05_cynetics_2018_mar16 (1182294), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Такой процессдля электронов запрещён законом сохранения электрического заряда. Поэтому первым процессом, которыйнужно учитывать является двухчастичное взаимодействие.стр. 16 из 34v.16.03.2018Зависимость от температуры.Как мы показали выше, при низких температурах электронный вклад в теплопроводностьлинеен по температуре и за редкими исключениями обеспечивает высокую по сравнению сдиэлектрикамитеплопроводность металлов при низкой температуре. Величинатеплопроводности сильно зависит от качества кристалла (рисунок 5).Рисунок 5: Зависимость теплопроводности от температуры для меди и алюминияразличной чистоты. Голубая пунктирная линия соответствует закону κ∝T , красный2пунктирκ∝1/T . Число RRR (residual resistivity ratio) обозначает отношениеэлектрическогосопротивленияобразцаприкомнатнойтемпературекнизкотемпературному сопротивлению.
На основе рисунка из [3].При высоких температурах электронный вклад в теплопроводность не зависит оттемпературы и, таким образом, определяет теплопроводность металлов при T ≫Θ . Припромежуточных температурах в металлах высокой чистоты имеется максимум электроннойтеплопроводности, определяемый переходом с электрон-фононного механизма рассеяния1κ ∝ 2 к рассеянию на дефектах κ ∝T . В «грязных» образцах с большим количествомTдефектов рост теплопроводности, связанный с переходом к низкотемпературному пределустр.
17 из 34v.16.03.2018электрон-фононного рассеяния не наблюдается.Проводимость электронов в металле.Движение электронов в кристалле под действиемэлектрического поля.Рассмотрим электрон в кристалле, на который действует внешнее электрическое поле. Заδ t смещение электронавремя, а работа, совершённая внешним полем⃗v δ t⃗⃗δ A=e Ev δ t , где ⃗v — групповая скорость. Эта работа идёт на изменение энергииdε∂ ε d ⃗pd ⃗pδ t=δ t , откуда=−e ⃗E .электрона δ ε=dt∂ ⃗p dtdtПолученное уравнение похоже на второй закон Ньютона, однако ⃗p здесь — это неимпульс, а квазиимпульс.
Отметим также, что, если вспомнить определение эффективноймассы m∗ v гр = p , то, если эффективная масса постоянна, получим формальный аналогd⃗v грвторого закона Ньютона m ∗=−e ⃗E .dtИз полученного уравнения следует, что квазиимпульс электрона должен линейно возрастатьпод действием электрического поля.
В идеальном кристалле это будет означать, что черезнекоторое время импульс достигнет бриллюэновского, после чего квазиимпульс будет«переброшен» на вектор обратной решётки и направление движения электрона изменится. Тоесть, электрон будет совершать осцилляции вперёд и назад и никакого направленногодвижения не возникнет.Этот вывод довольно естественен с точки зрения зонной структуры. Возьмём длянаглядности простейший одномерный закон дисперсии ε=E 0 (1−cos (ka )) , приложимэлектрическое поле вдоль оси X и возьмём электрон в состоянии с k =0 .
Начальнаяскорость (групповая скорость волнового пакета) равна нулю. Квазиимпульс начнётувеличиваться и вплоть до ka =π/2 групповая скорость будет нарастать, однако затемнесмотря на рост квазиимпульса групповая скорость начнёт уменьшаться, обратится в нольпри ka =π , после чего сменит знак (рисунок 6).Однако этот вывод противоречит известным фактам: мы знаем, что в металлах приприложении электрического поля возникает электрический ток.
Оценим амплитудуколебаний электрона в реальном пространстве при таких осцилляциях. Волновой вектор2πℏ 2 π /aменяется наза время t=, характерная скорость электрона в хорошихaeEметаллах порядка фермиевской108 см /сек . Откуда для амплитуды колебанийhV Fи даже для огромной для металлов11 напряжённости поля 1 В/ м получимL∼V F t=ae EL∼30 м . Такая длина пробега электрона без столкновений является нереальной. То есть вреальном металле наблюдение таких осцилляций практически невозможно. Это рассуждениепоказывает, что наличие процессов рассеяния, ограничивающих длину (и время) свободногопробега электронов, принципиально для возникновения проводимости.Наконец, отметим, что скорость роста квазиимпульса не зависит от его начального значения.11 Для получения такой напряженности поля в образце очень чистой меди с RRR=1000 (высокая чистотаматериала и низкая температура такого гипотетического эксперимента подразумеваются необходимостьюдлины пробега, большой по сравнению с ожидаемым размахом колебаний) длиной 1 м и площадью сечения5 мм2 нужно пропускать ток порядка 10 кА.стр.
18 из 34v.16.03.2018Поэтому, если имеется много невзаимодействующих электронов, занимающих места внутринекоторой ферми-поверхности, то всё это распределение электронов смещается в kпространстве как целое.E/E0V/Vmax224G55'3112100-1-10-2kaРисунок 6: Спектр электрона в кристалле (сплошная кривая) и зависимость групповойскорости от квазиимпульса (пунктирная кривая). Вертикальные прямые отмечают границызоны Бриллюэна. Под действием приложенного поля изначально покоившийся электрон(положение 1) начинает увеличивать квазиимпульс и ускоряться (2), при ka =π/2групповая скорость достигает максимума (3) и при дальнейшем росте квазиимпульсаначинает уменьшаться (4), далее с ростом квазиимпульса пересекается граница зоныБриллюэна (5) и положение электрона в k-пространстве может быть оттранслировано навектор обратной решётки (5'). В положениях 5 и 5' групповая скорость отрицательна.Проводимость в модели свободных электронов.
Модель ДрудеЛоренца.τ между актами рассеяния. За время τ все1 ⃗τ . Для процессаэлектроны приобретают общий «дрейфовый» импульс12 δ k⃗ =− e Eℏe⃗Eτпереноса заряда нам важна дрейфовая скорость 13 движения электронов ⃗v др=−, гдеm∗m — эффективная масса. Эта скорость оказывается одинаковой для всех электронов соПусть есть некоторое характерное время12 Обратите внимание, что мы, фактически по определению времени τ , не ввели множитель ½ в выражениедля среднего дрейфового импульса. В рамках модели Друде-Лоренца это является нашим произволом,оправданным тем, что так получается более простой ответ, к тому же совпадающий с более строгимрассмотрением (см.
раздел Применение кинетического уравнения к решению задач тепло иэлектропроводности. † на стр.30).13( )d ⃗v гр ⃗ d⃗pδ k=δ⃗k , для модели свободных электронов∗⃗⃗dkdk mℏэффективная масса не зависит от квазиимпульса и ⃗v др = ∗ δ ⃗k .m⃗v гр =∂ε, поэтому∂ ⃗pv др =δ ⃗v гр =⃗стр. 19 из 34v.16.03.2018всеми импульсами (если спектр описывается одной эффективной массой).2ne τ ⃗v др= ∗ EТогда для плотности тока ⃗j =−n e ⃗, где n - концентрация. Коэффициентmпропорциональности между плотностью тока и напряжённостью поля есть по определению22проводимость: σ= n e τ = n e L , здесь L — длина свободного пробега, v—Fm∗v F m∗фермиевская скорость.Приведённый выше вывод нагляден, но слишком упрощает физическую картину: принебольшом смещении ферми-сферы в силу неразличимости электронов можно считать, что вобласти пересечения несмещённой и смещённой ферми-сфер электронные состояния вовсене изменились.14 Опишем процесс электропроводности с этой точки зрения.
На этом языкевсё, что произошло (рисунок 7) — это перемещение части электронов ранее находившихся налевой (по рисунку) части ферми-поверхности, на правую её часть. Возникшие избытокk x > 0 и недостаток электронов сk x< 0электронов сприводят к появлениюэлектрического тока вдоль оси X.Рисунок 7: Смещение ферми-сферы при приложении электрического поля. Серым цветомпоказаны состояния, заполнение которых не изменилось, синим - вновь заполненныесостояния, белым - освобождённые состояния.3Этотток может быть непосредственно вычисленd k, где знакj x =−∫ e V x f ( ⃗k )(2 π)314 Это упрощение рассмотрения похоже на ситуацию с вычислением теплоёмкости ферми-газа. РезультатC≃N k BkBTEFможно интерпретировать либо как то, что каждый электрон даёт вклад теплоёмкостьkBT, либо как то, что только электроны в размытом тепловыми процессами слое вблизи фермиEFk BTповерхности, число которых ≃Nдают вклад в теплоёмкость ≃k B в соответствии с теоремой оEF≃k Bравнорвспределении.стр.
20 из 34v.16.03.2018«минус» связан с отрицательностью заряда электрона, аf (⃗k ) — это функцияраспределения в k-пространстве. В нашей модели почти свободного электронного газа приT =0f (⃗k )=1 внутри ферми сферы и f ( ⃗k )=0 вне ферми сферы, что соответствует3d kнормировке 2 ∫ f ( ⃗k )=n , множитель 2 связан с вырождением по проекции спина.3(2 π)Вклад освобождённых («дырочных») состояний и вновь заполненных («электронных»)состояний в полный ток одинаков. Вычисление удобно проводить в полярных координатах, врадиальном направлении толщина вновь заполненного слоя с линейной по δ ⃗k точностьюравна cos Θ δ k .15π/ 2 k F +cos Θδ kd kdΘ, множители 2 связаны со(2 π)30kспиновым вырождением и с учётом двух слоёв (освобождённого «дырочного» и вновьзаполненного «электронного»). Вычисляя интеграл с линейной по δ k точностью, получимдля плотности тока:j x =−2×2 ∫Тогда:∫e V F cos Θ 2 π k 2 sin ΘFj x =−eVFπ/ 2k F δ k ∫ cos Θsin Θ d Θ=−223e ℏk Fδ k.Подставляясюдаопределение22 ∗π3π m0фермиевского волнового вектора и величину смещения в электрическом поле δ k ,e2 n τeE .
Таким образом, проводимость равнаокончательно получим, как и ранее: j x =−m∗e2 n τ eσ= ∗ . Отметим, что при этом рассмотрении учитываются только электроны вблизиmповерхности Ферми и эффективная масса имеет однозначный смысл эффективной массы наповерхности Ферми — так что результат модели Друде-Лоренца оказывается более общим.Различные процессы релаксации.Как и для теплопроводности время свободного пробега определяется различнымипроцессами рассеяния и при различных температурах доминирующими оказываютсяразличные процессы. От температуры зависит только длина свободного пробега, остальныепараметры являются постоянными материала либо физическими константами.Рассеяние на примесях.Как и для теплопроводности, рассеяние на примесях, дефектах, изотопическом беспорядке,границах образца ограничивает длину свободного пробега электронов и этот вклад независит от температуры.Рассеяние на дефектах определяет низкотемпературное значение сопротивления, поэтому дляметаллов наглядной характеристикой чистоты металла является отношение сопротивленияобразца при комнатной температуре к низкотемпературному значению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
