05_cynetics_2018_mar16 (1182294), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Первыми из таких процессов является слияние двухфононов в один K⃗ 1+ K⃗ 2= K⃗ 3 либо обратный процесс распада (рисунок 2). Однако, являетсяне очевидным, что такие процессы могут дать вклад в ограничение теплопроводности.Действительно, так как при этом сохраняется энергия и квазиимпульс, то получившийся врезультате слияния двух фононов фонон несёт ту же энергию в, казалось бы, том женаправлении.Это утверждение, однако, не верно. Направление переноса энергии определяется групповой⃗ )= ∂ε = 1 ∂ε , а эта функция периодична в k-пространстве.
Этоскоростью фонона V⃗ гр( K∂ ⃗p ℏ ∂ ⃗kудобно представить себе следующим образом. У фононов в кристалле имеется не импульс, а⃗ . Как мыквазиимпульс, определённый с точностью до вектора обратной решётки Gпоказали на первой лекции, именно в первой зоне Бриллюэна содержатся все физическиразличимые колебания. Поэтому, если волновой вектор K⃗ 3 фонона, образовавшегося пристр.
10 из 34v.16.03.2018слиянии, выйдет за пределы первой зоны Бриллюэна, мы должны его оттранслировать впервую зону Бриллюэна. При этом может оказаться, что этот фонон распространяется 3 внаправлении, противоположном исходному (рисунок 2). То есть, в результате «переброса» навектор обратной решётки изменится направление переноса энергии и, следовательно, такиепроцессы, называемые процессами переброса, дадут вклад в ограничение теплопроводностикристалла.В одномерном случае для такого процесса необходимо, чтобы волновой вектор хотя быодного фонона был больше половины от бриллюэновского 4.
Для наличия заметного числатаких высокоэнергетических фононов необходимо, чтобы температура была достаточновысокой (порядка дебаевской и выше5). Таким образом, при низких температурах этотмеханизм оказывается полностью выключен.При высоких температурах активированы все колебательные степени свободы, теплоёмкостькристалла перестаёт зависеть от температуры. Сечение взаимодействия фононов друг сдругом определяется видом ангармонизма и от температуры не зависит (но может зависеть отнаправления распространения фононов). Поэтому зависимость длины пробега оттемпературы определяется только концентрацией фононов.При высоких температурах заселены все фононные состояния, плотность состояний вдебаевской модели имеет максимум на дебаевской частоте, поэтому большая часть фононовимеет энергию порядка дебаевской. Так как полная энергия тепловых колебаний ввысокотемпературном пределе E=3N T и эта энергия есть суммарная энергия всехфононов, а характерная энергия фонона от температуры не зависит, то количество и11L=∝концентрация фононов пропорциональны температуре.
Таким образомиnσ T11κ= s C (V ) L∝.3TЗависимость фононной теплопроводности от температуры.Сведём вместе полученные результаты. При низких T ≪Θ температурах фононная3теплопроводностьκ ∝T (для трёхмерных кристаллов), при высоких температурах1κ∝T ≥Θ. При промежуточных температурах в фононной теплопроводности имеетсяTмаксимум. Положение этого максимума определяется качеством кристалла, а для оченьсовершенных кристаллов — его размерами.Примеры зависимости теплопроводности некоторых веществ от температуры показаны нарисунках 1 и 3. Обратите внимание, что при облучении кварца, приводящем к созданиюдополнительных структурных дефектов, теплопроводность существенно уменьшается.3 Здесь для иллюстрации понятия процессов переброса неявно использовано предположение, что в первойзоне Бриллюэна закон дисперсии фононов устроен «монотонно» - энергия фононов всё время растёт приудалении от центра зоны Бриллюэна в произвольном направлении вплоть до границы зоны.
В реальныхкристаллах это не всегда справедливо, но для нашего качественного рассмотрения такие тонкие детали несущественны.4 В трёхмерном случае эти соображения качественно сохраняются, но с учётом возможно сложногоустройства обратной решётки могут возникать геометрические поправки к этому условию.5 За исключением случаев экзотической геометрии элементарной ячейки с существенно различающимисядлинами векторов элементарной трансляции бриллюэновский и дебаевский волновые вектора близки повеличине.стр.
11 из 34v.16.03.2018Вклад делокализованных электронов в теплопроводность.Модель свободных электронов.Так как электронный газ обладает теплоёмкостью, он также будет давать вклад в процессыпереноса тепла в металле. Самым грубым приближением является модель свободныхэлектронов, не учитывающая взаимодействие электронов с потенциалом кристаллическойрешётки. В этой модели оказываются прямо применимы все рассуждения для1 2(V )теплопроводности газа и κ= v F τ C, где v F – фермиевская скорость6. Теплоёмкость3вырожденного ферми-газа в металле при всех интересующих нас температурах C ∝Tπ 2 n k T = π2 n k 2 TC=(напомним, что, где n e концентрация электронов).
Таким2 e B T F 2 e B EF22 n τ22 T= π e k 2B T Остаётся только оценить зависимость времениобразом, κ= π v F τ ne k B6EF 3 mсвободного пробега от температуры.Дополнительно оговоримся, что для явлений переноса (теплопроводность и проводимость)невозможно рассматривать электрон как волну с определённым импульсом (волновымвектором), полностью делокализованную в пространстве. Наоборот, необходиморассматривать локализованные частицы, которые переносят энергию или заряд. Для введениятакой локализации можно, аналогично тому как это делалось в оптике, рассматриватьэлектрон как волновой пакет.
Скорость движения волнового пакета есть, как известно,∂ε 1 ∂ε=групповая скорость волны ⃗v гр=, где ε( ⃗k ) - закон дисперсии для электронов.∂ ⃗p ℏ ∂ ⃗k∂εПод фермиевской скоростью мы по определению понимаем ⃗v F = ∂ ⃗p, то есть именноε= Eгрупповую скорость на поверхности Ферми. Для модели идеального ферми-газа ⃗v F = ⃗p F /m .∣FРоль различных процессов рассеяния.Отсутствие рассеяния на регулярной решётке.Учёт взаимодействия электронов с регулярной решёткой приводит к возникновению зоннойструктуры. Напомним, однако, что блоховская волновая функция электрона в периодическомпотенциале — незатухающая.
То есть, если энергия и квазиимпульс электрона удовлетворяютзакону дисперсии, то такой электрон распространяется свободно по кристаллу. В регулярнойрешётке, таким образом, электрон, даже с учётом взаимодействия с ионным остовом,рассеиваться не будет.Мы знаем из квантовой механики, что даже при T =0 ионы совершают квантовые«нулевые» колебания. Эта «нерегулярность» решётки, однако не приведёт к возникновениюрассеяния. При T =0 и решётка и электронный ферми-газ находятся в основном состояниис минимально возможной энергией. Это означает, что невозможна передача энергии от однойсистемы к другой.Изменение же квазиимпульса электрона без передачи энергии возможно только при6 С точностью газовой модели фермиевская скорость есть характерная скорость электронов в ферми-газе.Однако, имеется ещё и дополнительная специфика, связанная с вырождением ферми-газа: в силу запретаПаули в различных процессах рассеяния могут участвовать только электроны вблизи ферми-поверхности.стр.
12 из 34v.16.03.2018изменении квазиимпульса электрона на вектор обратной решётки, при этом и исходное, иконечное состояния электрона должны лежать на ферми-поверхности. Это сложновыполнимое условие требует достаточно экзотических свойств ферми-поверхности, заведомоотсутствующих для простых металлов с почти сферической поверхностью Ферми, лежащей впервой зоне Бриллюэна.Рассеяние на дефектах. Экранирование поля дефекта в металле.Наличие в кристалле примесей, дефектов решётки и границ образца нарушает регулярностьрешётки и рассеяние электронов на таких дефектах структуры становится возможным.
Такжевозможно рассеяние на дефектах, связанных с наличием нескольких изотопов. Прирассмотрении сечения рассеяния на дефектах важно иметь в виду, что мы имеем дело свырожденным ферми-газом. Поэтому упругие процессы рассеяния возможны только дляэлектронов, лежащих в импульсном пространстве вблизи поверхности Ферми (дляэлектронов в глубине ферми-сферы процессы рассеяния подавлены запретом Паули).Поэтому, в отличие от фононов, сечение рассеянии электронов на структурных дефектахоказывается не зависящим от температуры (дебройлевская длина волны рассеиваемыхэлектронов одна и та же при всех температурах) 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
