17_10_11 (1183943)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 7. Методы расчета плоских теченийПотенциал и функция токаВ плоском течении уменьшается количество переменных, что существенно упрощаетрешение задач. Особенно просто найти решение для потенциального течениянесжимаемой жидкости.Пусть поле скоростей задано векторами в плоскости Оху: v  v x ,v y , 0 . Условиенесжимаемости divv  0 потенциального течения rotv  0 позволяет выразитькомпоненты вектора скорости v  v x ,v y , 0 в виде градиента скалярной функцииv  grad  , удовлетворяющей уравнению Лапласа   0 .v x v yУсловие несжимаемости divv  0 в декартовых координатах 0 приводитxy 2  2 0 или условию гармоничности.x 2 y 2dx dyЛинии тока этого течения удовлетворяют условию, которое можно записать вv x vyвиде v y dx  v x dy  0 .Это соотношение можно рассматривать, как условие в дифференциальной форме дляфункции  x, y  , задающей линию  x , y   const на плоскости Охуd x , y  dx dy  0 .xyПри выполнении условий v x , vy  , касательная к этой линии совпадает сxyвектором скорости в каждой точке, поэтому функция  x, y  называется функцией тока.Условие потенциальности течения rotv  0 накладывает ограничения на скорость:v x v y 0,yxчто приводит к условию   0 для функции тока.Потенциал и функция тока связаны соотношениями: x yyxт.е.

являются сопряженными гармоническими функциями. Касательные к линиям  x , y   const и  x , y   const в точке их пересечения взаимно перпендикулярны.С помощью функции тока граничные условия для непроницаемых стенокформулируются как уравнение  x , y   const , т.е. непроницаемая граница являетсяодной из линий тока.Методы ТФКП.Переходя к комплексным z  x  iy , операции с векторами можно заменить операциямис комплексными числами. Потенциальное течение в этом подходе описывается припомощи комплексного потенциала w  z     z   i  z  , который оказываетсяаналитической функцией, т.е.

функцией, для которой производная по z определена влюбой точке течения и не зависит от способа перехода к пределу /по переменным х и у/.Независимость предела от способа стремления к нулю x  0, y  0 двухк уравнению Лапласа для потенциала φ:1действительных переменныхw  z   i ixxy y.приводит к условию Коши-Римана для комплексного потенциала ,x yyx ,Отсюда следует, что любая аналитическая функция является комплексным потенциаломнекоторого течения.Комплексная скорость. Комплексной скоростью v̂ называется производная откомплексного потенциалаdwz .vˆ dzДействительная и мнимая ее части связаны с проекциями вектора скоростиddwz  wz  i v x  iv y .dzdzxxФизические величины и комплексный потенциал.В односвязной области D аналитическая функция f  z  может быть проинтегрированапо любой кривой C, лежащей в этой области, причем значение интеграла определяетсятолько положением точек а и b начала и конца кривой интегрирования: f z dz  F b   F a  .Cdwz , получимdz vˆ  z  dz  w b   w a    v xdx  vydy   i  v xdy  vydx  .Вычисляя интеграл от комплексной скорости vˆ CCCПервый интеграл в правой части равенства - вклад от касательных составляющихвектора скорости вдоль кривой, а второй — вклад от перпендикулярных составляющих,определяющих расход жидкости Q через рассматриваемую кривую (плоскость втрехмерном пространстве), т.е.

Q   b    a  . Для замкнутого контура первыйинтеграл дает циркуляцию вектора скорости, а второй — расход жидкости.Особые точки. Точки, в которых производная не существует, называются особымиточками функции (полюсы, существенные особые точки, точки ветвления).Изолированные особые точки аналитических функций имеют простую физическуюинтерпретацию. Важнейшими являются точечный источник и вихревая нить.1.

Точечный источник - создает поле скоростей, поток которого через любуюповерхность, окружающую его, постоянен. Для источника интенсивностью I вIначале координат поле скоростей (из уравнения непрерывности) - v r r  .2rВ векторной формеrI v  v r er  v r r.r 2r 2Вводя z  x  iy  re i , выражение для комплексной скорости можно записать в виде:IIvˆ  v x  iv y z* .22z2 zИнтегрирование дает комплексный потенциал wz  I dzILnz .2 z222. Вихрь (вихревая нить) - создает индуцированное поле скоростей v  ve . Из1   v r  v условия потенциальности потока rotv  0 или n 3  rotv      r   0 приr r заданной циркуляции Г зависимость скорости от расстояния до нити v r  2 r.Для z  x  iy  re i получим выражение для комплексной скорости dzи комплексного потенциала вихревой нити wz  vˆ  v x  iv y Lnz .2iz2i z2iКомплексные потенциалы, важные для приложенийОсновные потенциалы, используемые в приложениях, приведены в таблице.ТечениеЛинии токаКомплексныйКомплекснаяпотенциалскоростьуОднородныйпоток под угломαк оси Охw  z   Uze iαОхуw  z   Uz nОбтекание углахОуОбтеканиекруглогоцилиндрарадиуса RRИсточникинтенсивностьюIв точке z0уВихревая нитьинтенсивностьюГв точке z0RхОR2 w z   U  z z R2 vˆ  z   U 1  2 z R2 w z   U  z z ln z2 iR2 vˆ  z   U 1  2 z 2 izуy0Оx0w z  Iln  z  z 0 2vˆ  z  I2  z  z 0 w z  Iln  z  z 0 2 ivˆ  z  I2 i  z  z 0 хуy0Оvˆ  0   0 при n  1 ,хООбтеканиекруглогоцилиндрарадиуса R cциркуляцией Г.vˆ  z   Unz n 1vˆ  0    приn  1,αnvˆ  z   Ue ix0х3Конформные отображения и задача Дирихле.Аналитические функции комплексного переменного z  f   осуществляютконформное отображение комплексной плоскости ζ на плоскость z.

При этом сохраняютсяуглы между отрезками в окрестности каждой точки, т. е. преобразование сводится кравномерному растяжению и повороту элементарной фигуры.При конформных преобразованиях решение уравнения Лапласа для потенциала ифункции тока переходит в решение уравнения Лапласа в новых переменных, а границаобласти подвергается деформациям.Если удается найти конформные отображения известного потенциального течениянесжимаемой жидкости в области с простой границей в область с границей «сложной»формы, то таким путем удается определить течение в этой области.Пример 1. Поток в пространстве, ограниченном угломПоле скоростей плоского потенциального течения идеальной жидкости в пространстве,ограниченном стенками, составляющими угол 600. На большом расстоянии от угла полескоростей однородно.Потенциальное течение жидкости в полупространстве    x  , y  0 вдоль осиОх можно задать потенциалом   x , y   Vx .

Функция тока такого течения   x , y   Vy .Следовательно, комплексный потенциал этого течения w  z     x , y   i  x , y   Vz .Отображение z    a 3 , где а — действительная константа, преобразует границуобласти y  0 на плоскости z  x  iy в угол с вершиной в начале координат впеременных     i . При этом бесконечно удаленные точки переходят в бесконечноудаленные.Это приводит к выражению комплексного потенциала в новых переменныхw  z         i     Va 3 .Действительная часть комплексного потенциала на плоскости     i являетсяпотенциалом скорости искомого течения, а мнимая часть — функцией тока:  Va  2  3 2 ,  Va 3 2   2 .Эти функции удовлетворяют уравнению Лапласа в новых переменных: 2  2 2  2, Va660 Va 6  6   0 . 2  2 2  2Поле скоростей в новых переменных определяется проекциямиv  3Va  2   2v  6Va .и характеризуется линиями тока, определяемыми из условия ,   Va 3 2   2  C .В частности, при C  0 линии тока   0 и    3 совпадают с границами области,образующими между собой угол 600 : tg 60 0  3 .

/Рассмотреть примеры дляn  2/3 (обтекание внешнего угла 900) и n  1/2 (обтекание пластины)/..4Пример 2. Обтекание кругового цилиндра.Конформное отображение (отображение Жуковского) z  f     R2плоскостиz  x  iy на плоскость     i , где   re i - комплексное число, преобразует границуобласти — окружность радиуса R на плоскости ζ в отрезок прямой | x | 2R , y  0 наплоскости z.

Соответственно, точки области вне круга радиуса r  R 1    ,   1преобразуются в точки эллипса с полуосями a  2R , b  2R (см. рис.) Соответствиеточек окружности на плоскости W и точек отрезка | x | 2R , y  0 на плоскости z указанона рисунке.ZiyWiη223-2RO 4R12Rθ3xРис. 1O1ξ4zz2R2 ,Обратное преобразование осуществляется функцией   2422удовлетворяющей уравнению   z  R  0 .

Выбор знака обеспечивает отображениеверхней полуплоскости Z в верхнюю полуплоскость ζ.Однородный поток, параллельный пластинке, не искажается ей, и его поле скоростейописывается потенциалом   x , y   U 0 x и функцией тока   x , y   U 0y . Комплексныйпотенциал этого потока w  z  на плоскости z  x  iy :w  z     z   i  z   U 0  x  iy   U 0z .Для вычисления поля скоростей потенциального потока, обтекающего цилиндр,R2воспользуемся конформным отображением z   , которое приводит к потенциалуw, зависящему от ζ:R2 w  z     U 0   . Выделяя действительную и мнимую части, получим выражения для потенциала ифункции тока этого течения в переменных  , :R2w    U 0r  e i  2 e i     ,   i   ,  ,rгде  , ,  ,  - действительные функции от  , .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций