28_11_11 (1183946), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Уравнения газовой динамики допускают существование волновых решений в видепродольных волн. Так как волновые уравнения существенно нелинейны, тоскоростьраспространенияволны,заданнойвначальныймоментдифференцируемой функцией, зависит от величины начального возмущения вданной точке пространства и увеличивается с ростом возмущения.2. Любое возмущение, описываемое в начальный момент дифференцируемойфункцией, спустя некоторое время становится разрывным. Волновое решение,описываемое разрывным решением, называется ударной волной.

Времяформирования разрывного решения определяется как формой, так и величинойначального возмущения.3. Распространение ударной волны не может быть описано системойдифференциальных уравнений. Для описания движения ударной волны следуетвоспользоваться теоремами динамики в интегральной форме.где c0 Энергия монохроматической волныВолновое движение сопровождается изменением энергии среды, в которойраспространяется волна. Изменение энергии среды при распространении в ней волны принекоторых дополнительных условиях может быть связано с существованием энергии волны.Для ее определения найдем изменение энергии среды, полагая, что амплитуда волныдостаточно мала, чтобы воспользоваться линейной теорией.Энергия выделенного элементарного объема среды V0 определяется как сумма внутреннейэнергии вещества в этом объеме и кинетической энергии его движения.

Представим скоростьчастиц средыпостоянной в виде суммы v  V  u . Невозмущенное движение среды заданоскоростью V в каждой точке пространства, а поле возмущения скорости u носит волновойхарактер, причем u  V . Плотность и давление невозмущенной среды 0 и p0 также будемсчитать постоянными во всех точках, а возмущения малыми, так что p  p0  p1,   0  1 ,где p1  p0 , 1  0 .Если e – массовая плотность внутренней энергии среды (энергия единицы массы), товнутренняя энергия рассматриваемого объема E  eV0 .

Соответственно, кинетическая 2энергия этого объема E ђЏ’   V  u V0 2 . Подставляя сюда значения плотности и скоростивозмущенного движения среды, с точностью до квадратичных по возмущению членовполучим выражение для изменения объемной плотности кинетической энергии: u2E  0   0  1  Vu .2Для вычисления изменения внутренней энергии возмущенной среды воспользуемсяпервым началом термодинамики, полагая, что рассматриваемые процессы являютсяизэнтропийными S = 0. При этом теплообменом с соседними элементарными объемамиможно пренебречь.

Изменение внутренней энергии заданной массы m в этих условияхопределяется только работой сил давления:dE  mde   pdV 5Учитывая, что V  m  , получаем соотношение для массовой плотности внутреннейэнергии в адиабатическом изэнтропическом процессе:pde  2 d .Изменение внутренней энергии элементарного объема V0 определяется выражением:pdE  V0 d (e)  V0 ( ed  de)  V0 ( e  )d .Изменение объемной плотности внутренней энергии с точностью до членов второгопорядка имеет вид:(e)2 (e) 12(e) 1   o(12 ) .22Коэффициенты разложения в ряд легко вычисляютсяp (e)   e0  0 0  2 (e)  p   e p 1  p c2e      s  2     s  0 2где с – скорость звука, что дает выражение для изменения объемной плотностивнутренней энергии:p c2 2e    e0  0 1 1 .200Первое слагаемое описывает изменение внутренней энергии выделенного объема приизменении количества вещества в нем.

В частности, при распространениимонохроматической волны в достаточно большом объеме вклад от этого члена осциллирует,что нарушает принцип аддитивности для внутренней энергии. Таким образом, аддитивнаячасть, среднее (по времени) значение которой отлично от нуля, описывается только вторымслагаемым, что и позволяет связать эту часть внутренней энергии с волновым движением.Аналогичным требованиям не удовлетворяет часть кинетической энергии, линейная повозмущению среды.Таким образом, объемная плотность полной энергией волнового движения,удовлетворяющая принципу аддитивности, пропорциональна квадратичным членам повозмущению и дается выражением:ρ 0u 2c2 2ΔE  E волн  ρ1 Vu ρ122ρ 0При распространении в среде плоской монохроматической волны под углом  к векторускорости потока возмущение плотности и скорости имеет вид:1 r , t  ck,1 r , t    cos t  k r , u r , t   c   ck cos 0где   V c .

Подставляя эти выражения, получим плотность энергии монохроматическойплоской волны.Если скорость потока мала (   1), то объемная плотность энергии волны имеет вид:c21   cos  12 .E  волн  0Как следует из приведенного выражения, эта величина положительна для всех волн,распространяющихся в любом направлении по отношению к невозмущенному потоку.6Если же скорость невозмущенного потока превышает скорость звука (   1), то возможносуществование двух типов волн, быстрой и медленной, частоты которых совпадают, аскорость распространения различна.Энергия этих волн определяется выражением:c21   cos  12 .E 0Если энергия быстрой волны всегда положительна, то распространение медленной волнывнутри конуса Маха приводит к уменьшению полной энергии среды, так как энергиямедленных волн отрицательна. Уменьшение энергии среды при возникновении медленнойволны свидетельствует о неустойчивости системы относительно генерации волновыхвозмущений, при которых энергия потока будет переходить в энергию волны.Теорема Пойнтинга утверждает, что изменение энергии сплошной среды в данном объемев отсутствие объемных сил обусловлено потоками энергии через границу.

Для определениявектора плотности потока энергии для волнового движения удобно воспользоватьсяуравнениями непрерывности Эйлера для малых возмущений. Для упрощения вычисленийограничимся случаем изотропной среды, положив скорость потока равной нулю.Умножая уравнение Эйлера на скорость частиц в данной точке, получим следующеесоотношение:ρ1 u2c2.(1)  ukt 2ρ0x kПоследнее слагаемое удобно представить в виде суммы и заменить второе слагаемое спомощью уравнения непрерывности.ρ1ρ1uk ρ1uk  ρ1 ρ1ukuk ρ1(2)x kx kx kx kρ 0 tПодстановка этого выражения в (1) приводит к уравнению  ρ 0u 2 c 2 ρ12 c 2 ρ1uk .t  22ρ 0 x kУчитывая выражение для объемной плотности волны, полученное выше, это уравнениеможно рассматривать как следствие теоремы Пойнтинга применительно к волновомудвижению среды:Eволн  div S ,tρ u2 c 2 2ρ1 .где S  c 2 ρ1u - вектор потока объемной плотности энергии, а E волн  0 22ρ 0Замечание.

Перенос энергии волной сопровождается переносом импульса, поток которогоопределяется аналогичным образом.7.

Характеристики

Список файлов лекций