17_10_11 (1183943), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Действительная и мнимая частикомплексного потенциала – потенциал и функция тока потока, обтекающего цилиндрR2 R2 , U 0r cos 1 2 , , U 0r sin 1 2 .r r Скорость потока на бесконечности направлена вдоль оси Ох (см. рис. 2а).5Отсюда скорость потока в цилиндрических координатах: r , r , R2 R2 vr U 0 cos 1 2 ,v U 0 sin 1 2 ,rr r r R2 и линии тока , U 0r sin 1 2 C .r Пример 3. Пластинка под углом к потоку.Полученный результат допускает обобщение на случай потока, составляющего угол α сосью абсцисс. В пространстве переменных i характер обтекания цилиндра независит от направления потока, а потому достаточно провести замену в комплексномпотенциале (см.
рис. 2).iηiηWW22Rθ3O13ξ1OξРис. 244В силу цилиндрической симметрии граничных условий, получившееся при заменевыражение для потенциала и функции тока вновь удовлетворяет им на поверхностицилиндра. Но комплексный потенциал такого потока изменится по сравнению с исходным: i R 2 i R2 ˆw z U 0 Ur 2 e1 0 e rили2ˆ 1 U 0 e i R e i .Для определения поля скоростей пластинки, расположенной под углом к потоку, запишемˆ 1 комплексный потенциал в переменных z x iy . Подставляя в zz2R2zz2R2 , z R2 ,2424получим выражение в переменных x, y:2ˆ 1 z U 0 e i R e i U 0 z cos i sin z 2 4R 2 .Комплексная скорость потока в любой точке определяется выражениемd 1 z vˆ z v x iv ydzилиzvˆ z U 0 cos isin .z 2 4R 2 На поверхности пластины 2 R x 2 R, y 0 имеются критические точки потока, вкоторых скорость обращается в ноль:6xvˆ x U 0 cos isin 0 .x 2 4R 2Координаты критических точек x1, 2 2R cos являются корнями уравнения.
На концахпластины при x 2R скорость потока бесконечна.Потенциал и функция тока даются выражениями:Im z cos isin , x , y Re 1 z U 0 Re z cos i z 2 4R 2 sin x , y Im 1 z U 0z 2 4R 2На рис. 3а изображены линии тока для /6 , а на рис. 3б – линии тока для пластинки,перпендикулярной потоку /2 .y-2Rух2 Oх12R x-2RO2RхРис. 3Потенциальный поток такого вида не наблюдается, но наблюдается поток, близкий кпотенциальному, не имеющий особенности в точке схода потока с задней кромкипластины. Удовлетворить этому условию в рассматриваемой модели можно, добавивциркуляцию потока вокруг пластины:2ˆ z ln ln z z R 2 .22 i2 i 24В результате получим выражение для потенциального потока с циркуляцией Г:ˆ 0 z V 0 z cos i sin z 2 4R 2 ln z z 2 4R 2 .2iВыбором параметра Г устраним особенность скорости на задней кромке пластины.ˆ 0 z d 0 определяет циркуляцию потока 2 4RU 0 sin .Условиеdz x 2RУказанная процедура согласования модели с наблюдаемыми явлениями называетсяпостулатом Чаплыгина-Жуковского.Поток, обтекающий пластинку, имеет такую циркуляцию, что его критическаяточка совпадает с точкой его отрыва от пластинки.На рис.
4 изображены линии тока вокруг пластинки, наклоненной под углом /6 к вектору скорости потока на бесконечности.Замечание.Циркуляция потока определяет силу, действующую на пластинку /теоремаЖуковского/: F * Fx iFy iv . (Доказательство дать самостоятельно).Рис. 47Теорема имеет простой физический смысл: для вычисления подъемной силы пластинкиследует определить разность давлений на верхнюю и нижнюю поверхности p p 2 p1 .Воспользуемся уравнением Бернулли, связывающим эту разность со скоростями потока,обтекающего верхнюю и нижнюю поверхность: p v222 v 12 .
При малой разностискоростей это выражение приводит к силе, пропорциональной длине пластинки l:v v1Fy pS plb b v 2 v 1 l 2 bv . Здесь b – «ширина» пластинки b l .2Отсюда «удельная» подъемная сила, приходящаяся на единицу «ширины» пластинкисовпадает с выражением, полученным из теоремы Жуковского.В случае пластинки, наклоненной под углом к потоку,Fy 2v 02 2R sin cos .Fx 2v 02 2R sin 2 8.