05_cynetics_2018_mar16 (1182294), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Таким образом, связанный с дефектамивклад в теплопроводность электронного газа будет линеен по температуре.Во многих задачах типичным дефектом является вакансия (отсутствие атома в одном изузлов решётки), либо замещение одного иона другим. Возникающее изменение потенциаларешётки можно представить как появление дополнительного кулоновского центра с зарядомпорядка e , взаимодействие электрона проводимости с этим потенциалом и приведёт крассеянию на дефекте. Кулоновский потенциал дальнодействующий.
Однако в металле естьочень большое количество электронов проводимости, которые легко экранируют этотпотенциал за счёт минимального перераспределения электронной плотности. Найдём какменяется с расстоянием потенциал поля точечного (для определённости — положительного)заряда, погруженного в вырожденный электронный ферми газ.Будем использовать приближение (приближение Томаса-Ферми), что энергия Фермиопределяется локальной плотностью электронов. Это, в частности, предполагает, чтохарактерный масштаб длины, на котором изменяется концентрация электронов, многобольше длины свободного пробега.
В среднем кристалл электронейтрален, поэтомуэлектростатический потенциал внутри кристалла описывается отклонением плотностизаряда от равновесной. Это приводит к уравнению Пуассона для потенциалаΔ φ=4 π e (n ( ⃗r )−n0 ) , где n 0 — равновесная плотность ферми-газа.Изменение электронной плотности (для определённости, притяжение электронов кположительно заряженному дефекту) приводит к изменению энергии Ферми в пространстве(т.
е., к её увеличению вблизи от дефекта с положительным зарядом). Рост энергии Ферми —это проигрыш в энергии электронов. Этот проигрыш должен компенсироваться выигрышем вэлектростатической энергии.Это условие соответствует известному из термодинамики требованию постоянстваэлектрохимическогопотенциалавравновесии:22/3ℏμ=εF −e φ(⃗r )≈(3 π 2 n(⃗r )) −e φ(⃗r )=const , знак минус здесь в явном виде выражает2mотрицательность заряда электрона.7 Важным исключением является рассеяние электронов на магнитных примесях (эффект Кондо), существенновозрастающее при низких температурах. Рассмотрение этого эффекта выходит за рамки курса.
Примерысвязанных с этим явлением экспериментов будут приведены далее при обсуждении электропроводности.стр. 13 из 34v.16.03.2018На большом удалении от дефекта заряд дефекта полностью экранирован, то есть ϕ (∞)=0 ,n (∞)=n0 . Тогда получаем уравнение, связывающее локальную плотность заряда ипотенциал:ℏ2 3 π 2 n( r ) 2/ 3−e φ( r )= ℏ2 3 π 2 n 2 /3,(⃗ )⃗(0)2m2mоткуда e φ(⃗r )=εF ( n(⃗r ))−ε F (n 0)≈d εFdn∣n=n0( n(⃗r )−n0 )Сводя все уравнения вместе, получаемудовлетворяет быстро затухающий потенциал, для ферми-газаd εFdn∣n=n0=2 εF.3 n026 π n0e2ε F ϕ=λ ϕ .
Этому уравнениюe −λ r, называемый экранированнымφ(⃗r )=qrДлинаэкранированияΔ φ=кулоновскимпотенциалом.2 1/ 3εF1(3 π )1 a0ℏa 0 — боровский радиус. Для типичного==≈21 /21/ 3 , гдеλ6 π n 0 e 2( 3π) e √ m n10 /3 2 n 0металла длина экранирования получается порядка атомного радиуса. 8 Таким образом,сечение рассеяния на дефекте оказывается порядка квадрата атомного размера.√√Рассеяние на колебаниях решётки.Следующим механизмом, наиболее важным при высоких температурах, является рассеяниеэлектронов на колебаниях решётки. Тепловые колебания также нарушают регулярностькристаллической решётки и приводят к рассеянию электронов.
Физическим механизмомвзаимодействия является электростатическое взаимодействие электрона с возникающей присмещении атомов от положения равновесия волной электрической поляризации. Этоэлектростатическое взаимодействие позволяет электрону забирать энергию от колебанийрешётки либо отдавать энергию колебаниям решётки.Самым простым из таких процессов взаимодействия является излучение k⃗e = k⃗ф+ k⃗e ' илипоглощение k⃗e + k⃗ф=k⃗e ' фонона. В таком процессе сохраняются энергия и квазиимпульс.Каждое такое столкновение оказывается эффективно в смысле ограничения электроннойтеплопроводности: при низких температурах характерная энергия фонона порядкатемпературы и электрон теряет или получает энергию порядка температуры в каждом актевзаимодействия, а при высоких температурах дебаевский импульс фонона оказываетсяпорядка фермиевского — и электрон сильно отклоняется от своей прежней траектории, чтотакже препятствует переносу тепла.8 Строго говоря, это нарушает сделанное нами приближение о локальности: если длина экранированияоказывается меньше длины пробега, то приближение Томаса-Ферми оказывается некорректным.
Болеестрогое рассмотрение приводит к возникновению фриделевских осцилляций электронной плотности вблизиот заряженного дефекта [5], спадающих степенным образомδn∝cos (2 k F r )r3. Однако, так как ипериод этих осцилляций порядка атомного размера, это не влияет на качественный вывод о том, что сечениерассеяния на экранированном заряде примеси порядка атомного.стр. 14 из 34v.16.03.2018Рисунок 4: Схематическое изображение процесса с поглощением электроном фонона.Круговая область — заполненные электронные состояния, размытие плотности состоянийвблизи поверхности Ферми не показано. Слева: случай высоких температур, когдабольшинство фононов имеют импульс k ф ∼k D∼k F .
Справа: случай низких температур,Tкогда импульс фононов k ф∼ ≪ k F .ℏsОтметим следующее качественное соображение: для взаимодействия электрона с решёткойнеобходимо, чтобы уже присутствовала деформация решётки, приводящая к возникновениюэлектрической поляризации. Это верно независимо от того отдаёт электрон энергиюколебаниям или получает её. То есть, имеет место не совсем интуитивная ситуация: для тогочтобы отдать энергию электрона фононам необходимо, чтобы фононы нужного типа ужебыли в решётке. Очевидно, что энергия взаимодействия электрона с вызванной деформациейполяризацией линейна по поляризации, то есть линейна по амплитуде деформации.Вероятность же перехода между разными состояниями, согласно золотому правилу Ферми,квадратична по вызывающему переход взаимодействию.
Следовательно, вероятность вединицу времени электрону претерпеть процесс рассеяния с поглощением или испусканиемфонона оказывается пропорциональна квадрату имеющейся деформации, то есть числуфононов.9При оценке температурной зависимости оказываются принципиально различными дваслучая: T ≫Θ и T ≪Θ . При высоких температурах основную роль играют фононы сдебаевской энергией Θ (в трёхмерном случае плотность фононных состояний растёт сростом энергии, поэтому для оценки важны только фононы с наибольшими возможнымиэнергиями). Их число линейно растёт с температурой, поэтому при T ≫Θ время пробега11τ∝(обратная к вероятности рассеяния величина)и длина пробега L ∝.TTРезультирующая теплопроводность в этом пределе не зависит от температуры.
При низкихтемпературах основную роль играют фононы с энергией порядка T . Их число ∝ T 3 ,1поэтому при T ≪Θ L ∝ 3 и вклад электрон-фононного механизма в теплопроводностьT1κ∝ 2 .TОтметим, что обратный механизм фонон-электронного рассеяния конечно же тоже имеетместо. Однако как правило электронная теплопроводность превышает фононную на порядок9 Тот факт, что только электроны вблизи от поверхности Ферми участвуют в тепловых процессах отражён втеплоёмкости электронного газа. Поэтому здесь мы не учитываем изменение числа электронов, способныхрассеиваться.стр.
15 из 34v.16.03.2018и более. Поэтому учёт фонон-электронного рассеяния при оценке фононного вклада втеплопроводность металла является превышением точности.Электрон-электронные столкновения.Электрон-электронные столкновения влияют на процесс теплопроводности за счёт процессовпереброса.Оценим насколько реальны такие процессы для простых металлов с почти сферическойферми-поверхностью.
В процессе электрон-электронного рассеяния с перебросом закон⃗ . Для того, чтобы такойсохранения квазиимпульса имеет вид10 k⃗1+ k⃗2=k⃗1 ' + k⃗2 '+ G4k F >Gпроцесс был геометрически возможен в принципе, необходимо чтобы(экстремальный случай, когда все вектора параллельны вектору обратной решётки, и послепереброса оба электрона движутся в обратном направлении). Для щелочного металла содним электроном проводимости на атом и, для простоты, простой кубической решёткой33.092 π 6.28k F =√ 3 π2 n≈, а минимальный вектор обратной решётки G= ≈.
Видно, чтоaaaнеобходимое условие выполняется с большим запасом. Если же поверхность Фермиподходит близко к границе зоны Бриллюэна, то возможности для процессов переброса толькорасширяются. Таким образом, при любых температурах такие процессы возможны.Оценка температурной зависимости электрон-электронного вклада оказывается сложной исущественно зависит от геометрии ферми-поверхности [2]. Отметим только, что этотмеханизм существенен только для очень чистых металлов. Такое рассеяние возможно толькодля электронов в размытом тепловым движением слое поверхности Ферми (иначе по законамсохранения окажутся заняты конечные состояния и процесс рассеяния окажется подавлензапретом Паули). Для сферической поверхности Ферми это даст для вероятности такого1T 2∝T 2 .процесса (обратного времени пробега) τ ∝TF( )10 Для фононов первым процессом взаимодействия был процесс слияния или распада частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
