21_11_11 (1183944), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Это приводит к следующему выражению:sin ck t  t .G t  t   t  t eick z t t ckЗависимость от времени фурье-компоненты плоской волны имеет вид:~t   4qc eick zt t  t e ick zt sin ck t  t  cos t dt ck23Теперь нетрудно получить выражениесоздаваемого точечным источником:дляпространственногораспределенияполя, ik βc t t   sin ck t  t  ikr4πqcφr , t   dtttcosΩtdke ezk2π 3 Внутренний интеграл представим в виде: i k x k y k z βc t t   sin ck t  t    sin ck t  t , где R  x, y, z-V t  t  .I   dke x y z  dke ikRkkДля выполнения интегрирования выберем сферическую систему так, чтобы полярный угол отсчитывался от вектора R .

Тогдаπ1   sin ck t  t sinckτ  ikR cosθI   dke ikR 2π  k 2dkesinθdθ2πkdksinckτdqe ikRq kk00012ππδcτ  R   δcτ  R .kdk sinckτ  sinkR  R 02RДля запаздывающей функции τ  t  t   0 , R  0 , так что I πδcτ  R  и2Rqφr , t  cos Ωt ret .4πRФаза зависит от запаздывающего времени, обусловленное конечным временем распространениявозмущения.r  cos   1  2 sin 2 t ret  t  .c1  210Поверхности равной фазы, определяющие волновой фронт в некоторый момент времени,изображены на рисунке.При движении потока со скоростью, превышающейскорость звука (в неподвижном газе), область возмущенияимеет вид конуса, угол раствора которого называется угломcМаха и определяется выражением: sin θ  .VРис.4.

Энергия монохроматической волныВолновое движение сопровождается изменением энергии среды, в которой распространяетсяволна. Изменение энергии среды при распространении в ней волны при некоторыхдополнительных условиях может быть связано с существованием энергии волны. Для ееопределения найдем изменение энергии среды, полагая, что амплитуда волны достаточно мала,чтобы воспользоваться линейной теорией.Энергия выделенного элементарного объема среды V0 определяется как сумма внутреннейэнергии вещества в этом объеме икинетической энергии его движения. Представим скоростьчастиц средыпостоянной в виде суммы v  V  u . Невозмущенное движение среды заданоскоростью V в каждой точке пространства, а поле возмущения скорости u носит волновойхарактер, причем u  V .

Плотность и давление невозмущенной среды 0 и p0 также будемсчитать постоянными во всех точках, а возмущения малыми, так что p  p0  p1,   0  1 , гдеp1  p0 , 1  0 .Если e – массовая плотность внутренней энергии среды (энергия единицы массы), товнутренняя энергия рассматриваемого объема E  eV0 . Соответственно, кинетическая энергия 2этого объема E ђЏ’   V  u V0 2 .

Подставляя сюда значения плотности и скоростивозмущенного движения среды, с точностью до квадратичных по возмущению членов получимвыражение для изменения объемной плотности кинетической энергии: u2E  0   0  1  Vu .2Для вычисления изменения внутренней энергии возмущенной среды воспользуемся первымначалом термодинамики, полагая, что рассматриваемые процессы являются изэнтропическимиS = 0.

При этом теплообменом с соседними элементарными объемами можно пренебречь.Изменение внутренней энергии заданной массы m в этих условиях определяется только работойсил давления:dE  mde   pdVУчитывая, что V  m  , получаем соотношение для массовой плотности внутренней энергиив адиабатическом изэнтропическом процессе:pde  2 d .Изменение внутренней энергии элементарного объема V0 определяется выражением:pdE  V0 d (e)  V0 ( ed  de)  V0 ( e  )d .Изменение объемной плотности внутренней энергии с точностью до членов второго порядкаимеет вид:(e)2 (e) 12(e) 1   o(12 ) . 22 11Коэффициенты разложения в ряд легко вычисляютсяp (e)   e0  0 0  2 (e)  p   e p 1  p c2 e       2          s     s  0 2где с –скорость звука, что дает выражение для изменения объемной плотности внутреннейэнергии:p c2 2e    e0  0 1 1 .0 2 0Первое слагаемое описывает изменение внутренней энергии выделенного объема приизменении количества вещества в нем.

В частности, при распространении монохроматическойволны в достаточно большом объеме вклад от этого члена осциллирует, что нарушает принципаддитивности для внутренней энергии. Таким образом, аддитивная часть, среднее (по времени)значение которой отлично от нуля, описывается только вторым слагаемым, что и позволяетсвязать эту часть внутренней энергии с волновым движением. Аналогичным требованиям неудовлетворяет часть кинетической энергии, линейная по возмущению среды.Таким образом, объемная плотность полной энергией волнового движения,удовлетворяющая принципу аддитивности, пропорциональна квадратичным членам повозмущению и дается выражением:ρ u2c2 2ΔE  E волн  0  ρ1 Vu ρ122ρ 0При распространении в среде плоской монохроматической волны под углом  к векторускорости потока возмущение плотности и скорости имеет вид:1 r , t  ck,1 r , t    cos t  k r , u r , t   c   ck cos 0где   V c .

Подставляя эти выражения, получим плотность энергии монохроматическойплоской волны.Если скорость потока мала (   1), то объемная плотность энергии волны имеет вид:c21  β cos ρ12 .E  волн ρ0Как следует из приведенного выражения, эта величина положительна для всех волн,распространяющихся в любом направлении по отношению к невозмущенному потоку.Если же скорость невозмущенного потока превышает скорость звука (   1), то возможносуществование двух типов волн, быстрой и медленной, частоты которых совпадают, а скоростьраспространения различна.Энергия этих волн определяется выражением:c21  β cos ρ12 .E ρ0Если энергия быстрой волны всегда положительна, то распространение медленной волнывнутри конуса Маха приводит к уменьшению полной энергии среды, так как энергиямедленных волн отрицательна.

Уменьшение энергии среды при возникновении медленнойволны свидетельствует о неустойчивости системы относительно генерации волновыхвозмущений, при которых энергия потока будет переходить в энергию волны.Теорема Пойнтинга утверждает, что изменение энергии сплошной среды в данном объеме вотсутствие объемных сил обусловлено потоками энергии через границу.

Для определениявектора плотности потока энергии для волнового движения удобно воспользоваться 12уравнениями непрерывности Эйлера для малых возмущений. Для упрощения вычисленийограничимся случаем изотропной среды, положив скорость потока равной нулю.Умножая уравнение Эйлера на скорость частиц в данной точке, получим следующеесоотношение:ρ1 u2c2.(1)  ukt 2ρ0x kПоследнее слагаемое удобно представить в виде суммы и заменить второе слагаемое спомощью уравнения непрерывности.ρ1ρ1uk ρ1uk  ρ1 ρ1uk(2)uk ρ1x kx kx kx kρ 0 tПодстановка этого выражения в (1) приводит к уравнению  ρ 0u 2 c 2 ρ12 c 2 ρ1uk .t  22ρ 0 x kУчитывая выражение для объемной плотности волны, полученное выше, это уравнениеможно рассматривать как следствие теоремы Пойнтинга применительно к волновомудвижению среды:Eволн  div S ,tρ 0u 2 c 2 22где S  c ρ1u - вектор потока объемной плотности энергии, а E волн ρ1 .22ρ 0Отметим, что перенос энергии волной сопровождается переносом импульса, поток которогонетрудно определить аналогичным образом.5.

Сильные волныВ предыдущих разделах при изучении волнового движения мы ограничивались приближениемслабых волн, что позволяло линеаризовать уравнения. Рассмотрим теперь сильные возмущения,не допускающие линеаризации уравнений движения.Модель средыВ дальнейшем будем предполагать, что зависимость давления от плотности (и скорости) можетбыть установлена в рамках классической термодинамики.

Будем считать движениеизэнтропийным и адиабатическим.Для упрощения анализа положим, что все характеристики волнового движения среды –плотность, скорость, давление и т. д. являются дифференцируемыми функциями координат ивремени. Тогда в основных уравнениях можно перейти к дифференциальной форме. Уравнениенепрерывности имеет вид:  ui 0txiОграничимся случаем идеальной изотропной среды, пренебрегая вязкостью. Динамическоеуравнение Эйлера в этой модели ui   ui uk ptxkxiОграничимся моделью идеального газа, для которого зависимость давления от плотностиопределяется адиабатой Пуассонаp  p0  0  .13Одномерная волнаИсследование свойств модели удобно начать с простейшего случая одномерного волновогодвижения.Предположим, что в безграничной среде могут существовать волны, зависящие только от однойкоординаты, например от x.

В этом случае все характеристики волнового движения среды –плотность, скорость, давление и т. д. могут зависеть только от этой координаты и времени.Уравнения движения при таком предположении упрощаются и принимают вид: ux   ux2 p  ux 0txxtx u y   ux u y  uz   ux uz 00txtxС учетом уравнения непрерывности последние два уравнения системы принимают формухарактеристических:u yuuzu ux z  0 ux y  0txtxЭто означает, что на траекториях частиц y и z – компоненты вектора скорости остаютсяпостоянными.

Таким образом, рассматриваемая модель допускает существование толькопродольных волнui  u, 0, 0,которые описываются системой  u uu1 p.0utxtx xРешения РиманаПоскольку нас интересуют волновые решения, естественно предположить, что скорость,плотность и давление среды зависят от одной комбинации координаты и времени. Этопозволяет искать, например, скорость и давление как функции плотности u  u , p  p .Тогда частные производные скорости можно выразить через производные плотности:uu u u .ttxxЗдесь штрихом обозначена производная скорости по плотности.Заданная зависимость давления от плотности также позволяет связать производную давленияпо координате с производной плотности по координате:p c 2   ,xxгдеpc 2     p   . sПроизводная в рассматриваемой модели вычисляется при постоянной энтропии.С учетом сделанных предположений уравнение непрерывности и уравнение Эйлера приводятсяк виду: u  u 0u  uu  c 2 0.txtxЭти уравнения можно рассматривать как систему для определения неизвестной функции  t, x  .14Условие существования нетривиального решения – обращение в нуль определителя:uu  c2   u  u  u  0 .Отсюда следует, что скорость должна удовлетворять условию:duc .dРешение этого дифференциального уравнения определяет связь между скоростью и плотностьюсредыc u    d  const .Уравнение непрерывности теперь может быть записано в форме характеристическогоуравнения u  c  0.txСоотношения между скоростью и плотностью, записанные в формеc ud  constи выполняющиеся на характеристикахV  u  cназываются инвариантами Римана.Решение уравнения для плотности, следовательно, может быть представлено в форме:     x  V    t Для принятых условий деформаций элементарного объема идеального газа зависимостьхарактеристической скорости, например, V+ от плотности выражается простым соотношением: 1 1 0  2 ,V  c0 1p0.0Отметим основные свойства волны в данной модели:1.

Характеристики

Список файлов лекций