04_zones_2018_feb23 (1182292), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Все отклики металлана слабое внешнее воздействие (например, на приложение электрического поля), либо наизменение температуры (теплоёмкость) будут определяться только плотностью состояний наповерхности Ферми (напомним полученный нами результат для теплоёмкости2C= π D(E F ) T ). Для «едва заполненных» и «почти заполненных» зон вычисление3плотности состояний может быть наглядно истолковано.Рассмотрим сначала случай «едва заполненной» зоны и ограничимся изотропным случаем.Число состояний в единице объёма k-пространства не зависит от деталей взаимодействия.Спектр вблизи дна зоны приближённо квадратичный. В представлении периодическойзонной схемы для этой зоны заполненные электронами области образуют сферические«капли» в k-пространстве.
Но всё это сразу означает, что вычисление плотности состояний наповерхности Ферми в этом случае формально эквивалентно вычислению плотностисостояний для идеального ферми-газа частиц с массой, равной эффективной массе и сэнергией Ферми отсчитываемой вверх от дна зоны.В случае «почти заполненной» зоны в представлении периодической зонной схемы мы18 При наличии взаимодействия между частицами, строго говоря, не все состояния оказываются заполненными,функция распределения оказывается немного размыта на глубине порядка энергии взаимодействия, но втрёхмерном случае имеет конечный скачок на энергии Ферми, и с энергиями выше энергии Ферми приT =0 все состояния свободны. Кроме этого, есть специальные исключения в низкоразмерных случаях.Здесь мы говорим о близком к идеальному трёхмерном металле.стр.
28 из 38v.23.02.2018получим сферические «полости» («пузырьки») в заполненном электронами k-пространстве.Вычисление плотности состояний на уровне Ферми на языке реальных электронов в этомслучае затруднено — формально нужно посчитать все электроны при меньших энергиях.Однако, особенности устройства плотности состояний в глубине зоны нас не интересуют —в силу запрета Паули эти электроны не участвуют ни в каких процессах взаимодействия.Тогда легко заметить, что можно мысленно «перевернуть спектр» и начать заполнятьсостояния до той же отметки аналогично предыдущему случаю.
Очевидно, что числосостояний на уровне этой отметки получится таким же. Таким образом, вместо анализасложной задачи для реальных электронов, мы можем рассмотреть задачу о нахожденииплотности состояний на уровне Ферми для некоторых вымышленных частиц, масса которыхравна эффективной массе вблизи потолка зоны, а энергия отсчитывается вниз от потолказоны. Эти вымышленные частицы — каждая из которых означает отсутствие электрона вэтой зоне называют «дырками» (англ. holes).Соответственно, ферми-поверхности первого типа («капли») называют электронными, аферми-поверхности второго типа («пузырьки») дырочными.Во избежание путаницы отметим, что эти дырки не есть дырки в полупроводниках.
Впроводнике рассмотренного типа дырки присутствуют при нулевой температуре иописывают основное состояние системы. В полупроводнике дырки возникают притермической активации, при переходе из изначально заполненной зоны в изначально совсемпустую зону проводимости.В более общем случае, когда энергия Ферми оказывается достаточно далека от квадратичногоэкстремума спектра, оказывается всё равно удобно ввести характеристику размерностимассы, также называемую эффективной массой (динамической эффективной массой), каккоэффициент пропорциональности между импульсом и групповой скоростью вблизи энергииm∗ ⃗v гр∣E =E =⃗p F .
Для удобства эффективную массу всегда считаютФерми19:положительной, но мы опустим здесь знак модуля, чтобы не загромождать формулы.FДля параболического спектра эффективная масса компактно выражается через производные1 ∂2 E1∂2 E==спектра:дляизотропногослучаяидля∗m∗ ∂ p2 E =Emαβ ∂ p α ∂ pβ E = Eанизотропного. В случае сложного спектра эффективная масса может меняться вдольповерхности Ферми и должна вычисляться в каждой точке по определению.||FFЭта эффективная масса, в частности, войдёт в выражение для плотности состояний наповерхности Ферми (вычисление для изотропного случая):dND( E F )=dEВ|E=EF[dN 1=dk dEdk][dN 1=d k ℏ v гр]E= EFdN=dk|E= E Fm∗ℏ pF .E =E Fизотропномтрёхмерномслучаесучётомспиновоговырождения22VV 4 π k F V pF∗dN=2= 2 2 и D( E F )= 2 3 m p F , что выглядит также (с точностью до3d k E =Eπ ℏ( 2 π)π ℏзамены массы на эффективную массу), как и плотность состояний для ферми-газа,вычисленная нами ранее.∣F19 В общем случае групповая скорость на поверхности Ферми и импульс Ферми в этой точке фермиповерхности не параллельны.
В этом случае возникнет тензор эффективной массы.стр. 29 из 38v.23.02.2018Примеры поверхностей Ферми в реальных металлах иметоды определения поверхности Ферми.Для того, чтобы «увидеть» поверхность Ферми металла нужно применять специальныеметоды. Некоторые особенности ферми-поверхности могут быть определены по наблюдениюразличных эффектов в магнитном поле. Получивший теперь развитие методфотоэмиссионной спектроскопии с угловым разрешением (ARPES), позволяющийвизуализовать ферми-поверхность, будет разобран вкратце в конце лекции.
Кроме того, сразвитием численных методов повышается надёжность и непосредственного расчёта фермиповерхностей в различных металлах.Ферми-поверхности простых металлов к настоящему моменту хорошо установлены разнымиметодами и доступны в литературе. В качестве общедоступного ресурса можно отметитьсайт [6], история первых опытов по определению поверхности Ферми кратко представлена насайте Кавендишской лаборатории [7].Примеры ферми-поверхностей.Рисунок 14: Ферми-поверхности лития (слева) и калия (справа).
Тонкими линиями показаныграницы первой зоны Бриллюэна. С сайта [6].Щелочные металлы имеют относительно малые ионные радиусы, поэтому расстояние междуионами в кристалле меньше, чем у других элементов, и следовательно период обратнойрешётки (и размер первой зоны Бриллюэна), наоборот, несколько больше. Каждый атомотдаёт единственный внешний электрон в зону проводимости, поэтому вычисленная вгазовом приближении ферми-сфера умещается в первую зону Бриллюэна и её границы (длявсех щелочных элементов, кроме цезия) оказываются достаточно далеко от границ первойзоны Бриллюэна.
В результате ферми-поверхность щелочных металлов очень простая ипредставляет собой поверхность сферы или слегка деформированной сферы (рисунок 14).стр. 30 из 38v.23.02.2018Рисунок 15: Слева: Модель ферми-поверхности меди из музея Кавендишской лаборатории.Стеклянный многогранник показывает границы первой зоны Бриллюэна. Справа: соединениеферми-поверхностей в периодической зонной схеме.
Модель из музея Кавендишскойлаборатории. С сайта [7].В меди (а также серебре и золоте) ферми-поверхность оказывается близка к границе зоныБриллюэна и из-за эффектов взаимодействия образуются «перетяжки» на границе зоны, хотяв целом ферми-поверхность остаётся близкой к сферической. Это объясняет, почему длямеди, серебра и золота многие результаты, полученные в модели ферми-газа достаточнохорошо описывают поведение этих металлов.Рисунок 16: Слева: расположение электронных (зелёные) и дырочных (красные) фрагментовферми-поверхности в висмуте.
Справа: вид электронных и дырочного "карманов" послетрансляции соответствующих частей на вектор обратной решётки. Из статьи [8].В качестве третьего примера рассмотрим полуметалл висмут. Висмут отдаёт два электрона напримитивную ячейку в зону проводимости, так что зона должна была бы быть заполненаполностью. Однако из-за перекрытия энергетических зон одна зона оказывается чутьнедозаполнена, а другая едва заполнена. В результате (см., например, [8]) на границе первойзоны Бриллюэна формируется три электронных «кармана» и один дырочный. ПоверхностиФерми имеют форму сильно вытянутых эллипсоидов, что говорит о сильной анизотропииэффективной массы электронов и дырок.стр.
31 из 38v.23.02.2018Фотоэффект и поверхность Ферми.EметаллвакуумуровеньE=0 длясвободногоэлектронапотолокзоныAвыхпотенциал"зарядаотражения"уровеньФермиEFдно зоныплотностьсостоянийD(E)Рисунок 17: Схематическое изображение энергетических состояний в металле и в вакууме.Рассмотрим простейшую модель щелочного металла, хорошо описываемого моделью фермигаза и обсудим, как происходит фотоэмиссия в этой системе.Схема энергетических состояний представлена на рисунке 17. За ноль отсчёта примем нольэнергии электрона в вакууме (чтобы кинетическая энергия фотоэлектрона имела привычнуюформу).
Тогда, отражая тот факт, что электроны не выходят из металла произвольно,электронные состояния в металле должны иметь отрицательную энергию. Другими словами,объём металла является потенциальной ямой для электронов. Строго говоря, граница этойямы оказывается не вертикальной, а плавной за счёт действия потенциала «зарядаотражения» при удалении электрона от металла, но для полукачественного рассмотренияздесь это не важно.Считаем для простоты, что мы имеем дело с единственной частично заполненнойэнергетической зоной. Тогда, просто по определению, работа выхода электрона из металлаесть ни что иное, как расстояние от уровня E=0 до уровня Ферми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
