sem_30_11_11 (1183956)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Семинар. 30.11.11.Поверхностные волны.Кинематические соотношения для волнового движения в дифференциальной форме,рассмотренные в предыдущем разделе (волновые уравнения), являются основныминструментом, позволяющим судить о возможности протекания волновых процессов и иххарактере в различных системах. Для этого необходимо лишь сравнить дифференциальныекинематические и динамические уравнения изучаемых процессов с волновыми уравнениями(привести уравнения движения среды к «волновому виду»).

Примеры.Уравнение непрерывности для волны в канале.При одномерном движении сплошной среды (газ в трубе заданного сечения,Уравнение простой волныhhc0txили его обобщение – квазилинейное уравнениеhh c h 0txимеет структуру, подобную уравнению непрерывности.Уравнение непрерывности может быть записано в интегральной форме для каналашириной b, в котором движется жидкость так, что ее скорость в любом сечении одинакова, ауровень (от дна) задан функцией h  h  x , t  .

Объем жидкости, ограниченный сечениями х1x2и х2 определяется интегралом V t   b  h  x , t dx , а его изменение вызывается потокамиx1через эти сечения:x2V t   b  h  x , t dx  b v1h1  v 2h 2  .ttx1x2Преобразуя правую часть v1h1  v 2h 2   x1x2 h  tx1vh dx , получим уравнениеx vh   dx  0x для любого выбора сечений. Отсюда уравнение непрерывности для жидкости в каналеh  vh  0.xxЗависимость от глубины v  v h  может быть получена из дополнительных условий.Паводковая волна.Для течения в наклонном канале, укрепленном под углом α к горизонту, скоростьустановившегося течения определяется из условия равновесия силы тяжести и жидкогоx2трения: mg sin   F , где m  b  h  x  dx  bhL , а сила трения F пропорциональнаx1квадрату скорости и площади смачивания поверхности канала между сечениями:F  Av 2S  Av 2 b  2h   x 2  x1   Av 2 b  2h  L .

При b  h S  bL , поэтомуF  Av 2Lb .В состоянии равновесия скорость потока v h    h , где    g sin a / A .1При такой скорости уравнение непрерывностиhh 3/20xxПриводится к квазилинейному видуh 3h  h 0.x 2xУчитывая связь v h    h , получим окончательноh 3h v h  0.x 2xОтсюда следует, что возмущение уровня – «паводковая волна», распространяется вниз по3течению со скоростью c h   v h  , где v h    h - скорость потока.2Гравитационные волны на глубокой воде.Если волна образуется в результате возмущения поверхности, то она будет затухать с помере удаления от поверхности вглубь водоема.

При этом скорости частиц среды будут иметьсопоставимые компоненты вдоль вертикальной и горизонтальной осей.Рассмотрим плоскую волну v  x , z , t   v x ,0,v z  в системе координат, где ось Ozнаправлена вертикально вверх, а волна распространяется в покоящейся среде вдоль оси Ох.Уравнение непрерывностиdvvv  0и уравнение Эйлера (в форме Громеки-Лэмба)v 2 pv 2   v        g  r  t2 составляют основу описания.ЛинеаризацияУпростим систему, полагая возмущения скорости достаточно малыми, чтобы пренебречьквадратичными членами.

В итоге получим линейное уравнение: pv     g  r  t Пренебрегая векторным произведением, мы фактически ограничились потенциальнымтечением, полагая   0 , поэтому можем ввести потенциал скорости v   , что приводитк системе линейных уравнений  p   g  r   0 t   0Граничные условия.Если граница раздела воздух-вода задана зависимостью     x , t  , то при z    x , t  p   g  r   F t  вдалиt p  p0 на границе z  0 определяетдавление равно атмосферному р0. Интеграл уравнения Эйлераот области возмущения, где   0,   0,p p   gz  p0 . На границе раздела сред в возмущенной областиF t   0 , откуда tэто приводит к соотношению  g  0 .t 2Это граничное условие достаточно сложно, поскольку задано на искривленнойповерхности, поэтому его заменяют приближенным, полагая.

Теперьt t z 0граничное условие имеет простой вид g  .t z 0Еще одно упрощение граничного условия возникает при использовании соотношения. На границе раздела сред z    x , t  скорости всех частиц направлены поvz zкасательной к этой границе и не равны нулю!Полагая функцию   x , t  достаточно гладкой, а угол наклона касательной к горизонтумалым, можно считать, что v zz 0. Отсюдаtzz 0, что позволяет исключитьtвозмущение границы   x , t  из граничного условия на поверхности: 2 g g.2t z 0tz z 0Второе граничное условие – условие затухания возмущений:   0 при z   .Решая уравнение Пуассона 2  20x 2  2zметодом разделения переменных для   x , z   1  x  2  z  получаем1  x    z  2 k 2 , откуда 1  x   e ikx , 2  z   e kz , где k  0 чтобы удовлетворить1  x 2  z условию затухания возмущения.Временная зависимость   x, z , t   T t  1  x  2  z  может быть получена из условия наповерхности 2 g.2t z 0z z 0ОтсюдаT t   0e it .Это условие приводит к дисперсионному соотношению  k   kg , из которого следуетвыражение для фазовой k gc ph kkи групповой k  1 gc gr k2 kскорости волны.

Отметим связь между нимиc ph  2c gr .Вычислим скорость частиц жидкостиv x  Re v 0e kz cos kx  t  ,x3v z  Reи смещение поверхности v 0e kz sin kx  t  ,z1 g tv0cos kx  t  .Введем амплитуду колебаний поверхности r v0, тогда   x , t   r cos kx  t  .  x,t   z 0При малой амплитуде колебаний r   можно считать, что частицы среды движутся покруговым траекториям, так что z t , z   re kz cos t , x t , z   re kz sin t . Полученныйрезультат позволяет не только определить профиль волны, но и найти максимальнуюамплитуду волн.

Действительно, частицы среды на поверхности совершают круговоедвижение под действием силы тяжести и реакции поверхности (нормальное давление). Вверхней точке траектории эта сила может обращаться в нуль при большой амплитудеколебаний, а центростремительное ускорение - ускорение свободного падения:ghиr получаемac   2r  g . Подставляя сюда  2  kg  22h max .Заметим, что наблюдаемые амплитуды колебаний не превосходят половинывычисленного нами значения.При ограниченной глубине канала Н модель позволяет найти решение, изменив граничныеусловия:v z  x , H , t   0.z z  HДля выполнения этого условия выберем решение2  z   e kz  be kz .Тогда2  z  k e kH  be kH   0 , откуда b  e 2kH .z z  HВ итоге потенциал скорости, удовлетворяющий новым граничным условиям, имеет вид:  x, z , t   0ch k  z  H   e it ikx .Условие на поверхности воды 2t 2 gz 0zприводят к соотношению:z 0 2ch kH   gksh kH  ,откуда получаем дисперсионное соотношение в явном виде k   gk  th 1/2 kH  .При небольшой глубине водоема kH  1 th kH kH , поэтому k   k gHФазовая скорость волны на мелкой воде c ph  k  gH  c gr .kТаким образом, волны на мелкой воде распространяются практически без дисперсии (впринятом приближении).4Пульсовая волна.

(Пэдли Т. Гидродинамика кровеносоных сосудов)Для поперечного сечения S  S  x  эластичной трубки введем растяжимость – параметр,1 Sопределяющий эластичные свойства трубки соотношением D .S pЭтот параметр связан с модулем Юнга линейной деформации Е соотношениемE h, где h – толщина стенки сосуда, d – его диаметр, а σ – коэффициент ПуассонаD1 1  2 d(   1/2 для несжимаемого материла стенок)В более реальной модели используются не статические, а динамические параметры,описывающие вязкоупроугие свойства сосудов (стенок трубы).Будем считать трубу трубкой тока, для которой скорость одинакова в любой точкепоперечного сечения v  v  x , t  .Избыточное давление, обусловленное деформацией трубы (изменением ее поперечногосечения) задается уравнением p  p  S  .Выделим элемент объема, заключенный между сечениями S1 и S2, где S1  S  x1  , аS2  S  x2  , и запишем уравнение непрерывности для этого объема:x 2S  x  dx  v1S1  v2S2t x1Чтобы написать редуцированное уравнение для изменения импульса, воспользуемсятеоремой об изменении импульса в дивергентной форме  vi     vi vk  p ik   0 ,txkкоторое получается из уравнения Эйлера и непрерывности.Проинтегрировав это уравнение по объему жидкости в выделенном сечении, получимxp 2S  x  v  x  dx    v1 vk   1 k  dsk  0t x1 Интеграл по поверхности распадается на три слагаемыхp  2 p1  2 p2 1  vi vk    ik  dsk    v1    S1   v2    S2    p  x  dsxбокПоследний интеграл вычисляется по боковой поверхности трубы между выделеннымисечениями.S  x Рассматривая рис…, нетрудно убедиться, что dsx  dx и записать проекциюxпотока импульса на Охxx  2 p2 S  x  2 p1   1 2 2S  x  v  x  dx    v2   S2   v1   S1    p  x dx  0 .t x1    x1xИнтегрирование по частям в последнем слагаемом приводит выражениюxxp  x  21 222S  x  v  x  dx   v2 S2  v1 S1    S  x dx  0 .t x1 x1xВыбирая сечения расположенными близко друг к другу x2  x1  dx , и переходя кпределу, получим дифференциальное соотношение – изменение проекции импульса нанаправление оси трубы2  Sv    Sv  S p  x 0.tx x5Вместе с уравнением непрерывности в дифференциальной формеS   Sv 0txи уравнением эластичности стенок трубы p  p  S  в виде зависимости D 1 S, имеемS pполную систему уравнений.p1 SИсключаяи уравнения для импульса, получим системуx DS x2  Sv    Sv  1 SS   Sv 00.txtx D xили, вводя обозначение c 2  1/  D ,S   Sv vv c 2 S0v 0.txtx S xВоспользуемся методом Римана для нахождения волновых решений, полагая v  v  S  ,vS vSтак что.

Тогда уравнения дают систему vS, vSttxxS c 2  SSSv  vv  0,  v  Sv  0,t S  xtxусловие разрешимости которой v SdSdvc(S0 – невозмущенное  , откуда v  c dSSSS0сечение трубы).Для c  v уравнения линеаризуются, так что скорость волны оказывается постоянной,независимо от амплитуды давления (Юнг 1809 г.)УФН, т.165,№2, 1995 г. А.Н. Волобуев6.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций