила, а также контактные силы давления со стороны соседних частиц - силыреакции. Суммарное воздействие этих сил приводит к изменению импульса частицы:1d mr  mgdt   pds  mgdt  pV  m  g  p  dt  f Adt  f R dt .  3Используя тензроные обозначения r  xi  , найдем проекции уравнения движения наqнаправление  xi   xi 0  i  xk 0 , порождаемое вариацией «обобщенных координат»xk 0q   ,  , определяющих положение точки в выбранный момент времени как функцию«номера» точки – начальной координаты.Для дискретного набора точек это действие выглядело так:dd ramara mara   ra  mara   ra  f aA   ra  f aR   radtdtи приводило к уравнению для точки с номером аm r2 dmara   ra    a a   f aA   ra  f aR   radt 2 Интегрируя его по времени с условиями для вариаций  r  t1,2   0 , избавляемся отпроизводной по времени, и получаем выражение для одной частицыt2  mr 2 dtfrfr  0.AR   2 t1Суммирование уравнений для всех частиц позволяет исключить силы реакции связей,  если система идеальна, т.е.

в случае fRa     ra  0a  mara 2 Adtfr  0.aa a  2 t1Для потенциальных сил сумма проекций выражается в виде вариации от потенциальнойэнергии взаимодействия частиц и энергии во внешних полях f aA   ra  U ,t2aчто приводит к уравнению вида  mara 2 dtUt a   2    0 ,1который и рассматривается, как вариационный принцип.Получить из вариационного принципа уравнения движения частиц можно лишь в томслучае, когда все вариации динамических переменных qi являются независимыми, поэтому вдинамике систем с идеальными связями часто ограничиваются только голономнымисистемами, для которых все динамические переменные выбираются независимыми доинтегрирования уравнений движения.

В случае неголономных систем уравнения связейзаписываются только для дифференциальных соотношений, которые не могут бытьвыражены в виде конечных соотношений до интегрирования задаич динамики. В этомслучае вариационный принцип реализует условный экстермум функционала.Переход к вариационному принципу в механике сплошной среды проводится путемзамены суммирования по индексу интегрированием по элементарным массам ma   d 3rt2 r  r , t     U  0 .2t1VВернемся к задаче о движении жидкости в канале, полагая скорость течения одномерной.Для выполнения вычислений учтем соотношение между введенными обобщеннымикоординатами q   ,  и декартовыми координатами точки r  r0  q  r0 , t  , и перейдем кинтегрированию по начальному объему, не зависящему от времени.

В рассматриваемомt2 dt  d r 34q dx   1  dx0 .x0 Независимые вариации  q   q  x0  выбираются для каждой элементарной массы, заданнойв начальный момент своей координатой х0.Сохранение этой элементарной массыq  h0 dx0   h  x , t  dx   h  x , t   1 обеспечивается выполнением условияв dx0x0 подынтегральном выражении.xxx22 x 2   x  2  х х 2 2xL      hhdx0 .T     h t , x dx0 , U   h  x , t dx0 ,2 x1   t 2 x1  t х02 x1x0 x0Динамическими переменными редуцированной задачи могут быть q, h, но они неявляются независимыми, поэтому варьирование по ним не приведет к уравнениям движения.Связь между этими переменными устананавливается с помощью уравнения непрерывности:xh h x   0 .x0 x0Искать экстремум функционалаt2t2x2 x 2 x  Ldt    dt      h hdx  0tx0t1t1x1 при наложенных неголономных связях удобно при помощи метода неопределенныхмножителей Лагранжа λ.

Проинтегрируем уравнение непрерывности по координате ивремени, и прибавим к функционалу, умножив на «неоределенный множитель» λ:t2t2x2t2x2  x 2 x xx2  Ldt    dt   h    h dx0   dt     h h x   dx0  0t  x0 x0 x0t1t1x1  t1x1 x0случаеквазиодномерногодвиженияx  x0 , t   x0  q  x0 , t  ,иТеперь можно варьировать по всем переменным, как независимым, включая инеопределенный множитель, (чтобы не забыть уравнение связи).Интегрирование по частям позволяет выделить независимые вариациии  q ,  h ,  вподынтегральном выражении:t2t2x2   x  x  x 2  x  x    Ldt    dt    2h h x     h     h dx0 t x0  t x0  x0  t1t1x1   t   x0t2x2x   dt   h x   dx0  0 h x0 x0t1x1Приравнивая коэффициенты при независимых вариациях нулю, получим систему уравнений:2 x  x   x x x 2hh00,  hx0t x0  t x0  x0  t xкоторая вместе с уравнением непрерывности  h h x   0 образует полнуюx0 x0систему.5.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций