Chizhov_lektsiya_2 (1183949)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

2.6. Дифференциальные операторы в криволинейных координатах.Криволинейными координатами qi  называется набор параметров, позволяющий определить положение точки в пространстве r  r  qi  и порождаемый ими наборнаправляющих векторов в каждой точке пространства.Введение дифференциальных операторов в криволинейных координатах удобнопроизводить, рассматривая инвариантные скалярные операции.1.Для определения градиента функции, зависящей от обобщенных координат p  p  qi  ,вычислим дифференциал скалярной функции: dp ppdqi  dq a .qi qЕсли обобщенные координаты являются ортогональными, то их изменение порождаетвекторы, ортогональные друг другу Здесь нет суммирования по индексам, поэтомуиспользованы греческие индексыrdr dq  H dq a e ,qгде e - единичные (ортогональные) векторы, а Нα – параметры Ламе, определяющиедлину векторов.

Это позволяет представить дифференциал скалярной функции, какскалярное произведение вектора некоторого вектора dr   e H dq a и вектораdp   e   ep p , определяя векторный оператор – градиент функцииH  q:H  q dr      e H dq ,a  eH  q      e  e   H dq aH  q  ,    H dqaH  q , .   dqaqaСистема координатЦилиндрическая r ,  , zСферическая r ,  , Метрикаdl 2  dr 2  r 2 d 2  dz2 ,dl2  dr 2  r 2 d 2  r 2 sin 2 d 2Параметры ЛамэHr  1, H  r , H z  1Hr  1, H  r , H  r sin         Градиент   er  e ez  er e errzrrr sin 2.Для определения дивергенции вектора A  Ai eiv2воспользуемся интегральным соотношениемe3 Σ2AddivAdVdivA,определяющимоперациювe2Vкриволинейных координатах.

Рассмотрим элементарныйобъем, изображенный на рис 2. При вычислении потокавектора A рассмотрим вначале вклад dФ1, даваемый двумяповерхностями Σ1 и Σ2 – основанием и «крышей»криволинейного куба, соответственно. Площади их:1  dl1dl2  H1 H2 dq1dq2 ,v1Σ1e1Рис. 22  dl1 dl2  H1  q3  dq3  H2  q3  dq3  dq1dq2 .10Поток вектора через эти поверхности (с учетом направления нормалей)d 1  A3  q3  dq3  2  A3  q3  1  H1 H 2 A3  dq1dq2 dq3 .q3Вычисляя аналогично потоки через две другие пары поверхностей, получим суммарныйпоток вектора через замкнутую поверхностьd  d1  d2  d3  divA  dV  divA  H1 H2 H3 dq1dq2 dq3 .Отсюда 1divA  A1 H 2 H 3    A2 H1 H 3    A3 H1 H 2 H 1 H 2 H 3  q1q2q3В цилиндрических координатах 1  divA    Ar r  A   Az ,r  r zа в сферических1 2divA  2 A r sin     A r  .  Ar r sin   r sin   r3.

Для вычисления ротора вектора A воспользуемся аналогичным методом и рассмотримциркуляцию вектора по элементарному контуру С,q2  dq2q2образованному криволинейной трапецией О123, лежащейв плоскости, образованной ортами e1 и e2 . Стороны этой32трапеции – линии постоянных значений обобщенныхq1  dq1координат q1 , q2 .

Длины сторон этой трапеции равны:e2для О1 и О3 - dl1  H1 dq1 и dl2  H2 dq2для 12 и 32 - dl2  H2 dq2  H2  q1  dq1  dq2 иdl1  H1 dq2  H1  q2  dq2  dq1 , соответственно.Ориентированная площадь трапеции 3   e1  e2  dl1dl2  dl1dl2 e3  H1 H2 dq1dq2 e31e1Оq1Рис. 3При обходе по контуру С в положительном направлении циркуляция вектора скорости: 3  A1 H 1dq1  A1 H 1dq1  A2H 2dq 2  A2 H 2 dq 2  A2 H 2  dq 1dq 2   A1H 1  dq 1dq 2q1q2 С другой стороны, по определению операции rotA 3  rotA  1  rotA H1 H 2 dq1 dq2 . 31   A2 H 2    A1 H 1  .H 1 H 2  q1q2Циклическая перестановка индексов позволяет получить остальные компоненты.В цилиндрических координатах r ,  , z A  Ar er  A e  Az ez , Hr  1, H  r , H z  11 1 rotA    A r  Ar  .rotA  Ar  Az ,rotA Az  A ,zrr  r zrr zВ сферических координатах A  Ar er  A e  A e1  1 rotA A sin   A  ,rotA Ar   A r sin    ,rr sin   r sin   r1 rotA  A r   Ar .r rОтсюда B3   rotv 3 112.7.

Ускорение в криволинейных координатах.Поле ускорений определяется выражением: d      a  r , t   v  r , t   v  v  vdttПусть вектор скорости задан в цилиндрических координатах v  vr er  v e  vz ez .Переход от точки 1 к соседней точке 2 изменяет и проекции вектора, но и орты:  v1  r , t   vi  xk , t  ei  xk  ,v2  r , t   vi  xk   xk , t  dt  ei  xk   xk  .Дифференцирование дает a  v  v r er  v e  v z ez  vr er  v e  vz ez .    1   Оператор дифференцирования   erприводит к выражению для e ezrr z  v оператора конвективной производной v   vr vz .r r zОрты не зависят явно от времени, а орт e не зависит и от координат, так что e  0 .zzv    При действии на орты er  er   , e  e   остается только оператор v   .r    Соотношения, известные из курса теоретической механики, даютer  e ,e   er , чтоприводит в итоге к выражениюv v d v  v r er    v e    v z ez  vr  e    v  er   .dtrrВектор ускорения имеет следующие проекции на ортыvvv2 v   v  a    vr vz  v  r  ,ar    vr vz  vr   ,r r z rr r z r t t v  az    vr vz  vz .r r z  tАналогично могут быть вычислены проекции вектора ускорения в сферических координатах.Альтернативным способом является использование формы Громеки-Лэмба: v  v  2  v     v2/2  .Вычислим вначале вектор вихря в цилиндрических координатах2r 1 vz v,r  z2 vr vz,z r1   v r  vr 2z  ,rrи векторное произведение2v  vr vzvr v vr  v   v2    v r  vr   vr  vz 2  vr  vz   vr    ,z rr rrzr r r  2 v   v v vv  vr v 1   v2  vr    v r  vr  vz  vzr vz 2  v      vr r  z   rr z rr   2  r r  v  vzv  vz v vzvr vzvz    v2 rvvv rz r  .r  z z rr z  z  2  r  v2     v2   1   v2     v2 Учитывая, что     er   e   ez   , получим выражения дляr  2 r   2 z  2  2 проекций ускорения, полностью совпадающие с предыдущими вычислениями.  2  vz 12Тензор скоростей деформаций в ортогональных криволинейных координатах.Если поле скоростей задано в криволинейных ортогональных координатах, то скоростьдеформации ориентированного материального отрезка  l e liiудобно вычислять в этих жеiкоординатах, введя тензор скоростей деформаций в криволинейных координатах, как объект T̂ ,d   ˆ  l :  v  T l .dt Проекции этого вектора на локально-декартовы орты  vi   ei   v  задаются матрицей Tik  qm  всоответствии с определением:  vi  Tik lk .сопоставляющий вектору  l  r2  r1 вектор скорости его изменения  v Так как в различных точках пространства вводится своя система ортов,d  li  de ei   li i ,dtdtпри вычислении матрицы тензора скоростей деформаций необходимо учитывать скоростьизменения ориентации ортов.Чтобы избежать ошибок при вычислении тензора, определим скалярную величину –скорость изменения длины ориентированного материального отрезка непосредственно изd  li d  l dвыражения 2 li  2 li   vi , учитывая, что  li  Hi  qm   qi . l 2  2 l dtdtdtВыполняя дифференцирование по времени, получимd  qi  H id  li  dH i  qm  vi  qi  H i  qm q m qi  H i  qm   q i ,dtdtdtqmdгде  q i   qidtЗакон движения, заданный в обобщенных координатах, qi  qi  t  , позволяет определитьперемещения частиц среды за время dt:dl   ei Hi  qm  dqi   ei Hi  qm  qi dt . v  v2  v1 iiС другой стороны, поле перемещений может быть вычислено по заданному полю  скоростей сплошной среды v  qk , t   vi ei : dl  vdt  vi ei dt .

Отсюда получаем связь междуполем скоростей в реальном пространстве и полем обобщенных скоростей:v q , t q i  qm , t   i m .H i  qm q i  vi qm    qmqm  H im qmmподставим полученные выражения в исходную формулу для  vi :Вычисляя вариацию поля обобщенной скорости  q i  qm   ,H iv H i  vi  qi  H i q i   k qi  H i   qm.qkqm  H i kk H k q kmВозвращаясь теперь от  qi к  li с помощью соотношения  li  Hi qi , получим vi   q k vi  kvk H iH   vi li    lm iH i H k qkH m qm  H imvk H iH   vi   im  i      lmH m qm  H i   m  k H i H k qkМатрица коэффициентов тензора скоростей деформаций в криволинейных координатах:v H nH   vn Tmn   k nm  n.H m qm  H n k H n H k q k13В цилиндрических координатах r ,  , z , где Hr  1, H  r , H z  1 , компоненты ТikvrrTim vvrrvzr1 vrr 1 v vrr  r1 vzr vrzvzvzzvrr1 vrTim r vrzvr1 vvrv rr  rvvzr1 vzr vzzz11Выделим симметричную и антисимметричную части Tik  Sik  Aik  Tik  Tki   Tik  Tki 22vv1  1 vrv1  v v S12    S11  r ,S13   r  z  ,2  r  rr r2  z r 1  1 vz v v1 v vrS23  S33  z .S22  ,,2  r  z zr  rd1Скорость деформации  l определяется тензором Sik :  l Sik li lk .dt2 lАнтисимметричная часть тензора Тik соответствует компонентам вектора, который не  1 совпадает с вектором вихря     rotv ! Для сравнения цилиндрических координатах2v 1 vr 1  v1  1 vz v 1  vz vr 3  A12      1  A23   , 2  A13  , а2  rr r  2  r  z 2  rz v 1 vr 1  v1  1 vz v 1  vz vr 3  A12      1  A23   , 2  A13  .2  rr r  2  r  z 2  rz vКак видно из этих равенств, 1  1 , 2  2 , но 3  3  2  .r14.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций