05_12_11 (1183941)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 05.12.11. Распространение волн.1. Отражение и преломление звука.При падении звуковой волны ω, k1   k1 sin 1 , k1 cos1 на границу раздела двух сред, характеризуемых скоростьюзвука с1 и с2 соответственно, возникает отраженная волнаω, k1   k1 sin 1 ,  k1 cos1  и преломленнаяyθ2xω, k2   k2 sin 2 , k2 cos2  .Связь между волновым вектором и частотой волны вкаждой среде определяется из волнового уравнения дляпотенциала скорости     t , x , y  , v  θ1θ`1 2 2   2  2 c  2  2   0t 2y  xи для монохроматической волны   t , x , y   Aeikr it имеет вид  2  c 2 k 2 .sin 1 с1 .sin 2 c 2Граничные условия – равенство нормальных составляющих скоростей среды по обе1  t , x , 0   2  t , x , 0  и равенство давлений p1  t , x ,0   p2  t , x ,0  ,стороны границыyy pвычисляемых при помощи линеаризованного интеграла Коши  F  t  , приводят кt уравнениям для амплитуд трех волн на границе разделаcos 1cos 2A1  A1 A2 ,1  A1  A1   2 A2 .c1c2Волновые векторы всех трех волн лежат в одной плоскости, k1  k1 , 1  1 ,Эти уравнения определяют коэффициент отражения R A12A122  tg  1tg1  2 2 . 2 tg2  1tg1 2  c   1c 1 При нормальном падении 1  0 R   2 2 , а при угле падения  2 c 2   1c 1 tg 1 2 2c2 2   1c 1 12  c12  c22 2R0  0 (полное внутреннее отражение).2.

Давление волны на границу разделаПри отражении волны от границы разделадвух жидкостей, она оказывает механическоедействие на эту границу. Сумма потоков энергии в отраженной и преломленной волнах равнапотоку энергии падающей волны (как мгновенному, так и среднему):c1W1 cos1  c1W1 cos1  c2 W2 cos2 .Учитывая коэффициент отражения R A12A12W1, получим для среднего потока энергии,W1c1 cos 1 1  R  W1 .c2 cos 2Выражение для тензора плотности потока импульса позволяет вычислить давление награницу, как «потерянную» у-компоненту импульса при переходе через границуp   W1  W 1 cos2 1  W2 cos2 2С учетом выражения для W2 получимпрошедшего во второую среду W2 1p  W1 sin 1 cos1  1  R  ctg1   1  R  ctg2 .При нормальном падении отсюда получается22 1c1    2c2   2 1 2c12p  2 W1.2  2 c 2   1c 1 3.

Приближение эйконалаПлоскую на небольшом участке волну можно описывать в теорминах лучей, т.е. линиях,касательные к которым в каждой точке определяют направлени распространения волны,переходя к геометрической акустике.В этом приближении потенциал скорости волны удобно представить в виде произведениямедленно меняющейся амплитуды и экспоненты от фазы – функции координат и времени,близкой к лингейной:   a  t , r  ei , где   k  r  t   (сравнить метод ВКБ). Это t для небольших участковtпространства и интервалов времени, определяя волновой вектор и частоту волны в каждойточке пространства соотношениями k   ,   .

Фаза ψ, медленно изменяющаяся вtпространстве и времени, называется эйконалом.Уравнение для эйконала получается из дисперсионного соотношения для звуковой волны2  c 2 k 2 при подставновке в него выражений для частоты и волнового вектора через эйконал:22  2  c  . t Сравнивая это уравнение с уравнением Гамильтона-Якоби релятивистской частицы вовнешнем поле Ak   ,  A , энергия которой связана с обобщенным импульсомпозволяет ввести разложение   r , t    0  r    2e 2соотношением  E  e   c 2  p  A   m2c 4 .c Энергия как функция обобщенного импульса – это функция Гамильтона2e H  c 2  p  A   m2c 4  e ,c а соответствующие канонические уравнения релятивистской частицы имеют вид:r  p H .p  H ,Функция S  r , t  , осуществляющая преобразование к новым каноническим переменным,являющимся циклическими, удовлетворяет условиямS H ,p  S ,tкоторые приводят к релятивистскому уравнению Гамильтона-Якоби22e  S22 4ecSA m c .c  tДля ультрарелятивистской свободной частицы это уравнение упрощается22 S 2   c S , t и совпадает с уравнением для эйконала, отличаясь лишь обозначениями.Следовательно, для волнового вектора можно записать канонические уравнения k   ,r   k .2в которых функцией Гамильтона является частота волны, выраженная как функциянезависимых переменных - координат r и обобщенных импульсов k :    r , k .  В стационарных процессах функция Гамильтона    r , k не зависит явно от времени 0 , поэтому на решениях уравнений (вдоль луча) частота волны остается постоянной.tЕсли звук распространяется в стационарной неоднородной среде, то скорость егораспространения является функцией координат c  c  r  , и поэтому  r , k  c  r  k . Канонические уравнения в этом случае имеют вид:k cn  r  .kЗдесь n  k / k - единичный вектор в направлении распространения волны.

Учитывая, чтоk    kc  r  ,r   k  cчастота волны вдоль траектории луча не меняется, с помощью соотношения k c r n r можно определить форму лучей. Воспользуемся каноническими уравнениямиwwk  n  2 n r c  n  n n c  kc .ccccОтсюдаn  c  n n c .Перейдем теперь к траектории, вводя элементарный путь dl  cdt :dnc n n cdlc cЕсли в результате решения уравнения Гамильтона-Якоби эйконал известен как функциякоординат и времени, то с его помощью определяется и распределение интенсивности звука впространстве.

Для стационарных процессов плотность потока энергии q удовлетворяетуравнению непрерывности divq  0 вне источникаов звука. Поскольку q  cWn , тоУравнение, определяющее распределение энергии в пространстве, имеет вид div  cW 0. 4. Плотность энергии в движущейся среде.Плотность энергии волны в движущейся среде дается выражением   u21 2c 2 0V 2   V 2 2 c 2   V  u    0   V  u  0     V  u 22 022 0  2  2При усреднении оставим лишь квадратичные члены, описывающие энергию волны.Из линеаризованного уравнения Эйлера найдем связь между давлением и скоростьюpu V  u  ,tи возмущением скорости и плотности в волне  k V u  kc 2   / 0ОтсюдаE  E0  k V,где E0  с 2  2 /   p2 / c 2 - плотность энергии в системе, движущейся со средой.35.

Отражение волны от поверхности разрываПусть звуковая волна падает на границу раздела сред, причем среда z  0 движется соскоростью V вдоль оси Ох.zВолновой вектор падающей волны k   sin  , cos   . Вθ2cпокоящейся среде z  0 существуют падающая и отраженнаяволны, поэтому давление задается суммойp1  e it ikx x  eikz z  Aeikz z  .Давление в преломленной волнеp2  eit ikx x i zθxθ`Дисперсионное соотношение для волны в неподвижнойсреде, определяемое условием существования нетривиального решения волнового уравнения1 2  2 2  0 , имеет вид:  2  c 2 k 2  0 , а в движущейся среде, где волновое уравнение имеетc tвид2  V 2  2V 21 2120,z2 c 2  x 2c tx c 2 t 2дисперсионное соотношение  Vkx 2 c 2  kx2   2 Амплитуды падающей, прошедшей и отраженной волн связаны граничными условиями –непрерывностью давления и смещения частиц по обе стороны границы:kB  z2  1  A  .1  A  B,2  Vkx   Vkx  /   2 / kz ,2  Vkx  /   2 / kz2Отсюда амплитуда отраженной волны A 2   Vkx  /2и прошедшей B 2  Vkx  /   2 / kz.Решая дисперсионное уравнение, определим κ, воспользовавшись условиями при z   . c 1  M sin  2  sin 2  .Здесь число Маха M  V /c .Выбор знака определяется естественым условием – групповая скорость прогедшей волнына бесконечности положительна:  c 2vzgr 0.  VkxПри этом знак фазовой скорости может оказаться как положительным, так иотрицательнымc.vzph   22 1  M sin    sin Возможны три режима отражения.1) При малых значениях М, удовлетворяющих условию M  1/sin   1 κ –действительная величина, и   Vkx  0 .

При этом A  1 - обычное отражение.42) В промежуточной области М, удовлетворяющих условию 1/sin   1  M  1/sin   1κ – чисто мнимая величина. При этом A  1 - полное внутреннее отражение.3) При больших значениях М, удовлетворяющих условию M  1/sin   1 κ –действительная величина, но   Vkx  0 , поэтому положительность групповойскорости обеспечивается изменением знака κ, т.е. фазовой скорости: vzph  0 .

Приэтом A  1 - сверхотражение. Плотность потока энергии в преломленной волне2Bc 2направлена к границе раздела q  v W2 . В этом случае  Vkx   Vkx 2  c 2существуют такие значения волнового вектора, при которых знаменатели выражений,определяющих амплитуду отраженной и преломленной волн, обращаются в нуль, т.е.решение, отличное от нуля, может существовать при сколь угодно малой амплитудепадающей волны. Иными словами, в системе возможно спонтанное возникновениезвука, созданного поверхностью разрыва.6. Отражение прямой ударной волныРассмотрим отражение ударной волны от неподвижной стенки трубы, в которойраспространяется ударная волна.

Пусть стенка находится вточке x  L , а фронт ударной волны D,распространяющийся со скоростью с на рис., достигаетстенки в момент t  t1 . Условие на стенке u  0, t   0 .За ударной волной скорость вещества u1, его плотность ρ1 и давление р1 являютсяизвестными функциями начального состояния газа ρ0, р0.Воспользуемся теоремами об изменении импульса и энергии газа массой m, находящегосямежду фронтом ударной волны в момент t  0 и неподвижной стенкой. За время t1 газ пришелв движение со скоростью u под действием сил F0 и F1, изменив свой импульсmu   F1  F0  t1и энергиюmmu2 mCVT1  CVT0  F1ut1 .2mИз уравнения состояния pV  RT с учетом геометрии трубы V  SL и соотношенияgrzМайера R  C p  CV  CV   1 получим выражение для внутренней энергииpVFL, 1  1которое позволяет записать теорему об изменении энергии в удобном видеF1  L  ut1  mu2 F0 L F1ut1 . 12 1Исключая отсюда скорость вещества за фронтом ударной волны mu   F1  F0  t1 , получимуравнение, связывающее давление за фронтом волны и время ее движения:22mF1  L  ut1   mu  mF0 LmF1  L  ut1   F1  F0  t12 mF0 L F1mut1 , F1  F1  F0  t12 . 12 1 12 1mCVT Отсюда можно найти время движения фронта волны t12 учитывая, что m  0 LS , F0  p0S, F1  p1S :2mLи его скорость,  1 F1    1 F05L2   1 p1     1 p0.t122 0После достижения фронтом неподвижной стенки, движение газа прекращается, а от стенкираспространяется фронт отраженной ударной волны со скоростью с2, за которымустанавливается новое состояние газа, характеризуемое высокой температурой T2  T1  T0 .За время t2 фронт пройдет расстояние L2  L  u  t1  t2  , и остановит ту массу газа, котораябыла приведена в движение падающей волной.

Изменение импульса и энергии газа за времяраспространения падающей и отраженной волн по выделенной массе газа дается теоремами обизменении импульса и энергии:F1  t1  t2    F0t1  F2t2   0c12 F2  L  u  t1  t2   1F0 L F1u  t1  t2  1Выразим из первого уравнения время движения отраженной волны t2 подставим выражение t1  t2 F1  F0t1 , иF2  F1F2  F0t1 во второе уравнение, учитывая mu   F1  F0  t1 :F2  F1F F F FF2  mL   F1  F0  t12 2 0   F0 mL     1 F1  F1  F0  t12 2 0 .F2  F1 F2  F1 3  1 F1    1 F02mLТак как t12 , то подстановка дает F2  F1.  1 F1    1 F0  1 F1    1 F0Из выражения для давлений в падающей и отраженной ударной волнах следует, чтоp2  3  1 p1 / p0    1.p1   1 p1 / p0    1При малых амплитудах возмущения в падающей волне p1  p0  1    , где   1 ,p2  p1  1     p0  1  2  , т.е.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций