05_cynetics_2018_mar16 (1182294), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Эти фононы уходят в более холодную часть образца, переносяэнергию по образцу. Поэтому для коэффициента теплопроводности мы можем сразу написать1(V )κ= s C L , где s – скорость звука (скорость фононов), C (V ) (T ) — теплоёмкость3фононного газа в единице объёма, L(T ) – длина свободного пробега фонона.При T ≫Θ теплоёмкость единицы объёма C (V )=3 n k B , где n — концентрацияатомов. При T ≪Θ в рамках модели Дебая, считая для простоты, что в примитивной312 4T(V )элементарной ячейке содержится единственный атом, C = π n k B.Θ5( )Длина свободного пробега фононов.
Рассеяние на примесях играницах образца.Чем определяется длина свободного пробега фонона? Для процесса фононнойтеплопроводности важны процессы рассеяния при которых фонон существенно отклоняетсяв сторону от своего первоначального направления.Во-первых, напомним, что в гармоническом приближении фононы оказываютсяневзаимодействующими частицами (гамильтониан с гармоническим потенциаломвзаимодействия атомов точно преобразуется в гамильтониан невзаимодействующих частиц,обладающих лишь кинетической энергией). Поэтому любые процессы взаимодействияфононов друг с другом связаны с негармоничностью межатомного потенциала.
Пока небудем рассматривать эти эффекты.Тогда остаётся два возможных ограничения для длины свободного пробега. Это рассеяниефононов на примесях или дефектах кристаллической решётки и рассеяние на границахобразца.Эти процессы оказываются обычно основными при низких температурах, когда «плотностьфононного газа» мала и возбуждены только низкоэнергетические фононы с энергиейстр. 5 из 34v.16.03.2018T≪ k Бр .
В этих предположениях дляℏsтрёхмерного кристалла C (V ) ∝ T 3 . Длина пробега при рассеянии на границе от температурыне зависит и равна характерному размеру. При рассеянии на точечном дефекте задача орассеянии фонона оказывается тождественна задаче о рэлеевском рассеянии света. Сечение11L∝∝ 4 , так кактакого рассеянияσ ∝ω 4 , соответственно длина пробегаnσ Tхарактерная частота низкоэнергетических фононов пропорциональна температуре [3].
Длярассеяния фонона на дислокации, являющейся протяжённым одномерным дефектом, задача орассеянии фонона оказывается аналогична дифракции на нити. Характерный угол1отклонения при дифракции ∝ ∝ω , так как процессы отклонения фонона и определяютλважные для определения теплопроводности эффекты, то и сечение рассеяния σ ∝ω .1Соответственно, длина пробега L ∝[3].Tk∼ℏ ω∼T ≪Θ и волновыми векторамиДля сложения вклада от разных процессов рассеяния заметим, что рассеяние являетсяпроцессом случайным.
Так как фононы движутся с одной скоростью удобно ввести частотуsрассеяния (вероятность рассеяния в единицу времени) ν=. Для независимых процессовL(и при малой вероятности рассеяния) частоты рассеяния складываются. Таким образом(L эфф=111++Lгр. L точ. Lдисл.)−1−1=( a+ bT 4 + cT ).Следовательно, при самых низких температурах вклад от рассеяния на границах всегда будетосновным и низкотемпературная асимптотика теплопроводности трёхмерного кристаллаимеет вид κ ∝T 3 . Рассеяние на дислокациях и точечных дефектах будет давать вклад всторону понижения теплопроводности при повышении температуры, уменьшая длинусвободного пробега.Отдельно можно отметить необычный вид нерегулярности решётки большинствакристаллов, связанный с присутствием нескольких изотопов элементов. Этот вид беспорядкаприсутствует в реальных кристаллах почти всегда.
Пример сравнения данных потеплопроводности в природном кремнии ( 28Si – 92.23%, 29Si – 4.67%, 30Si - 3.10%) и вобогащённом до 98.4% 28Si кристаллах представлен на рисунке 1 [4]. Рассеяние на дефектах,связанных с изменением массы изотопа ограничивает теплопроводность в пике в 6 раз. Приэтом низкотемпературное поведение коэффициента теплопроводности действительно схорошей точностью следует закону κ∝T 3 .стр. 6 из 34v.16.03.2018Рисунок 1: Теплопроводность природного (открытые символы и крестики) и обогащённогоизотопом кремний-28 (закрашенные символы) кристаллов кремния.
Пунктирные прямые3κ∝(1/T )показывают низкотемпературнуюи высокотемпературнуюκ∝ Tасимптотики. На основе рисунка из работы [4].Взаимодействие фононов.При повышении температуры растёт количество фононов и процессы взаимодействияфононов начинают проявляться. Отметим, что наличие таких процессов принципиальнонеобходимо для установления теплового равновесия (термализации фононов).
В ихотсутствие только упругие процессы рассеяния на дефектах не приведут к релаксациинеравновесного распределения (если мы, например, каким-то образом создали избытокфононов с некоторой энергией).Такие процессы взаимодействия связаны с негармоничностью потенциала межатомногоxвзаимодействияU (x )=ax 2+ bx3 + cx 4+ ... , где— расстояние между ионами,отсчитываемое от равновесного минимума потенциала (по физическому смыслу b< 0 , чтоописывает ослабление взаимодействия на больших расстояниях и усиление при сближении).Негармоничность потенциала взаимодействия также проявляется в таком свойствематериалов как тепловое расширение2.Связь ангармонизма взаимодействия ионов в решётке с взаимодействием квазичастиц2 Считая кубический член в разложении потенциала малым и пренебрегая членами более высоких порядковможно непосредственно вычислить среднее расстояние между парой атомов с таким потенциаломвзаимодействия.
Качественно ответ очевиден: задача (и квантовомеханическая и классическая) о двух атомахсводится к задаче о движении тела с приведённой массой во внешнем потенциале. Тогда в гармоническомприближении 〈 x 〉=0 для всех состояний, а кубический ангармонизм, «приподнимающий» один изкраёв потенциальной ямы, приведёт к смещению среднего положения тела от нулевого значения.
Мырассматриваем случай достаточно высоких температур, когда возбуждено много колебаний. Тогда можно длянахождения этого среднего воспользоваться классической, а не квантовой статистикой. Для среднего+∞смещения имеем [1]〈 x 〉=−U ( x)/ Txedx∫−∞∞∫ e−U (x)/T dx−∞значимой области значенийx имеем. Пользуясь малостью кубического члена в физическиe−U (x)/T =e −ax /T⋅e−bx /T =e−ax /T ( 1−bx 3 /T ) . Тогда с2стр. 7 из 3432v.16.03.2018формально проявляется при применении формализма вторичного квантования (см. раздел«Квантовое рассмотрение задачи о колебаниях» в заметках ко второй лекции). Напомним, чтов гармоническом приближении оказалось возможно преобразовать гамильтонианN1++1 2 CĤ =∑̂p j + ( x j + 1−x j )2 к виду Ĥ = ℏ ∑ ω k ( a k a k + a k a k ) , где оператор a k2 k2j =1 2Mсоответствует рождению квазичастицы (фонона) с импульсом k , а оператор a +k - еёуничтожению.Применим те же преобразования операторов, учитывая кубический член в потенциальнойэнергии b( x j+ 1−x j )3 .
При этом появится добавка к гамильтониану, записанному черезоператоры рождения и уничтожения частиц.xr =1√N∑ X k eikrkbV̂ =∑ b( x j+1− x j ) = 3/ 2 ∑ X k e i k j (e i ka −1) X k ' ei k ' j (e i k ' a−1) X k ' ' e i k ' ' j ( e i k ' ' a−1)=N j ,k , k ' , k ' 'jb= 3 /2 ∑ ∑ e i (k+ k ' + k ' ' ) j X k X k ' X k ' ' ( e i ka−1)(e i k ' a−1)(e i k ' ' a −1)N k , k ' ,k '' j3()суммирование по j даст дельта-функцию, что приводит к условию k + k ' + k ' ' =0 .
Насинтересуеттолькокачественныйвидответа,поэтомуможнозаписатьV̂ =∑ A( k , k ' ) X k X k ' X −(k+ k ' ) , где A( k , k ' ) — некоторая функция.k ,k 'Переходк операторам рождения-уничтожения1a =( M ωk X −k −iP k )√ 2 ℏ M ωk,1ak=( M ω k X k + iP −k )√ 2 ℏ M ωkфононовдавалсяпреобразованием+kоткуда( a k + a−k+ )=√2 M ωkXk иℏ+V̂ =∑ B(k , k ' ) ( a k + a−k)( a k ' + a+−k ' ) ( a−(k + k ' )+ a +k+ k ' ) , гдеk ,k '+∞линейной поbточностью〈 x 〉=−bT∫x e−∞+∞4 −ax 2/ Tdx∫ e −ax / T dx2−∞B( k , k ' ) — некоторая функция.+∞=−bT2a∫ y 4 e−y dy−∞+∞2∫ e− y dy2=−3 bT. Таким24a−∞образом, среднее расстояние между атомами растёт ( b< 0 ) линейно с температурой. Подчеркнём, чтоэтот результат классический, он соответствует случаю больших температур.
При T → 0 коэффициенттеплового расширения обращается в ноль.стр. 8 из 34v.16.03.2018k1k3k2k1k3-Gk3k2GРисунок 2: Сверху: схематическое изображение процесса слияния двух фононов. Внизу: тотже процесс с волновыми векторами, отложенными из центра первой зоны Бриллюэна(схематически показана квадратом с красной заливкой). Волновой вектор результирующегофонона выходит из первой зоны Бриллюэна и после трансляции на вектор обратнойрешётки оказывается, что результирующий фонон движется в обратном направлении.Раскрытие скобок даст два слагаемых в виде произведения троек операторов рождения илиуничтожения и несколько слагаемых вида «два оператора рождения — один операторуничтожения» и «один оператор рождения — два оператора уничтожения».
Первые дваварианта нарушают закон сохранения энергии и при строгом суммировании ихкоэффициенты занулятся. А вот «смешанные» произведения операторов рождения иуничтожения соответствуют тому что либо одна частица распадается на две, либо двечастицы превращаются в одну (рисунок 2). При этом этот процесс превращения долженподчиняться закону сохранения квазиимпульса (полученному нами явно для такихпроцессов) и закону сохранения энергии. Сечение этого процесса, как видно из нашихвычислений, определяется некоторой функцией потенциала взаимодействия атомов и можетявляться анизотропной функцией.стр.
9 из 34v.16.03.2018T31/TT3Рисунок 3: Зависимость теплопроводности от температуры для некоторых веществ.Пунктиром показаны низкотемпературная и высокотемпературная асимптотики. Наоснове рисунка из [3].Преобразование частоты фононов (генерация фононов высокой частоты при слиянии двухнизкочастотных пучков) наблюдалось в частности в опытах по взаимодействиюультразвуковых волн, описанных в книге Киттеля [1].Отметим без подробного рассмотрения, что рассмотрение следующих ангармоническихслагаемых приведёт к возникновению поправок ко вторично квантованному гамильтониану,соответствующих взаимодействию и взаимопревращению большего количества квазичастиц.Вклад взаимодействия фононов в теплопроводность кристалла.Процессы переброса.Мы показали выше, что учёт ангармонизма взаимодействия атомов в кристалле приводит кпоявлению взаимодействия фононов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
