Chizhov_lektsiya_6 (1183953)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Раздел II. Течение идеальной жидкости.1. Равновесие несжимаемой жидкостиВ покоящейся жидкости vi  0 и уравнение Эйлера и описывает условия равновесия:p f i .xiРассмотрим простейшие примеры решения этого уравнения.а) Несжимаемая жидкость   const покоится в однородном поле тяжести f i  gi .Определить давление в жидкости.В системе координат OXYZ, в которой ось OZ направлена вертикально вниз gi  0, 0, g,уравнения Эйлера имеют вид:ppp 0, 0, g .xzyРешение системы тривиально и имеет вид:px, y, z   p0  gz .б) Определить равновесную форму поверхности жидкости, вращающейся как твердоетело с угловой скоростью ω и давление внутри жидкости.

Определить силу, действующуюна небольшое тело, вращающееся вместе с жидкостью.Для определения равновесия жидкости, вращающейся в однородном поле тяжести,воспользуемся уравнением Эйлера в форме Громеки-Лэмба v 1  21 v  2  v    p  g .t 2vМы рассматриваем стационарное течение, поэтому 0 . Распределение скоростей теченияt     жидкости – твердотельное v    r , ускорение свободного падения постоянно - g  g  r  p1и плотность жидкости постоянна p    .При твердотельном вращении  v     r     r   r2 ,  2  2  v 2    r    r 22    r   2r 2    r ,и уравнение Эйлера можно привести к виду:  v2 p      g  r   0 .2 Выберем систему координат так, чтобы поверхность жидкости, вращающейся вокругвертикальной оси OZ проходила через начало координат, так что давление в этой точкеравно атмосферному: p0  p0 .

Интегрирование уравнения Эйлера при таком условии дает:p x, y, z   p0 v 2  x, y, z  gz ,2или, учитывая зависимость величины скорости от координат:p x, y, z   p0 2 x 2  y 2  gz .2Для определение выталкивающей силы т. е. суммы поверхностных сил, действующих натело, необходимо вычислить интеграл:1F    pd .SПреобразуя поверхностный интеграл к объемному и выполняя интегрирование (потеореме о среднем), для малого объема получим:  V2 xF  x, y, z     pdu   V2 y .V Vg2.

Стационарное обтекание телаРассмотрим безвихревое стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости, при 1котором ω  rot v  0 во всем пространстве. Такое движение можно описать единственной2скалярной функцией - потенциалом скорости течения жидкости, определяющей поле скоростей: v   . Система уравнений содержит два уравнения - непрерывности и Эйлера,которые при сделанных предположениях в отсутствие объемных сил имеют вид:  0  v 2 p   0 . 2Интеграл уравнения Эйлера (интеграл Бернулли) позволяет определить давление вжидкости по заданному распределению скоростейv 2p const2Таким образом, при сделанных предположениях для полного решения задачи достаточнолишь уравнения непрерывности  0 ,которое необходимо дополнить граничными условиями.Рассмотрим два примера течения несжимаемой жидкости.1) Обтекание шара стационарным потокомПусть поток жидкости движется с постоянной скоростью вдоль оси OZ.

Потенциал поляскоростей невозмущенного потока (в отсутствие шара) определим выражением:0 r   Vr  Vr cos  .Если в жидкости находится шар радиуса а, центр которого совпадает с началомкоординат, то он возмущает поток жидкости. Будем считать возмущенный потокустановившимся и безвихревым.

В этом случае потенциал поля скоростей может бытьпредставлен в виде суммы:r   0 r   1 r  ,где 1 r  - потенциал возмущения, создаваемого шаром. Потенциал возмущения скоростиудовлетворяет уравнению Лапласа1  0 .Предположим, что возмущение потенциала скорости шаром пренебрежимо мало набольших расстояниях, так что 1 r   0 при r  a . Поверхность шара будем считатьнепроницаемой для жидкости, так что радиальная компонента скорости на поверхности шараобращается в нуль. Это приводит ко второму граничному условию 0 r  1 r   V cos  .r r ar r a 2Предполагая, что возмущенное течение жидкости также как и движение невозмущенногопотока является аксиально-симметричным, для потенциала возмущения получим уравнение(в сферических координатах)  2  1 1   r sin  1   0 .r  r  sin    Решение уравнения методом разделения переменных1 r,   Rr приводит к следующему уравнению для угловой части:1    sin   C ,sin    где С - константа разделения переменных.Решение будет регулярным при C  nn  1 и удовлетворять граничному условию наповерхности шара при n  1 :  cos  .Соответственно, радиальное уравнение для возмущения имеет видd  2 dR r  2R  0 ,dr  dr и его решение может быть получено подстановкой R  Ar s .

Решение уравнения,удовлетворяющее условию убывания возмущения на бесконечности, существует при s  2 .Таким образом, возмущение потенциала, создаваемое непроницаемым шаром заданногорадиуса имеет вид:1 r,   Ar 2 cos  ,а константа А определяется из условия на поверхности шара 1 r  2 Aa 3 cos   V cos r r aи равна A  Va 3 / 2 .

Отсюда окончательно получаем выражения для потенциала возмущенияжидкостиVaa r 2 cos  ,1 r,  2а также поле возмущения вектора скорости (в сферических координатах) 3u  1 r,   V a r  cos , sin  2, 0.Это позволяет определить распределение давления на поверхности шараV 2  9p R  p0  0 1  sin 2   ,2  4где p0 – давление в невозмущенном потоке.Так как распределение давления симметрично относительно экваториальной плоскости   2 , то суммарное воздействие потока на шар вдоль направления движения равно нулю.Этот результат формально можно получить, вычисляя воздействие потока на элементарнуюплощадку d на поверхности сферы. В силу аксиальной симметрии потока жидкости сила,действующая на сферу, может быть направлена только вдоль оси OZ :dFz   p R  cos d .Выполняя интегрирование по всей поверхности сферы, получимFz  2R 2  p R  cos  sin d  0 .0Этот эффект называется парадоксом Даламбера: идеальная несжимаемая жидкость (припотенциальном обтекании) не оказывает сопротивления движущемуся шару.3Присоединенная массаВозмущение потока жидкости шаром изменяет (увеличивает) кинетическую энергиюэтого потока.

Эффект увеличения кинетической энергии потока при обтекании имнеподвижного шара легко рассчитывается с помощью полученных выражений для вектораскорости u . Для этого следует учесть, что полная скорость v в любой точке возмущенного  потока определяется суммой v  V  u , и определить изменение кинетической энергии,вызванное присутствием шара. Однако в большинстве случаев интерпретация этого явлениясвязывается с изменениями, которые вызывает в жидкости движущееся тело (в данномслучае шар).

Рассмотрим такую постановку задачи. Пусть в начальный момент времени ввыбранной системе отсчета жидкость покоится. Предположим, что в этой жидкостинаходится непроницаемый шар массой М, который начинает движение с нулевой начальнойскоростью под действием постоянной силы.

Спустя некоторое время шар будет двигатьсяотносительно жидкости с заданной скоростью V. Предполагая, что обтекание шара в любоймомент является потенциальным, применим к этой задаче полученные выше результаты.Для определения скорости шара можно воспользоваться теоремой об изменениикинетической энергии системы шар + жидкость: MV 2Tsys   Thydr   A , 2где А – работа приложенной силы, а Thydr – кинетическая энергия возмущения жидкости.Если в рассматриваемый момент центр движущегося шара совпадает с началом(неподвижной) системы отсчета, то распределение скоростей жидкости, обтекающей этотшар дается выражением для u :3u  V a r  cos ,sin  2,0,а плотность кинетической энергии возмущенной жидкости -:u 2 V 2a r 6 cos 2   1 sin 2  .224Интегрируя это выражение по всему объему, получим кинетическую энергию возмущения:V 216Thydr 2 sin dcos 2   sin 2  r 2 dr a r  .24a0Выполняя интегрирование, получим окончательно:V 2 2a 3 mV 2Thydr ,2322a 3где введено обозначение m  .3Поскольку энергия возмущения в жидкости определяется лишь скоростью движенияшара, а масса жидкости, вовлеченной в движение, не зависит от его скорости, суммарнаяэнергия системы оказывается пропорциональной кинетической энергии движущегося шара.Учет энергии жидкости, приведенной в движение, можно произвести, добавляя к масседвижущегося шара «присоединенную» массу m.

Таким образом, кинетическая энергиясистемы шар + жидкость выражается введением присоединенной массы: M   M  m .Теорема об изменении энергии системы позволяет получить эффективное динамическоеуравнение движения шара в жидкости: M r  F ,вид которого совпадает с уравнение Ньютона, но которое описывает движение системы шар+ жидкость.42) Обтекание цилиндра стационарным потоком с циркуляциейПредположение об аксиальной симметрии обтекающего потока в ряде случаев невыполняется.

Это может являться следствием как асимметрии обтекаемых тел, так иизменения граничных условий. Рассмотрим простейшую модель – обтеканиенепроницаемого цилиндра радиуса a, расположенного перпендикулярно потоку идеальнойнесжимаемой жидкости. Будем считать, что всюду в области, занятой жидкостью, движениепотенциально, т. е.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций