05_cynetics_2018_mar16 (1182294), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Таким образом, вероятность рассеянияпропорциональна квадрату амплитуды тепловых колебаний. Строгое вычисление [2] требуетрассмотрения электростатического взаимодействия. Однако для грубой оценки мы можемзаметить, что средний квадрат амплитуды тепловых колебаний уже имеет размерностьсечения, и предположить (что подтверждается точным расчётом, что сечение рассеянияэлектрона на каждом атоме будет по порядку величины равно этому среднему квадрату.Как было показано ранее (лекция 2)квадрат амплитуды тепловых колебаний атомов в23T3ℏ T2〈A〉∼=решётке при высоких температурах, где M — масса атома, аM ω 2D M Θ2температура выражена в энергетических единицах.
Дополнительно отметим, что в типичномметалле для скорости звука и скорости Ферми есть соотношение [2] s √ M ∼v F √ m ,связанное с тем, что порядок энергии Ферми (электронвольт) оказывается порядкакулоновской энергии взаимодействия соседних ионов, ответственной за упругость кристалла.17 Более подробное формальное рассмотрение процессов электрон-фононного рассеяния позволяет получитьописание обоих режимов одним уравнением, полуэмпирической формулой Блоха-Грюнайзена.
Приводим её5 Θ/ TTздесь для сведения, точный вывод лежит за рамками нашего курса: ρэл−фон =C 6Θгде характеристическая температура Θ обычно близка к дебаевской. .стр. 25 из 34∫05x dx,x−x(e −1)(1−e )v.16.03.20181. Поэтому с точностьюaa 3 M ω2D M m s 2 k 2D a 3 m2 v 2F k 2D a 3 ℏ k F k 2D a 3 ℏ1нашей оценкиτ=∼=∼=∼и дляnат σ v FvFTℏk FTℏkF TTTпроводимости, возвращая в запись постоянную Больцмана для использования привычнойne e 2 ℏ 1 1 10 К1К∼ 10= 10 8шкалы температур, σ≃. Время пробега электрона вmkB T TОм⋅м TОм⋅cмхорошем металле при комнатной температуре составляет порядка 10−14 сек , а длинапробега — около 10−6 см , то есть всё ещё много больше межатомного расстояния.Также воспользуемся тем, что в типичном металлеk D≃k F ≃Видно, что отношение RRR действительно служит мерой концентрации дефектовma 2 k B⋅300К 10−2R(300K)σ(0K )RRR==≃∼ ν и для технически чистых ( ν∼10−3 )2R(0K)σ(300K )ℏ νметаллов оно будет измерятся десятками.30R, Oì2032R, Î ì101000204060T, Ê0100200300T, KРисунок 10: Левая панель: Пример зависимости сопротивления образца технической меди(проволока 0.15 мм) от температуры.
RRR≈100 . Данные автора. Правая панель:Зависимость сопротивления, нормированного на сопротивление при дебаевскойтемпературе, от температуры, нормированной на дебаевскую температуру. Из книги [1].Пример зависимости сопротивления от температуры от комнатной до гелиевой (4.2К)температуры приведён на рисунке 10. Видно, что при низких температурах сопротивлениевыходит на постоянную величину, а при высоких растёт линейно. Связьвысокотемпературных процессов рассеяния, ограничивающих проводимость, с колебаниямирешётки наглядно демонстрируется рисунком 10: после нормировки температуры надебаевскую и сопротивлений на сопротивления при дебаевской температуре данные дляразличных соединений попадают на универсальную кривую.Обратим внимание, что линейная часть на температурной зависимости сопротивления(рисунок 10) продолжается до температур заметно ниже дебаевской.
Это связано с тем, что,строго говоря, эта линейная зависимость не является найденной нами высокотемпературнойасимптотикой. Действительно, даже если исключить из рассмотрения вклад о рассеяния надефектах, для того чтобы перейти от низкотемпературного закона T 5 к линейному законупри высоких температурах кривая R(T ) должна пройти через точку перегиба (см. такжеформулу Блоха-Грюнайзена в сноске на странице 25).
Этот переход через точку перегибастр. 26 из 34v.16.03.2018имеет место как раз при температурах порядка дебаевской и даёт наблюдаемую намилинейную зависимость. Курьёзным свойством этой линейной зависимости является то, чтолинейная экстраполяция высокотемпературной части пересекает ось температур принекоторой положительной температуре, «указывая» на «сверхпроводимость» металла приэтой температуре, что конечно же не имеет места.Закон Видемана-Франца.Напомним полученные нами результаты для теплопроводности и проводимости, полученные22 n τn e τв модели почти свободных электронов: κ= π e k 2B T и σ= e.3 mmВыражения очень похожи и, разделив одно на другое и возвращая постоянную Больцмана в2 2κ = π k B =2.44⋅10−8 Вт⋅Ом .
Этозапись для совместимости с литературой, получаем18σ T 3 e2К2отношение не зависит от свойств материала, его также называют постоянной Лоренца22 kВт⋅ОмBπ. Иногда в литературе используется эквивалентная формаL==2.44⋅10−823 eКВ2записи размерности этой постоянной.К2( )Постоянство отношения коэффициента теплопроводности к помноженной на температурупроводимости называют законом Видемана-Франца.Значение постоянной Лоренца для различных металлов (по [1]) приведено в таблице 1.Видно, что с точностью порядка нескольких процентов это соотношение выполняется притемпературе вблизи комнатной.Таблица 1: Значения постоянной Лорентца для различныхметаллов.
По книге [1].МеталлL×108 ,Вт⋅ОмК2Металл0 0С100 0СAg2.312.37Au2.35CdL×108 ,Вт⋅Ом2К0 0С100 0СPb2.472.562.40Pt2.512.602.422.43Sn2.522.49Cu2.232.33W3.043.20Ir2.492.49Zn2.312.33Mo2.612.79Однако необходимо отметить, что закон Видемана-Франца верен лишь тогда, когда временапробега, ограничивающие процессы электропроводности и теплопроводности совпадают. Изнашего анализа процессов рассеяния мы знаем, что это имеет место для рассеяния надефектах (низкотемпературный предел) и при высоких температурах (порядка температурыДебая и выше).
При промежуточных температурах ( T ≪Θ ) времена электрон-фононнойрелаксации принципиально отличаются для электро- и теплопроводности и закон Видемана18 Напомним, что в рамках модели Друде-Лоренца мы, по нашему произволу, «скрыли» в постоянной времениτ множитель ½. Так что, в рамках простых моделей, использованных нами для вычислениятеплопроводности и электропроводности мог бы возникнуть и какой-то множитель, равный отношениювремён пробега.
Более строгий анализ (стр. 30), однако, показывает, что таких множителей не возникает.стр. 27 из 34v.16.03.2018Франца перестаёт выполняться. Примеры измерения числа Лоренца для типичных металловв широком диапазоне температур могут быть найдены в обзоре [8].Рисунок 11: Постоянная Лоренца для меди. Разными символами показаны данные дляобразцов разной чистоты. С ростом чистоты образца минимум на кривой L(T) смещаетсяв сторону низких температур. Из обзора [8].То, что при выводе закона Видемана-Франца сокращается модельные параметры временисвободного пробега и массы электрона позволяет надеяться, что этот результат более общий,чем модель почти свободных электронов.
Действительно, закон Видемана-Францаполучается и при более строгом рассмотрении (см. далее, стр. 30).Напомним, что при рассмотрении явления электропроводности вместо смещения всейферми-сферы в k-пространстве под действием электрического поля можно говорить только оперераспределении приповерхностных электронов: в силу неразличимости электронов мыможем считать, что состояние электронов, попадающих в пересечение несмещённой исмещённой ферми-сфер, просто не изменилось.
Это означает, что мы можем на самом деле2ne e τотойти от модели почти свободных электронов — в закон Друде-Лоренца σ= ∗mвходят эффективная масса и время пробега для электронов на ферми-поверхности. В такойтрактовке в переносе заряда участвуют не все электроны, а только перераспределённыеeEv τэлектроны вблизи поверхности Ферми, их концентрация n≃n e e εE L =ne ε F, но иFFдвижутся они не с дрейфовой скоростью, а со скоростью Ферми.2 n τe2κ= πk TАналогично для теплопроводности полученное нами выражение3 m∗ Bоказывается более общим. В процессах рассеяния участвуют только электроны наповерхности Ферми. Поэтому время пробега в этой формуле также берётся на поверхностиФерми.
Масса электрона здесь появилась из формулы для теплоёмкости, а мы уже знаем, чтопри замене массы частицы ферми-газа на эффективную массу на поверхности Ферми этаформула остаётся верной для любой изотропной ферми-системы. То есть в формуле длятеплопроводности оказываются те же величины, что и в формуле для проводимости даже запределами модели почти идеального ферми-газа.стр. 28 из 34v.16.03.2018Распространение высокочастотного поля в металле. Скинэффект.В заключение рассмотрим как внешнее переменное электромагнитное поле проникает вметалл. Будем считать частоту удовлетворяющей условию ω τ≪1 , верное (заисключением специально чистых металлов, см.
оценки для времени τ выше) для частотвплоть до терагерцового диапазона. Это условие позволяет применять для электроновпроводимости локальный закон Ома, считая что ток определяется мгновенным значениемнапряжённости электрического поля. Также будем считать, что длина свободного пробегаэлектрона много меньше длины волны, что, впрочем, автоматически следует из нашегоусловия.19Для электромагнитного поля в веществе справедливы уравнения Максвелла и материальныеуравнения. Считая толщину скин-слоя (слоя, в который проникает внешнее поле) многоменьше длины волны, пренебрегаем током смещения. Также пренебрегаем магнитнымисвойствами среды:⃗⃗ )=− ∂ Hrot ( E∂t4π⃗ )=⃗j .rot ( Hc⃗⃗j=σ EСчитаем падение электромагнитной волны нормальным к поверхности металла (вдоль оси Z)⃗⃗ ( z)e−i ω t ,и ищем периодическое во времени решение для поля внутри металлаE=E⃗ =H⃗ ( z)e−i ω t .HТогда⃗ )= 4 π σ E⃗rot ( Hc.⃗ )=i ω Hrot ( Ec⃗ лежит всё время в плоскости, перпендикулярной z .
Беря ротор отСчитаем, что E⃗)второго уравнения и подставляя тудаиз второго, пользуясь формулойrot ( H⃗⃗⃗rot ( rot ( E ))=grad (div ( E ))−Δ E , а также тем, что для такой геометрии поля div ( ⃗E )=0 ,4π⃗ =iωσ ⃗E .имеем: −Δ Ec2Окончательно получаем, что решением являетсягде δ=cc=√2 π σ ω 2π √σ νE=E 0 e−i ω t e(i−1) z /δи есть искомая глубина скин-слоя.Для системы СИ ответ может быть выписан в удобном для применения видеρ[Ом⋅м].
Для меди на частоте 50Гц глубина скин слоя равна 9мм, на частотеδ[ м ]=503f [ Гц ]1 МГц — 70 мкм, на частоте 10 ГГц — менее 1 мкм. Скин-эффект объясняет применениепроводящих экранов для экранировки от высокочастотных шумов и объясняет, например, кактонкой металлической плёнки на поверхности дверцы микроволновой печки оказывается√191≫ω τ=2 πc Lc LL=2 π∼1000, следовательно L≪10−3 λλ vFλλvFстр. 29 из 34v.16.03.2018достаточно для защиты от СВЧ-излучения.В достаточно чистом металле с повышением частоты рано или поздно глубинапроникновения должна стать меньше длины свободного пробега, а это значит, что⃗ будет неприменимо. Это явление называется аномальнымматериальное уравнение ⃗j =σ E1скин-эффектом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
