31_10_11 (1183947)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 31.10.11. Стационарное изэнтропийное течение газа.Рассмотрим примеры, когда объемные деформации среды существенны. Будем называтьтакую сплошную среду газом. Для упрощения модели будем считать, что рассматриваемый газявляется идеальным, термическое уравнение состояния которого – уравнение Клапейрона –Менделеева, в переменных сплошной среды имеет вид:p  rT ,где   m V - плотность газа, а r  R  .В общем случае p  p   , T  , но для баротропных процессов оно упрощается p  p    .Рассмотрим в качестве примера стационарное течение газа по трубе переменного сечения,площадь поперечного сечения которой задана как функция координаты S  S x  . Еслиизменение площади происходит достаточно медленно, то поток газа является одномерным, т. е.его механические и термодинамические характеристики также являются функциями толькоодной координаты: p  px  ,   x  , T  T x  , u  ux  .Выбранная модель максимально упрощает рассмотрение течения, но выполнение условиянепрерывности возможно только в интегральном видеuS  const . 0 , учтываяС такой же точностью запишем уравнение Эйлера для стационарного теченияtлишь проекцию скорости на направление вдоль оси трубыdu1 dp.udx dxДля баротропного течения положим p    C n .

В этом случае, с учетом уравненияCсостояния p    rT   , T     n 1 .rТогда правая часть уравнения Эйлера может быть представлена в виде1 dp 1 dp dd, nC n 2 dx  d dxdx1 dpn dTdTCd n  1  n 2а производная от температуры,т.е..rdxrdx dxn  1 dxДля адиабатического процесса n  c p cv   . Учитывая соотношение Майера c p  cv  r ,cpn1 dpn dTdTr c p , так что.rcpn 1c p  cv dxn  1 dxdxЭтот результат в общем виде можно получить, обратившись к первому началутермодинамики:pq  de  2 d  0 .получим rВводяэнтальпиюw e  p/ ,адиабатического процесса de p2получимd  dw dpdw  de dpp2d ,такчтодля 0.d u2dwdu1 dpв этом случае можно записать в виде,иdx 2dxdx dxпроинтегрировать его, получив интеграл Бернуллиu2 w  const .2Уравнение Эйлера u1Для идеального газа p    rT энтальпия легко вычисляется:w  e  p /   cv  r T  c pT ,что дает интеграл уравнения Эйлера в удобном виде:u2(4) c pT  const .2Из соотношения (4) следует, что температура в адиабатическом потоке газа уменьшается сростом его скорости.

В частности, если в некотором сечении трубы S 0 , где скорость идеальногогаза пренебрежимо мала, температура равна T0 , то T u   T0  u 2 2c p . Максимальновозможная скорость течения газа по трубе в этом случае определяется сечением, гдетемпература газа равна нулюu max  2c pT0 .Уравнение Эйлера и уравнение непрерывности позволяют определить зависимость скороститечения от площади поперечного сечения.Преобразуем правую часть уравнения Эйлера:du1  dp  d 1 du 1 dS u   c2,dx  d  s dx u dx S dx  dp где введено обозначение c x    . Эта величина имеет размерность скорости, и является d  sскоростью звука в газе в данном сечении.Отсюда получаем уравнение Гюгониó, связывающее скорость потока и сечение трубы:u dSu 2  c 2 du,dx S dxdudSиз которого следует, что при u  cиимеют разные знаки, а при u  c знаки этихdSdxпроизводных совпадают.

То есть, при скорости потока в рассматриваемом сечении, меньшемлокальной скорости звука c  c  S  , уменьшение сечения трубы приводит к росту скоростипотока, а при скорости, большей скорости звука – наоборот.Сечение трубы, в котором скорость потока равна местной скорости звука u*  c* , называетсякритическим.Полученные результаты имеют большое прикладное значениедля создания систем ускоряющих поток газа. Принеобходимости разогнать газ до большой скорости,превышающей скорость звука, сечение трубы должно вначалеуменьшаться до критического, в котором скорость потокадостигает местной скорости звука, а затем увеличиваться. Трубатакого сечения называется соплом Лаваля, применившего ее впервой паровой турбине.Для адиабаты Пуассона p    p 0   0  скорость звука выражается через температуругаза:pc 2    rT ,что позволяет выразить внутреннюю энергию и энтальпию скорость звука:1 c2c2e  cV T w  c pT ,.  1 1Если скорость звука в покоящемся газе при температуре Т0 равна c 0 ( c 02  rT0 ), а в сечении2потока с температурой Т равна c 2  S    rT  S  то уравнение Бернуллиu2c pT0  c pT2определяет зависимость температуры от скорости потока  1 u2 .T u   T0 1 2 c 02 и скорость течения газа в критическом сечении, где c*  u2. 1Уравнение состояния и адиабата Пуассона позволяют вычислить зависимость от скоростиплотности и давления идеального газа.c*  c 01   1 u 2   1 ,   0 1 2 c 02 и значения критических параметров потока:T*  T02, 1 2 p*  p0    1   1 u 2   1 ,p  p0 1 2 c 02  1, 2   1*   0 1 1.Разрывное течение газаКак и течение жидкости, течение газа может быть разрывным, когда его характеристики(плотность, скорость, давление) являются разрывными функциями.Но в отличие от несжимаемой жидкости, в газе возможны не только тангенциальныеразрывы вдоль линии тока, но и нормальные скачки плотности, скорости и температуры припереходе через поверхность, нормальную к скорсоти потока.

Такой разрыв сопровождаетсяпереносом вещества через поверхность разрыва. Разрывы называются ударными волнами, и мырассмотрим сейчас простейшую модель этого явления.Предположим, что движение происходит по трубе постоянного сечения вдоль оси Ох так,что при x  0 имеется скачок характеристик.Для описания разрывного течения уравнения движения в дифференциальной форменепригодны, поэтому мы будем использовать интегральные соотношения.Закон сохранения массы в интегральной форме x k dv    u i d it VSприменительно к стационарному течению по трубе постоянного сечения дает уравнение1u1   2u 2 .Здесь индексами 1 и 2 отмечены параметры газа до и после скачка в сечении x  0 .Импульс газа в выделенном контрольном объеме изменяется за счет переноса импульсачерез контрольную поверхность и под действием поверхностных сил: x k ui dv    ui uk d k    ik d k ,t VSSчто приводит к уравнению 2u 22  1u12  p1  p 2 .Однако соотношение между плотностью давлением, даваемое адиабатой Пуассона, котороемы использовали для анализа непрерывного течения газа, теперь не имеет места.

Дело в том,что термодинамические характеристики газа введены только для равновесной системы, когдалюбой элементарный объем находится в состоянии термодинамического равновесия. Но при3переходе поверхности разрыва это условие нарушается, и течение газа при прохождении черезповерхность сопровождается ростом энтропии.Для установления связи между давлением и плотностью воспользуемся законом сохраненияэнергии, учитывая, что внутренняя энергия включает лишь среднюю энергию хаотическогодвиженияpq  de  2 d .В потоке газ обладает еще и кинетической энергией упорядоченного движения, которуюследует включить в рассмотрение наряду с внутренней энергией. Это удобно сделать припомощи теоремы Кенига, сведя энергию движущихся молекул к сумме энергии движения«центра масс» и энергии хаотического движения относительно центра масс, т.

е. внутреннейэнергии (после усреднения).При адиабатическом процессе изменение полной энергии в выделенном объеме происходитза счет переноса энергии потоком через границу объема и за счет работы сил давления,действующих на границе, что приводит к уравнениюu 22 u12  2u 2  e 2    1u1  e1    p1u1  p 2u 2 .2 2 С учетом с уравнения непрерывности оно приводит к уравнению Бернулли, в которое входитэнтальпия системы w  e  p  :u 22u2 w1  1 .22Вместе с уравнениями состояния идеального газа (Клапейрона-Менделеева) p    1e иe  cV T система является полной системой уравнений, описывающей разрывное течение газа.Ударная адиабата.Исключая скорости потока, можно получить соотношение, связывающее плотность идавление газа по обе стороны от разрыва:  1  p1  p 2   0e1  e 2  22 1  2В последнем соотношении не использованы предположения о термодинамическиххарактеристиках газа (его идеальности) и оно позволяет определить давление газа послепрохождения разрыва как функцию его плотности.

Такая зависимость называется ударнойадиабатой или адиабатой Гюгониό. В отличие от рассматривавшейся ранее адиабаты Пуассонаp 2  p1  2 1  , давление в ударной адиабате зависит не только от плотности газа послеразрыва, но и от начальных характеристик p1 и 1 . Для модели идеального газа этазависимость имеет вид:  1z    1 ,p2  p1  1    1zгде z  2 1 – отношение плотностей газа.

На рисунке изображены адиабата Пуассона иГюгониό.w2 1052Рис.46Адиабата Пуассона (пунктир) и Гюгонио (сплошная)4При заданном начальном состоянии газа перед скачком задание лишь одного параметрапосле скачка, например  2 , определяет давление газа, а следовательно, и всех остальных егопараметров. Очевидно, что плотность газа не может быть сколь угодно большой. Максимальное 1значение плотности  max  1. Для идеального одноатомного газа   c p cV  5 3 , так что 1z max  4 , а для воздуха zmax  6 .Tp 1Отношение температур до и после разрыва 2  2 .T1p1 zПрохождение газом поверхности разрыва является неравновесным процессом,сопровождающимся ростом энтропии.

Для идеального газаs  cV ln  p   .Подставляя сюда значения давления, получим изменение энтропии как функцию скачкаплотности:   1z    1 1 s  s 2  s1  cV ln    .   1    1z z Рост энтропии в системе возможен лишь при условии z   2 1  1 , когда u2  u1 , т.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций