05_cynetics_2018_mar16 (1182294), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

В области аномального скин-эффекта δ∝ 3, причём глубина скин-слоя√ωпри аномальном скин эффекте оказывается независящей от длины пробега [2].Применение кинетического уравнения к решению задачтепло и электропроводности. †Этот раздел является дополнительным и выходит за рамки курса. Его цель — получить болееобщее выражение для электронного вклада в теплопроводность металла и для проводимостиметалла, чтобы показать, что закон Видемана-Франца оказывается более общим, чемприближения газовой модели, которые мы использовали при его получении.Кинетическое уравнение и теплопроводность газа.На примере обычного газа частиц удобно ввести более строгий формализм, которыйпозволяет более строго рассмотреть явления переноса в металле.

Ключевым в классическихрассуждениях для вывода теплопроводности газа было представление о термализациимолекул газа в результате столкновений — то есть о восстановлении равновесного(максвелловского) распределения по скоростям.Наличие градиента температур в системе — ситуация неравновесная, однако, за счёттермализации частиц посредством какого-то взаимодействия между ними, в каждой точкепространства может иметь место распределение частиц по энергиям близкое к равновесному.При этом сама функция распределения частицы по состояниям f (Γ) начинает зависеть отвремени и координат. Выберем нормировку функции распределения ∫ f (Γ) d Γ=1 .Напомним, что в термодинамике есть два эквивалентных способа определения функциираспределения: это может быть определение функции распределения по ансамблю частиц водинаковых условиях, а может быть определение функции распределения по наблюдению заодной частицей в течение долгого времени 20.

Здесь удобнее рассуждать на языке функциираспределения одной частицы по состояниям.Таким образом, мы можем поставить мысленный эксперимент длительно наблюдая за однойчастицей. Если в фазовом пространстве функция распределения изменяется (под действиемвнешних полей, градиентов температур и т.п.), то мы можем следить за этими изменениями.Мы знаем, что термодинамическое равновесие в системе восстанавливается. Будем считать,что наша частица всегда успевает прийти в равновесие со своим локальным окружением.Тогда та функция распределения частицы по состояниям, за которой мы следим, совпадает сфункциями распределения таких же частиц в той области пространства, где в данный моментнаходится наша «измерительная» частица.Процессы восстановления равновесия связаны с различными взаимодействиями частиц другс другом и в общем случае можно записать функциональное уравнение, называемоекинетическим уравнением:20 Эта частица за большое время много раз пройдёт через одну и ту же область фазового пространства, чтопозволяет определить её функцию распределения.стр.

30 из 34v.16.03.2018d f= I ( f ) , где I ( f ) - так называемый интеграл столкновений.21 Зависимость отdtвремени возникнет даже в стационарных внешних условиях, так как наша «измерительная»частица перемещается.Для малых отклонений от равновесия можно описать этот процесс восстановленияравновесия какf −f 0d fτ — некоторое, где f 0 - равновесная функция распределения, а=− τdtхарактерное время восстановления равновесия. Если считать, что время восстановленияτ оказываетсяодинаково при всех энергиях частиц и во всём пространстве 22, тоединственным параметром задачи. Такое приближение называют тау-приближением.Для пространственно неоднородного нарушения равновесия распишем полную производнуюпо времени через все частные производные:df ∂ f dx ∂ f dy ∂ f dz ∂ f ∂ f⃗ f , где ⃗v - скорость частицы (так как мы=+++=+ ⃗v⋅∇dt ∂t dt ∂ x dt ∂ y dt ∂ z ∂tследим за одной частицей в нашем мысленном эксперименте).

Эта запись предполагает, чтопо мере движения частицы частица успевает термализоваться с локальным окружением и еёраспределение по состояниям следует за локальным равновесием.Объединяя эти уравнения, получим запись кинетического уравнения Больцмана в тауприближении∂f⃗ f =− f − f 0+ ⃗v⋅∇τ∂tПрименим этот формализм для описания переноса тепла в газе. Путь градиент температурвдоль оси X невелик, тогда равновесная функция распределения — это больцмановскаяμ−Eμ — химический потенциал.

Реальная функцияf 0=expфункция, гдеTраспределения мало отличается от f 0 : f = f 0+ f 1 .( )Если имеется стационарный градиент температур вдоль оси X, то явно функция21 Нам не нужно общее представление интеграла столкновений для задач этого курса, следующие рассужденияпозволяют понять происхождение этого названия. Чтобы описать как изменилось число частиц с энергиейE в результате взаимодействия с другими частицами в случае только парных взаимодействий мыE 1 и с вероятностьюдолжны просуммировать по всевозможным частицам с другими энергиямиf (E ) f ( E 1 )w( E , E 1) , где w (E , E 1 ) – вероятность взаимодействия в единицу времени частицаперейдёт в другое состояние, а также просуммировать по всевозможным парам частиц с энергиями E 1 'и E 2 ' , после взаимодействия которых получится частица в состоянии с энергией E , вероятностьэтого процесса в единицу времени f (E 1 ' ) f ( E 2 ' )w ' (E 1 ' , E 2 ' ) .

Учитывая равенство вероятностей, E1, E 1 ' , E 2 ') для вероятности процессапрямого и обратного процессов, вводя вероятность w=̃ w(Ẽ(E,Eрассеяния при котором из пары частиц с энергиями1 ) получается пара частиц с энергиями(E 1 ' , E 2 ' ) (или наоборот), получаем для изменения функции распределения в единицу времениdf=∭ w̃ [ f (E 1 ') f ( E 2 ' )− f ( E) f ( E 1) ] dE 1 dE 1 ' dE 2 ' .dtПолучающеесяинтегральноепредставление и есть интеграл столкновений.22 Это предположение кажется сильным, когда речь идёт о классическом газе. Однако позднее мы будемприменять этот формализм к вырожденному ферми-газу, где важно лишь взаимодействие частиц вблизиповерхности Ферми, для которых это предположение более естественно.стр.

31 из 34v.16.03.2018распределения «измерительной» частицы от времени не зависит⃗ f =− f 1 .уравнение превращается в ⃗v⋅∇0τ∂ f0∂ f 0 ∂T(μ−E ) ∂ T=−τ v x=τ v xf0Откуда f 1=−τ v x.2∂x∂T ∂ x∂xT∂f=0 и кинетическое∂tПоток энергии вдоль оси Х непосредственно вычисляется из функции распределенияq x =∫ f ( Γ)E v x d ΓВ равновесии потока не будет — равное число молекул летит влево и вправо, поэтому вкладбудет только от неравновесного слагаемого f 1 . Для простоты ограничимся одноатомнымгазом.q x =∫ f 1Получена()m v21 ∂Tm v2 m v2v x d Γ= 2τ v 2x μ−f 0d Γ .∫222T ∂xсвязьпотокатеплас градиентом температуры, а для коэффициента1m v2m v2d 3 ⃗pκ= 2 ∫ τ v 2x−μf0теплопроводности имеем.

Вычисление этого22T(2 π ℏ)3интеграла для газа нам не нужно. Отметим, забегая вперёд, что для ферми-газа аналогичныйрасчёт будет упрощаться тем, что функция распределения изменяется лишь вблизи фермиповерхности.()Теплопроводность электронного газа.Газовое приближение оправдано для почти свободных электронов.

В ходе его использованиямы, в частности, отмечали что все существенные для тепловых процессов электроны имеютскорость примерно v F , пользовались сферической формой ферми-поверхности в своихрассуждениях. Очевидно, что эти рассуждения, удобные своей простотой, окажутсянеприменимыми (или потребуют некоторых дополнительных оговорок и приближений) вреальных металлах.Более строгое рассмотрение этой задачи возможно на языке кинетического уравнения∂f⃗ f =− f − f 0 .+ ⃗v⋅∇τ∂tТак как тепловая энергия переносится не всеми электронами, а только электронами вблизиот поверхности Ферми, удобно перейти от рассмотрения реальных электронов в кристалле крассмотрению квазичастиц. При этом энергию квазичастиц удобно отсчитывать от уровняФерми (и, напомним, направление отсчёта энергии для античастиц изменяется) ε=∣E−μ∣ .Частицы и античастицы возникают при тепловом возбуждении парами.

Равновесная функция1распределения частиц и античастиц может быть представлена в виде f 0= ε/T.e +1Все аргументы для вывода кинетического уравнения остаются в силе и для квазичастиц.Если имеется стационарный слабый градиент температур, то можно искать решение в виде∂ff = f 0+ f 1 , из стационарности=0 .∂t⃗ f =− f 1 .Тогда ⃗v⋅∇τстр. 32 из 34v.16.03.2018Воспользуемсянекоторымираспределения. Заметим, чтоматематическими свойствами фермиевской∂ f0∂ f011ε ∂ f0=−,а=−2∂ε4T ch (ε/2T)∂TT ∂εфункции⃗ f = ∂ f 0 (⃗v ∇⃗ T )=− ε ∂ f 0 (⃗v ∇⃗ T )=− ε ∂ f 0 ( ⃗⃗ T) ,Тогда ⃗v⋅∇v∇0∂TT ∂εT ∂εf 1=τаε ∂ f0( ⃗ )v ∇ T , эта поправка одинакова и для частиц, и для античастиц.⃗T ∂εПоток тепла связан с движением квазичастиц, в равновесии он зануляется, поэтому можносразу заменять при интегрировании полную функцию распределения f = f 0 + f 1 на f 1 .Вклады частиц и античастиц в поток тепла (поток энергии) одинаковы и равны:d 3 ⃗pq ч ,а =2 ∫ ε( ⃗p )⃗v f 1⃗,где множитель 2 связан со спиновым вырождением.(2 π ℏ)3Перейдём к интегрированию по энергиям, вводя плотность состояний (спиновое вырождениетакже будет учитываться в плотности состояний).

Интегрирование по направлениямимпульса перейдёт в интегрирование по телесному углу. Для учёта вклада и частиц иантичастиц интегрирование по энергиям ограничим интервалом от 0 до +∞ и в явном видевведём множитель 2, описывающий равные вклады частиц и античастиц. Подстановкой винтеграл выражения для f 1 получаем:()∞211⃗ T ) D(ε) d ε d Ωq =2 ∫∫ τ ε −⃗⃗v ( ⃗v ∇2T4T ch (ε/2T)4π .0Подынтегральное выражение содержит быстро убывающую при ε≠0 функцию. Этоозначает, что с нашей точностью все не обращающиеся в ноль и не имеющие в нулеособенностей функции под интегралом могут быть заменены своим значением при ε=0 .Интеграл по углам в изотропном случае 23∞∫0ε2 d εch2 ( ε/2T )∫ ⃗v ( ⃗v ∇⃗ T ) d4 Ωπ = 13 v 2 ∇⃗ T∞вычисляется с использованием табличного∫0. Интеграл по энергиямx2π2dx=.12ch2 x2⃗ T ( v 2 τ D(ε) )q =− π T ∇Окончательно: ⃗откудадлятеплопроводностиε=0 ,922κ= π T ( v τ D( E) )μ , выражение в скобках вычисляется на поверхности Ферми.9Проводимость.В поле кинетическое уравнение должно быть поправлено, так как теперь от времени зависитf−fdf ∂ f⃗ f + ∂ f d ⃗p = ∂ f + ⃗v⋅∇⃗ f −e E⃗ ∂ f =− τ 0 .и импульс.

Тогда=+ ⃗v⋅∇dt ∂ t∂ ⃗p d t ∂t∂ ⃗pДля переноса заряда важны все электроны, поэтому можно рассуждать на языке нормальныхчастиц (не квазичастиц). Если поле ⃗E однородное и постоянное, то в левой части остаётся23 Вычисляется покомпонентно, вq x вклад даётусреднения остаётся только вклад отv x (v xdTdTdT+ vy+ vz) . Ненулевым послеdxdydz1〈 v 2x 〉= v 23стр. 33 из 34v.16.03.2018только производная по импульсам. Подставим∂ f0 f1e⃗E= τ .∂ ⃗pf = f 0+ f 1 , гдеf 1≪ f 0 . ТогдаДля изотропного случая равновесная функция распределения зависит от∂ f 0 ∂ f 0 ∂ε∂ f0.==⃗v∂ ⃗p∂ε ∂ ⃗p∂εТогдаэнергии и∂f⃗⃗f 1 ( ⃗p )=e ( Ev ) τ ∂ε0 .Плотность тока может быть теперь найдена непосредственным интегрированием по всемсостояниям:⃗j =2 e ∫ ⃗v fd 3 ⃗p, множитель 2 связан со спином.(2 π ℏ)3Как и для теплопроводности, вклад от равновесной функции распределения занулится и∂ f 0 d 3 ⃗p∂f0dΩ⃗j=2 e 2∫ ⃗⃗ )τ⃗ )τv (⃗vE=e 2∫ ⃗v (⃗vED(ε)d ε.3∂ ε (2 π ℏ)∂ε4πИнтегрирование по углам даст для изотропного случая1⃗ 2E v , при интегрировании по3∂ f0имеет острый пик при∂εзануляется при удалении от уровня химпотенциала.энергиям опять воспользуемся тем, чтоε=μ и быстро1 2 21E , и для проводимости σ= e 2 ( v 2 τ D(ε) )μ .Окончательно ⃗j= e ( v τ D(ε))μ ⃗33Закон Видемана-Франца.Сводя вместе полученные выражения для теплопроводности и электропроводности21κ= π T ( v 2 τ D(ε))μ и σ= e 2 ( v 2 τ D(ε) )μ , получим опять закон Видемана-Франца9322κ = π k B =2.44⋅10−8 Вт⋅Ом .2σ T 3 e2КПри этом, более строгом, выводе существенным приближением была только изотропностьферми-поверхности.

Отметим, что здесь время релаксации τ вводится единообразно дляобоих процессов переноса, что исключает присутствовавший в газовой модели некоторыйэлемент произвола.стр. 34 из 34v.16.03.2018.

Характеристики

Список файлов лекций