07_11_11 (1183942)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 07.11.11.Вариационные методы в МСС.Метод Лагранжа — метод построения и интегрирования уравнений движения точки.Эффективно работает в системах, где имеются потенциальные (обобщенно-потенциальные)силы. Применим в системах с идеальными голономными связями.Перечислим основные достоинства подхода.1. Возможность построения системы скалярных уравнений — проекций на заданныенаправления для произвольных локальных векторов r , задающих направления в любойточке. Особенно просто, если эти направления порождаются обобщенными координатами  r qk , t r  r qk , t  , так что r q i /точечные преобразования/.q i2. Построение системы уравнений становится тривиальным, если рассматриваются только потенциальные силы rotF r , t   0 .3.

Эффективен для построения уравнений в системах с голономными связями  f m r1 , r2 , ...r j , t   0 , позволяя описывать особый тип воздействия на систему путем заданияуравнений связей /возможно, зависящих от времени/, а также формально исключитьуравнения связей путем введения обобщенных координат.4. В системах с идеальными связями позволяет максимально просто исключать силыреакции таких связей в самом начале процедуры (в отличие от метода неопределенныхмножителей Лагранжа), учитывая действие связей при помощи геометрических методов(задания нетривиальной метрики). Напомним, что реакциями связей называются силы R i ,действующие на точки системы, но не заданные явно с помощью их зависимостей откоординат, скоростей или времени. Задание таких сил осуществляется путем наложенияограничений на взаимное расположение точек (голономные связи) или на их скорости(неголономные связи). Связи называются идеальными, если виртуальная работа всех реакций связей на любых виртуальных перемещениях равна нулю  Ri  ri  0 .i5.

Метод Лагранжа позволяет установить существование первых интегралов системыуравнений, даже не выписывая самих уравнений в явном виде, а также вычислить этиинтегралы (обобщенные импульсы и энергия).6. Метод позволяет установить связь между существованием интегралов движения идинамическими симметриями задачи, включая нетривиальные симметрии (калибровочныепреобразования).Представляет интерес анализ возможностей применимости такого подхода к задачам МССс целью упрощения построения и анализа решений уравнений сплошной среды.

Мыпопытаемся оценить возможности использования подхода для решения следующих проблем:1. Получения уравнений движения (и других уравнений /уравнения непрерывности,термодинамических уравнений состояния и процессов/) в произвольных криволинейныхкоординатах.2. Исследования структуры динамических уравнений, в частности, характера силреакций в идеальных системах.3. Возможности описания динамики неголономных систем в МСС и учетадополнительных ограничений на характер движения, вытекающих из уравненийтермодинамики и непрерывности.4.

Возможности описания «несилового» воздействия на систему /учет граничныхусловий/ в МСС5. Выявление интегралов уравнений МСС на основе симметрий системы.1Упругая сплошная среда /Лагранжево описание/Простейший случай — распространение метода Лагранжа на механику деформируемоготвердого тела - упругой сплошной среды. Пусть это - брусок сечением S, ориентированныйвдоль оси Ох. Плотность вещества ρ, а модуль Юнга – Е.Дискретной моделью среды является цепочка одинаковыхточечных масс mi, соединенных невесомыми пружинами, длинакоторых в недеформированном состоянии равна l.

Тогда каждаяESмасса m   lS , а сила упругости пружины F  kl l . Приlодномерном движении вдоль Ох отклонение от положения равновесия каждой массы miописывается соответствующей обобщенной координатой qi, вводимой соотношениемxi t   xi  0   qi t  , где xi  0   il - равновесное положение i – точки.Уравнение движения массы mi имеет вид:mqi  k qi 1  qi 1   qi  qi 1 илиlqi Eqi 1  qi 1   qi  qi 1   .l В непрерывной среде qi  q  x  , так что qi1  qi  q  x  l   q  x  ql, аx 2qx 2Уравнение движения этой средыqi 1  qi 1   qi  qi 1   l 2 2q E  2q,t 2 x 2является волновым уравнением со скоростью волны c E.Функция Лагранжа системы121L  T  U    mqi2  qi 1  qi     Li ,2i 2imklS 2 ES22qi где Li  qi2  qi 1  qi  qi 1  qi  ,2222lпозволяет записать уравнения движения в формеd L L 0,dt qi qiкоторая возникает в вариационной задаче об экстремуме функционалаt2  L  q , q , t  dt  0t1(вариационный принцип Гамильтона-Остроградского), если варьирование осуществляетсяпри фиксированных начальных и конечных точках qi t2    qi t1   0 .Функции Лагранжа системы точекk2mL    qi2  qi 1  qi     Li ,2i  2iперходит в функцию непрерывной среды, если учесть соотношения222m 2  lS  q qi   ,22  t 2kk qElS q2 qi1  qi    l     ,22  x 2  x 222211  q   q  q   q  Li       E    lSL   Li        E    Sdx   dV22 x   x  i  t   t где dV  Sdx - элементарный объем, а функция221  qq q , q        E   2 x    t называется плотностью функции Лагранжа или лагранжианом.Отметим, что суммирование заменяется интегрированием по начальным координатамчастиц, когда осуществлялось упорядочивание по дискретным номерам.Вариационный принцип Гамильтона-Остроградского для упругой сплошной среды имеетвид:t2q , q , q , t  dxdt  0 .t1В отличие от системы материальных точек, в лагранжиан входят не только обобщенныекоординаты и скорости, но и производные от обобщенных координат по пространственнымпеременным.Выполним варьирование функционала, учитывая возможную зависимость лагранжиана отобобщенных координат и времени:t2t2    q , q , q , t  dxdt      q q  q  dxdt .qq qt1t1 Независимость операции варьирования от дифференцирования позволяет изменить порядоквыполнения этих опреацийqq q  q ,q   q .x xt tИнтегрируя по частям второе и третье слагаемое, получаем:t2t2               q , q , q , t  dxdt             qdxdtqxqtq  t1t1 .t2 xB  q  q  dt     q  q  dx q qqqt1 xxBxA t2t1 A В соответствии с принципом Гамильтона-Остроградского потребуем выполнения условий q  x,t2    q  x ,t1   0 .

Если их дополнить условиями на пространственной границеобласти 0 , соответствующими отсутствию возмущений, то необходимые иq  x A q  xBдостаточные условия обращения вариации в нуль приводят к уравнению         0.q x  q   t  q qqЗдесь q  ,q.xtДля лагранжиана221  q  q  q , q        E   2 x    t полученное уравнение является волновым.3qq,а. 0, Eq   E q  qq xqtВыполняя теперь оставшееся дифференцирование, получим уравнение движения22Eq q   0 .x 2t 2В пространственной задаче xi   x1 , x2 , x3  и вариация функционалаДействительно,  Ldt     dVdt  0Vприводит к уравнениям движения   0.qk t qki x i qkiЗдесь i , k  1,2,3 .

Вводя обозначение  qk qki x i qki- функциональная производная от ), уравнения можно привести к виду, qkнапоминающему уравнения Лагранжа механики материальных точек:  0.t qk  qkНаивное обобщение модели связанных пружин на трехмерный случай предполагаетвыражение для плотности энергии упругой деформации вида222E q1   q 2   q 3  w    , 2  x1   x 2   x 3  однако такая модель не соответствует наблюдаемому характеру деформаций.Напряжения и деформации. Симметричный тензор напряжений  ik устанавливает связьмежду элементарной силой df i и элементарной площадкой dsk :df i   ik dsk .Деформации среды мы характеризовали симметричным тензором1  v v скоростей деформаций Ski   i  k  , который определяет2  xk xi скорость изменения расстояния между соседними точкамисплошной среды.

Для описания деформаций твердого тела в статикеудобно ввести симметричный тензор, характеризующий относительное увеличениеq 1  qрасстояния между точками  ik   i  k  тензор деформаций.2  xk xi Если деформации, вызванные мехническими напряжениями пропорциональны им, можноустановить связь между тензором напряжений и тензором деформаций. ik ~  ik ,Два симметричных тензора в одной точке можно одновременно привести к диагональномувиду соответствующим выбором координат: 1 0 0  1 0 0  ik   0  2 0  , ik   0  2 0  .0 0  0 0  33(4Для изотропной среды при изотропном сжатии естественно предполагать, чтопропорциональность тензоров задается единственным скаляром – модулем упругости, такVчто 11  11 ,  22   22 ,  33   33 , а инвариантная величина  kk  e  divq Vопределяет относительное изменение объема.

Если рассматривать изотропное сжатие, тоe11   22   33   , так что тензор деформаций в выбранных координатах имеет вид3e ik   ik . Такие деформации могут быть вызваны воздействием газа или жидкости для3которого  ik   pik , а связь между напряжением и деформацией ik  eikЕсли на тело действуют силы, растягивающие его вдоль оси Ох, а силы вдоль осей Оу и Оzравны нулю, то растяжение вдоль оси Ох приводит к сжатию тела во взаимноперпендикулярных направлениях, поэтому1  a1  b 2  c  3 .Механизм явления ясен, например, в модели полимерных молекул, свернутых в клубок.Для изотропной среды деформации в направлениях, перпендикулярных действующейсиле, одинаковы, т.е.

b  c , поэтму соотношение имеет вид1  a  b  1  b 1   2   3   a  b  1  be .Такая форма удобна тем, что использует инвариант тензора относительной деформацииe  kk  1   2   3  divq .Другой инвариант этого тензора – свертка  2   ik  ik .Введение тензора объемной деформации позволяет формально связать тензор напряженияи тензор деформации соотношением, содержащим два скалярных коэффициента λ – модульупругости, а μ – модуль сдвига. В системе координат, локально диагонализующей обатензора, связь имеет вид i  2 i  e ,а ее обобщение для произвольной системы ik  2ik  eik .Тензор деформаций можно инвариантным образом разбить на две части – всестороннегосжатия, изменяющего объем, и деформаций сдвига, оставляющих объем неизменным11 ik  ike    ik  ike  .33Использя это разделение, запишем связь между тензором деформаций и тензоромнапряжений, вводя две константы, характеризующие эти два типа деформаций – модульвсестороннего сжатия К и модуль сдвига μ:e ik  Ke ik  2    ik   ik  ,3 2где K     .3Модуль упругости и модуль Юнга.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций