28_11_11 (1183946)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 28.11.2011Малые возмущения в газахРассмотрим распространение малых возмущений в среде. Пусть равновесное состояниесреды описывается параметрами p0 , 0 , V , а отклонения от этих значений в каждой точкепространства в любой момент времени (возмущения) малы и описываютсядифференцируемыми функциями p, , u :p  p0  p,   0  , vk  Vk  uk .Уравнение непрерывности и уравнение Эйлера для сплошной среды  vk 0txk vi   vi vk 0txkпри подстановке в них выражений для плотности и скорости дают в линейном приближениипо возмущениям следующую систему уравнений:   0uk   Vk 0txkxkuup 0 i   0Vk i  0.txk xkДля рассматриваемых баротропных процессов давление среды определяется лишь ееплотностью в данной точке пространства, так что уравнения движения дополняютсязависимостью  p  p .Обычно при описании распростанении звуковых волн предполагается, чтотермодинамические процессы в элементарном объеме среды являются квазиравновесными ипроисходят без изменения числа частиц в данном объеме и без теплообмена.

В этом случаеможно использовать модель адиабатических процессов, в которых зависимость давления отплотности дается соотоношением:p  p0  0  ,где   cp cv - отношение теплоемкостей при изобарном и изохорном процессах.Выполняя дифференцирование по координатам и вводя обозначениеpp  0  c2 , s0получим систему дифференциальных уравнений для возмущений плотности и скорости:u 0 k  Vk0txkxkuu0 i  0Vk i  c20txkxkЧасто для решения системы используется метод исключения одной из переменных,например, возмущения скорости. Получившееся при этом уравнение для возмущенияплотности среды будет уравнением второго порядка:2 2 2 2 22VcVV0.kk mt 2xk txk xkxk xm1Будем искать решение линейной однородной системы в виде суперпозиции плоскихмонохроматических волн плотности и скорости.

Воспользуемся для этого представлениемрешения в виде интеграла Фурье~k  exp it  ik x d 3kxk , t    ks sui xk , t    u~i k k  exp it  ik s xs d 3kПодставляя эти решения в уравнения и проводя дифференцирование, получим длятрансформант Фурье систему алгебраических уравнений:  Vk kk ~  0kk u~k  0~     V k u~  0 . c2k i0kkiСистема будет иметь нетривиальное решение, если ее определитель обращается в ноль,что позволяет определить значения частоты , при которой существуют волновые решения.Дисперсионное уравнение, устанавливающее связь между волновым вектором и частотой,удобно получить, если умножить второе уравнение на ki и рассматривать нетривиальные~ и ~решения системы относительно величин z  ki u~i  . В этом случае дисперсионноеуравнение имеет вид:  Vk kk 2  c 2 k 2Вводя угол  между вектором скорости невозмущенной среды и волновым вектором(направлением распространения волны), приведем уравнение к виду  Vk cos 2  c 2k 2 .Решение полученного уравнения имеет вид:  0 1  V cos  c  ,где введено обозначение  0  ck .Решение с   0 существует для любых направлений волнового вектора, если скоростьдвижения невозмущенной среды V меньше фазовой скорости распространения волны визотропной среде c.Величина фазовой скорости монохроматической волны зависит от скорости среды и V инаправления распространения волныVph   c  V cos  .kВолна подвергается "сносу" потоком, движущимся со скоростью V.Из уравнения непрерывности для возмущений следует, что вектор скорости возмущенияui направлен вдоль волнового вектораВ том случае, когда скорость невозмущенного потока V превосходит скорость звука (внеподвижной среде) V  c , распространение волны ограничено углами, при которыхвыполняется неравенство c  V cos  0 .

Волны, волновой вектор которых составляет угол.. с направлением вектора скорости среды V, имеют фазовую скорость, равную нулю, т.е.поверхность постоянной фазы плоской волны любой частоты не перемещается впространстве (относительно выбранной системы отсчета). Волновой фронт такой волнысоставляет с вектором скорости потока угол , такой что sin  c V . Этот угол называетсяуглом Маха. Если возмущение среды вызвано неподвижным источником, находящимся внекоторой точке среды, например, в начале координат, то волны, создаваемые такимисточником, распространяются внутри конуса, вершина которого совпадает с точечнымисточником, а угол при вершине равен 2. Этот конус называется конусом Маха.Распространение волновых возмущений вне конуса навстречу набегающему потокуневозможно.2Сильные волныВ предыдущих разделах при изучении волнового движения мы ограничивалисьприближением слабых волн, что позволяло линеаризовать уравнения.

Рассмотрим теперьсильные возмущения, не допускающие линеаризации уравнений движения.Модель средыВ дальнейшем будем предполагать, что зависимость давления от плотности (и скорости)может быть установлена в рамках классической термодинамики. Будем считать движениеизэнтропийным и адиабатическим.Для упрощения анализа положим, что все характеристики волнового движения среды –плотность, скорость, давление и т. д. являются дифференцируемыми функциями координат ивремени. Тогда в основных уравнениях можно перейти к дифференциальной форме.Уравнение непрерывности имеет вид:  ui 0txiОграничимся случаем идеальной изотропной среды, пренебрегая вязкостью.Динамическое уравнение Эйлера в этой модели ui   ui uk ptxkxiОграничимся моделью идеального газа, для которого зависимость давления от плотностиопределяется адиабатой Пуассонаp  p0  0  .Одномерная волнаИсследование свойств модели удобно начать с простейшего случая одномерноговолнового движения.Предположим, что в безграничной среде могут существовать волны, зависящие только отодной координаты, например от x.

В этом случае все характеристики волнового движениясреды – плотность, скорость, давление и т. д. могут зависеть только от этой координаты ивремени.Уравнения движения при таком предположении упрощаются и принимают вид: ux   ux2 p  ux 0txxtx u y   ux u y  uz   ux uz 00txtxС учетом уравнения непрерывности последние два уравнения системы принимают формухарактеристических:u yuuzu ux y  0 ux z  0txtxЭто означает, что на траекториях частиц y и z – компоненты вектора скорости остаютсяпостоянными.

Таким образом, рассматриваемая модель допускает существование толькопродольных волнui  u, 0, 0,которые описываются системойuu1 p  u u0.tx xtx3Решения РиманаПоскольку нас интересуют волновые решения, естественно предположить, что скорость,плотность и давление среды зависят от одной комбинации координаты и времени. Этопозволяет искать, например, скорость и давление как функции плотности u  u , p  p .Тогда частные производные скорости можно выразить через производные плотности:uu u u .ttxxЗдесь штрихом обозначена производная скорости по плотности.Заданная зависимость давления от плотности также позволяет связать производнуюдавления по координате с производной плотности по координате:p c 2   ,xxгдеpc 2     p   . sПроизводная в рассматриваемой модели вычисляется при постоянной энтропии.С учетом сделанных предположений уравнение непрерывности и уравнение Эйлераприводятся к виду: u  u 0u  uu  c 2 0.txtxЭти уравнения можно рассматривать как систему для определения неизвестной функции  t, x  .Условие существования нетривиального решения – обращение в нуль определителя:uu  c2   u  u  u  0 .Отсюда следует, что скорость должна удовлетворять условию:duc .dРешение этого дифференциального уравнения определяет связь между скоростью иплотностью средыc u    d  const .Уравнение непрерывности теперь может быть записано в форме характеристическогоуравнения u  c  0.txСоотношения между скоростью и плотностью, записанные в формеc ud  constи выполняющиеся на характеристикахV  u  cназываются инвариантами Римана.Решение уравнения для плотности, следовательно, может быть представлено в форме:  x  V   t 4Для принятых условий деформаций элементарного объема идеального газа зависимостьхарактеристической скорости, например, V+ от плотности выражается простымсоотношением: 1 1 0  2 ,V  c0 1p0.0Отметим основные свойства волны в данной модели:1.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций