07_11_11 (1183942), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Удлинение Δl упругого однородного стержнядлиной l и сечением S под действием приложенной вдоль него силы F определяется закономГукаSF  k l  E l ,lгде упругие свойства стержня характеризуются модулем Юнга Е. Учитывая связь F   S ,получим для относительной деформации   l /l соотношение   E  .5Но удлинение стержня приводит к его поперечному сжатию, которое характеризуетсявеличиной относительной поперечной деформации   .

Отношение поперечного сжатия кпродольному удлинению называется коэффициентом Пуассона  , связывающимсжатие с продольным напряжением    .EДля линейной зависимости справедлив принцип суперпозиции, в соответствии с которымпроизвольная деформация – это наложение взаимно-перпендикулярных деформаций.Деформация вдоль оси Ох зависит не только от напряжения вдоль этой оси, но и отпоперечных напряжений (вызывающих сжатие вдоль оси Ох), поэтому 1 1  1   2   3  1  1   2   3  ,E EEEчто допускает обобщение1 i i   ,EEгде    kk  1   2   3 - инвариант тензора напряжений.EОтсюда устанавливается соотношение между инвариантами e и σ  e,1  2связывающее напряжения и деформацииE i e   2 i  e . i 1  1  2 Сравнивая коэффициенты при е и εi, получим соотношения для λ и μ через Е и ν:EE,.2 1 1   1  2 При всестороннем сжатии образца под действием давления рe1   2   3   p ,1   2   3   ,3поэтому связь между давлением и деформацией принимает видEep eK ,3 1  2 E 0 – модуль всестороннего сжатия.3 1  2 Энергия упругой деформации.

Выражение для плотности энергии упругой деформации,1обобщающее известный элементарный результат U  F x , может быть получено как2свертка тензоров напряжений и относительной деформации:12 ik  eikw   ik  ik  ik   2  e 2 ,222Илигде K 21eKe 2.w   ik  ik   2  e 2     ik  ik  223 2Запишем подробнее222w   12   22   32   2 12  23 13Учитывая соотношения 2 21   2   3 2.EE,, получим окончательно:1 1   1  2 6w1E 2 ik  ik e2  . 22 1    1  2 e2плотность энергии упругой деформации31Ee 2E2w   ik  ik divq  .26 1  2  6 1  2 Для устойчивости состояния равновесия эта величина должна быть положительной, чтонакладывает ограничение на величину коэффициента Пуассона   1/2 .Переходя к исходным обозначениям, запишем плотность энергии в виде1E 2w   ik  ik e2  , 22 1    1  2 что приводит к лагранжиану для упругой средыПри всестороннем сжатии  2  312 2E 2e2  .  2  t  2 1    1  2 Уравнение движения упругой среды.Лагранжиан приводит к уравнениям движения твердого тела.

Поскольку явнаязависимость от координат отсутствует 0 , вариационная производная упрощается:qk    qk qki x i qkii x i qkiq  qДля вычисления производных воспользуемся соотношением  ik  ik ki и2продифференцируем выражения 2    mn mn  2 mn mn  2 mn im kn  2 ikqikqikqik  q e 2    nn  2 e nn  2 e in in  2 e ikqikqikqikТеперь дифференцирование лагранжиана даетE  ik eik  .qik1  1  2q  qПодставляя сюда  ik  ik ki , e  qkk и дифференцируя по координатам, получим2 E   ik eik xi qik1   xi 1  2Выполняя дифференцирование, учтем соотношения1   qi qk  1   qi qk  1 ik     graddivq  q  ,xi2 xi  xk xi  2  xk xi xi xi  22  qn nn   graddivq ,xixi  xn В итоге получим уравнения движения 2qE  2graddivq   0 . q t1127Волновые уравнения.Полученные уравнения описывают два типа волн – волны сжатия, для которых divq  0 иволны сдвига, для которых divq  0 .

Введем скалярную величину, характеризующую сжатие  divq и вычислим div от уравнения 2qE  2graddivq   0 , q t1  2 1   учитывая соотношение graddivq  q  rotrotq : 2E   2 1   0 .t 1    1  2 Отсюда следует, что продольные волны сжатия распространяются со скоростьюE  2 1  .c12   1   1  2 Для описания волны сдвига введем b  rotq вычислим rot от уравнения: 2bEb  0 .2t 1  Поперечные волныкручения b  rotq распространяются со скоростьюE1c 22   .  1   Для железа   0,3 , так что c1 /c2  1,87Замечание. Кроме пространственных в твердом теле существуют поверхностные волны.Энергия и гамильтонианВновь вернемся к системе N материальных точек.

Обобщенные импульсы вводятсясоотношением:Li  1,..., N .,pi qiLЕсли координата i  s является циклической 0 , то есть функция Лагранжаq sинвариантна относительно трансляции по этой переменной, то из уравнений движенияd LL const . 0 соответствющий импульс сохраняется: ps qsdt q sДля сплошной среды вводится аналог обобщенного импульсаLLpi l i dx ,qiqiqпропорциональный элементарному объему dx.Величина  называется плотностью импульса.qУравнения движения для плотности импульса 0.tqТак же по аналогии с системой точек вводится обобщенная энергия сплошной средыE *  pk q k  L .Выражая ее через плотности импульсов, введем плотность функции Гамильтона илигамильтониан.  q  , q   .H   dV , где8Дифференциал от гамильтониана имеет видd dq dq  d dx dt .qq xtЗдесь, в отличие от механики точек, появляются переменные q .С другой стороны, вычисляя дифференциал из определения гамильтониана, получимd   dq  qd dq dq  dq dx dt qq qxt qd dq dq  dx dtqq xtПриравнивая коэффициенты при независимых переменных, получим систему уравнений:,,,,.qxxttqqq q Уравнения движения теперь можно записать в виде гамильтоновых уравнений t  qtqq q ,ttпоскольку 0. d Изменение гамильтониана со временем  q .q dtt q q Энергия и импульс сплошной среды.Чтобы изучить характер изменения гамильтониана – плотности обобщенной энергии,вернемся к лагранжиану, используя уравнения k ,,t qk qk xi qkiqkqkтак что k  tqkxi qkiВыражение для скорости изменения гамильтониана приводится теперь к видуd  qik  k , qk dttxi  qik qiktxkгде  k  qi.qik td 0 , то k  0.tdtxkПоскольку гамильтониан является плотностью энергии, полученное уравнениерассматривается, как закон сохранения энергии, где ζk – вектор плотности потока энергии.AПреобразование  k   k   ijk k для любого вектора Аk не меняет закон сохранения.x jЕслиМожно показать, что для любых величин ξk вида k  didtxk  qm ik xi qkmqik выполняется соотношениеqi . xi9Если лагранжиан не зависит от координат, то Ti  qm ik   ik .mtxk  qk xi xkЗдесь введен тензор qmTik  ik . xiqkmУравнение Эйлера как вариационный принцип.

(Зоммерфельд)Несжимаемая жидкость описывается простейшей системой уравнений1. условием несжимаемости divv  0dvp2. уравнением Эйлераg.dtУравнение Эйлера для несжимаемой жидкости можно получить как следствие уравнениеНьютона для элементарной частицы массой m  V :dvm p V  mg .dtСкалярные уравнения - проекции на направляющие векторы  r r  , заданные в каждойточке пространства, получаются в результате вычисления скалярных произведений:d v r     r  p    g   r  .dt Слагаемое   g   r  удобно записать в виде    g  r   U r  , где U r  - объемнаяплотность потенциальной энергии элементарной частицы.Аналогично можно представить  r  p : r  p    p r  .Преобразуем левую часть уравнения:d  v   dd r  v    v   r  .r dt  dtdtd r , определяемый как v  v r   r , t   v r , t  , получимВводя вектор  v dtd  v   ddv 2. r  v    v   v    r  v   r dt  dtdt2В итоге уравнение можно представить в видеdv 2   r  p    g   r  . r  v   dt2Избавимся от производной по времени, проинтегрировав уравнение по t с дополнительнымиусловиями  r t1    r t2   0 , и получим уравнение движения элементарного объема вточке r :t2  v  v    r  p     g   r  dt  0t1Чтобы уравнение выполнялось тождественно для любого интервала времени,подынтегральное выражение должно обращаться в нуль.

Учитывая определение  v drdtи выполняя интегрирование по частям для первого слагаемого, получим10 d  v pgr dt  0 .t  dt1 С другой стороны, это соотношение можно рассматривать, как задачу по определениюэкстремума функционалаt2 v 2 p  U  dt  0 ,2t1 t2рассматривая v и r как независимые переменные, вариации которых удовлетворяютсоотношениюdv   r .dtЕсли все  r независимы, то мы сразу же получаем отсюда уравнения движения.

Записавсистему уравнений в каждой точке пространства, и умножив ее на соответствующее  r r  ,независимое в любой точке, мы могли бы ограничиться вариационным принципом в видеt2 v2   dV   p  U  dt  0 , 2t1 Vпросуммировав все уравнения (проинтегрировав по рассматриваемому объему сплошнойсреды).Если же среда является несжимаемой, то давление определяется характером движения, ане параметрами задачи, то есть силы давления являются силами реакции. При этом вариации r для любого элементарного объема не являются независимыми, а удовлетворяютдополнительному условию постоянства выделенного объема div  r   0 .

Характеристики

Список файлов лекций