Chizhov_lektsiya_7 (1183954)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Методы расчета плоских теченийФункция токаВ плоском течении уменьшается количество переменных, что позволяет в случаепотенциального течения существенно упростить решение задач об определении течениясплошной среды. Особенно просто найти решение для потенциального течениянесжимаемой среды (жидкости).Пусть поле скоростей задано векторами в плоскости Оху: v  v x ,v y , 0 . Условиенесжимаемости divv  0 потенциального течения rotv  0 позволяет выразить компонентывектора скорости v  v x ,v y , 0 в виде градиента скалярной функции v  grad  ,удовлетворяющей уравнению Лапласа   0 .Для двумерного течения условие несжимаемости имеет видк двумерному уравнению Лапласа для потенциала φ:v x v y 0 , что приводитxy 2  2 0 или условиюx 2 y 2гармоничности.v x v y 0 в свою очередь можноyxрассматривать, как условие гармоничности для скалярной функции ψ, связанной спроекциями вектора скорости соотношениями v x , vy  :   0 .yxФункция  x, y  , удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется функцией тока,поскольку касательная к линии  x , y   const определяемая условиемd x , y  dx dy  0xyприводит к соотношению v y dx  v x dy  0илиv y dx  v y dy ,которое определяет линии токаdx dy.v x vyПотенциал и функция тока связаны соотношениями:Условие потенциальности двумерного течения x yyxт.е.

являются сопряженными гармоническими функциями.Введение функции тока позволяет сформулировать граничные условия длянепроницаемых стенок как соотношение  x , y   const , т.е. непроницаемая границаявляется одной из линий тока.1Методы ТФКП.Упростить вычисления в плоском случае удается за счет перехода к комплекснымпеременным и функциям, сопоставляя точкам плоскости (х,у) точку комплексной плоскостиz  x  iy . В этом случае операции с векторами заменяются операциями с комплекснымичислами. Особенно удобно применение комплексных переменных для описанияпотенциального двумерного течения, поскольку условие потенциальности в некоторойобласти изменения переменных D эквивалентно условию аналитичности комплексныхфункций в этой области.

Вычисление поля скоростей как градиента потенциала в этом случаезаменяется вычислением обыкновенной производной от комплексного потенциала. Для того,чтобы производная по комплексной переменной z не зависела от способа перехода к пределув окрестности рассматриваемой точки, необходимо выполнение условий Коши-Римана.Напомним, что производная функция wz    x , y   i x , y  комплексного переменногоz  x  iy определяется, как предел отношенияwz  z   wz ,w z   lim z 0zне зависящий от z  x  iy . Требование независимости предела от способа стремления кнулю x  0, y  0 двух действительных переменных приводит к выражению x  x , y    x , y  x  x , y   x , y w z   lim x 0 i lim x 0xxили x , y  y    x , y  x , y  y   x , y .w z   lim y 0 i lim y 0iyiyПриравнивая действительные и мнимые части в этих равенствах, получим условия КошиРимана ,x yyx ,которые совпадают с условиями для потенциала и функции тока, еслиwz    x , y   i x , y  .Функция wz    x , y   i x , y  называется комплексным потенциалом течения.Соответственно,любая аналитическая функция является комплексным потенциалом некоторого течения.Важными для приложений аналитическими функциями являются:полиномыPn z   a 0  a1z  ...

 an z nдля любых z;рациональные дробиa  a1z  ...  a m z mR z   0b0  b1z  ...  bn z nвсюду, где знаменатель отличен от нуля;показательная функцияe z  e x iy  e x cos y  i sin y логарифмwz   Logz  log z  iArgz .2Выделяя в окрестности точки z 0  0 однозначную непрерывную ветвь аргумента,получим аналитическую функцию - соответствующую ветвь логарифма.Производная логарифма не зависит от выбранной ветви, т.е. является однозначнойфункцией:d1Logz dzzОпределим комплексную скорость, как производную от комплексного потенциалаdwz vˆ dzчто позволяет определить проекции вектора скорости в любой точке течения:ddwz  wz  i v x  iv ydzdzxxТочки, в которых производная не существует, называются особыми точками функции(полюсы, существенные особые точки, точки ветвления).Изолированные особые точки аналитических функций имеют простую физическуюинтерпретацию.

Важнейшими для приложений являются точечный источник и вихреваянить.1. Точечный источник.Точечный источник в начале координат создает поле скоростей, поток которого черезлюбую поверхность, окружающую начало координат, постоянен. Для источникаинтенсивностью I поле скоростей определяется из уравнения непрерывностиI  2rv r r  ,откудаI.v r r  2rВ векторной формеrI v  v r er  v r r.r 2r 2Переходя к комплексной переменной z  x  iy  re i , выражение для комплекснойскорости можно записать в виде:II.vˆ  v x  iv y z* 22z2 zИнтегрирование этого выражения приводит к комплексному потенциалуI dzIwz  Lnz .2 z22.

Вихрь (вихревая нить)Вихревая нить создает индуцированное поле скоростей потенциального течения всюду,кроме начала координат: v  v  e  . Зависимость проекции скорости от расстоянияопределяется условием потенциальности потока rotv  0 . В цилиндрических координатах  v r n 3  rotv   1    v r   0 ,r  r так что при заданной циркуляции потока Г вектор скорости определяется проекциейv  r  .2rВновь переходя к комплексной переменной z  x  iy  re i , получим выражение для3комплексной скоростиvˆ  v x  iv y 2izи комплексного потенциала вихревой нити dzwz  Lnz .2i z2iВ односвязной области D аналитическая функция может быть проинтегрирована по любойкривой C, лежащей в этой области, причем значение интеграла определяется толькоположением точек а и b начала и конца кривой интегрирования: f z dz  F b   F a  .Cdwz , получимdzv̂ z dz  v x dx  v y dy  i v x dy  v y dx .Вычисляя интеграл от комплексной скорости vˆ CCCПервый интеграл в правой части равенства определяет вклад от касательныхсоставляющих вектора скорости вдоль кривой, который связывают с циркуляцией вектораскорости на замкнутой кривой, а второй — вклад от перпендикулярных составляющих,определяющих расход жидкости через рассматриваемую кривую.

Для замкнутого контурапервый интеграл дает циркуляцию вектора скорости, а второй — расход жидкости через этотконтур. В отсутствие источников и вихревых нитей эти интегралы равны нулю.Конформные преобразованияАналитические функции комплексного переменного осуществляют конформноеотображение области D переменной z на некоторое множество D* плоскостиwz    x , y   i x , y  .При этом сохраняются углы между отрезками в окрестности каждой точки, т.е.преобразование сводится к растяжению и повороту элементарной фигуры. При конформныхпреобразованиях решение уравнения Лапласа для потенциала и функции тока переходит врешение уравнения Лапласа в новых переменных.

При этом граница области подвергаетсядеформациям. Таким образом, конформные преобразования позволяют найти решение задачио потенциальном течении потока несжимаемой жидкости в области со сложной границей,если известно течение этой жидкости в области с простой границей, и найдено конформноепреобразование осуществляющее такое отображение.Пример. Определить поле скоростей плоского потенциального течения идеальнойжидкости в пространстве, ограниченном стенками, составляющими угол 600 . На большомрасстоянии от угла поле скоростей однородно.Потенциальное течение жидкости в полупространстве    x  , y  0 вдоль оси Охможно задать потенциалом  x , y   Vx . Функция тока такого течения  x , y   Vy .Введем комплексный потенциал wz    x , y   i x , y   Vz , описывающий течение вполупространстве.Отображение z    a 3 , где а — действительная константа, преобразует границуобласти y  0 в угол с вершиной в начале координат.

При этом бесконечно удаленные точкипереходят в бесконечно удаленные.Это приводит к выражению комплексного потенциала в новых переменныхwz       i   Va 3 .Действительная часть этого потенциала на плоскости     i является потенциаломскорости искомого течения, а мнимая часть — функцией тока:4  Va  2  3 2 ,  Va 3 2   2 .Эти функции удовлетворяют уравнению Лапласа в новых переменных: 2  2 2  2, Va660 Va 6  6   0 . 2  2 2  2Поле скоростей в новых переменных определяется проекциямиv  3Va  2   2v  6Va .и характеризуется линиями тока, определяемыми из условия ,   Va 3 2   2  C .В частности, при C  0 линии тока   0 и    3 совпадают с границами области,образующими между собой угол 600 : tg 60 0  3.Более сложные примеры — обтекание плоской пластинки и кругового цилиндра.Обтекание пластинки и кругового цилиндра.R2Конформное отображение z   плоскости Z ( z  x  iy ) на плоскость Wi(     i ), где   re - комплексное число, задающее положение точки наблюдения наплоскости   i, преобразует границу области — окружность радиуса R на плоскости Wв отрезок прямой | x | 2R , y  0 на плоскости Z.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций