04_zones_2018_feb23 (1182292), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Справа: оттранслированный впервую зону Бриллюэна спектр вычисленный в приближении слабой связи (схема) и ветвиневозмущённого спектра (пунктир).стр. 12 из 38v.23.02.2018Таким образом, в отличие от свободных частиц, для электрона в периодическом потенциалевозникают запрещённые зоны: интервалы энергии, которым не соответствуют никакиесостояния типа распространяющихся волн. Электроны с такими энергиями не могутраспространяться в кристалле.Приближение сильной связи.Выше было рассмотрено влияние слабого периодического потенциала на электрон. Другимслучаем, допускающим простое решение является приближение сильной связи. В этомподходе электроны считаются в нулевом приближении локализованными на атомах в узлахкристаллической решётки.
Мы не учитываем взаимодействие электронов друг с другом,поэтому мы фактически рассматриваем кристалл как регулярное расположение пустыхпотенциальных ям, каждая из которых готова принять электрон. Для простоты мы будемрассматривать одномерную модельную задачу.Пусть N атомов расположены периодически вдоль прямой на расстоянии a друг отдруга. Пусть нам известна электронная структура этих атомов и известны волновые функцииψ(0) всех состояний для изолированного атома.
Пусть перекрытие волновых функцийэлектронов, находящихся на разных узлах, мало — то есть мала вероятность переходаэлектрона с одного атома на другой. Наша цель — проследить, как изменится спектрэлектронов в кристалле при учёте перекрытия волновых функций.Исходным (нулевым) приближением этой задачи являются изолированные атомы. В этомприближении каждый уровень оказывается дополнительно N-кратно вырожден — электронможет находиться на любом из N узлов. Для простоты рассмотрения мы не учитываемспиновое вырождение (учёт которого тривиален) и считаем, что вырождение одноатомныхволновых функций по проекции орбитального момента либо отсутствует изначально (sсостояние), либо снято действием электрического поля кристаллического окружения.Таким образом, считая ожидаемый эффект от перекрытия волновых функций маленьким, мыможем рассматривать только N-кратно вырожденные уровни, составленные в нулевомприближении из волновых функций одного и того же состояния (например 2s) на каждомузле решётки. Пусть ψ j (x )=ψ(0) ( x−x j ) волновая функция для электрона, локализованногов нулевом приближении на j-ом атоме.Волновая функция электрона в цепочке может быть найдена формально в рамках теориивозмущений для вырожденного уровня, но мы можем угадать ответ пользуясь теоремойБлоха.
Наложим на нашу цепочку периодические граничные условия. Тогда из базиса изN функций ψ j можно построить базис из Nфункций, удовлетворяющих теореме1ik x2π 2π 2π2πe ψ j , где k =0,,2,3, ... ,(N −1)Блоха ψk (x )=. Действительно,∑Na Na NaNa√N j11 ik x1 ikxψk ( x)=e i k x ψ(0) ( x−x j )=e ∑ e i k (x − x) ψ(0 ) (x− x j )=e uk ( x ) ,∑√N j√N√Nju k ( x) при значениях волнового вектора, определяемыхпериодичность функциипериодическими граничными условиями, доказывается прямой подстановкой 7.jjjПроверим теперь, что выбранные функции диагонализуют гамильтониан в рамкахвырожденного уровня.
В гамильтониане будем учитывать взаимодействие электронов с7u k ( x+ a )=∑ eji k (x j − x−a)ψ ( x+ a− x j)=∑ e(0)=∑ ei k ((x j −a )− x)(0 )ψ ( x−( x j−a))=ji k (x j ' −x)ψ j ' =u k ( x)j'стр. 13 из 38v.23.02.2018ионным остовом кристалла, взаимодействием делокализованных электронов между собойпренебрегаем в силу специфики ферми-систем (предполагаем, что ферми-газ1 2̂p + U (x) , потенциалделокализованных электронов будет сильно вырожденным): Ĥ =2mU (x )=∑ U (x− x l ) периодический с периодомвзаимодействия с ионным остовомlцепочки:=1√N∑ ei k xjj[(1Ĥ ψ k =√N∑ e i k x Ĥ ψ(0) ( x−x j )=jj])2̂p+ U (x− x j) ψ(0) (x −x j )+ ∑ U (x− x l )ψ(0) ( x−x j ) =2ml≠ j1ikx(0 )= E 0 ψk +e U ( x−x l ) ψ (x− x j )∑√ N j , l≠ j,jгде E 0 - энергия выбранного уровня в нулевом (одноатомном) приближении. Второеслагаемое содержит тот же волновой вектор k , а значит не примешивает другие состояниявнутри нашего вырожденного уровня.8 Таким образом, угаданная волновая функциядействительно диагонализует полный гамильтониан внутри вырожденного уровня.
Тогда сточностью первого порядка теории возмущений, энергия этого состояния (см. также сноску−i k Δ a∑ ∫ ψ∗j + Δ U ( x−x l ) ψ j dx , где индекс Δ пробегаетниже) E k =〈 ψk ∣Ĥ ∣ψ k 〉= E 0+ ∑ eΔl≠ jвсех соседей, с которыми есть перекрытие волновых функций. В простейшем случае можноограничиться рассмотрением только ближайших соседей.Тогда, вводя обозначение−i k aE k =E 0+ A(e8 Для+eik aA=∑ ∫ ψ j + 1 U ( x− x l ) ψ j dx=∑ ∫ ψ j −1 U (x− x l )ψ j dx , получим:∗∗l≠ jl≠ j)=E 0+ 2A cos(ka) .формальногообоснования〈 ψk ' ∣Ĥ ∣ψk 〉= E 0 δ k ,k ' + N1 ∑ e i k x e−i k ' x (∑ ∫ ψ∗j ' U (x− xl ) ψ j dx )jj, j'j'l≠jзначение суммы интегралов в скобках зависит только от разностинайдёмВΔ = j '− jпериодическойи равнорешёткеAΔ .
Тогда всё1e−i k Δ a AΔ , то есть явно∑ e i (k−k ' )x e−i k ' Δ a AΔ =δ k , k ' ∑N j ,ΔΔсодержит символ Кронекера по индексу k , что и доказывает требуемое.второе слагаемое преобразуется вjстр. 14 из 38v.23.02.2018Рисунок 4: Слева: система исходных (одноатомных) уровней (схематически). Справа:размытие уровней в зоны, полученное в модели сильной связи (схематически)Таким образом, при учёте перекрытия волновых функций электроны становятсяделокализованными, а система дискретных уровней размывается в непрерывные зоны.minОтметим, что ширины зон ( E maxk −E k =4∣A∣ ), полученных из разных уровней, могут быть(и в подавляющем большинстве случаев будут) различными. Кроме того, нет никакихограничений на знак параметра A , так что в некоторых случаях k =0 соответствуетминимуму энергии, а в некоторых случаях — максимуму (рисунок 4).1ei k x ψ j ,∑√N jопределяет квазиимпульс ℏ k делокализованного электрона.
Он не является настоящимимпульсом — функция ψk не является собственной функцией оператора импульса.Однако, как уже было показано на предыдущей лекции, в правила отбора, возникающие привсевозможных взаимодействиях электрона с другими частицами или квазичастицами, входитименно квазиимпульс. Как и ранее, квазиимпульс определён с точностью до вектораобратной решётки, поэтому все физически различимые значения квазиимпульса могут бытьсобраны в первой зоне Бриллюэна. Отметим дополнительно, что на границе первой зоныπБриллюэна (при k =± a ) дисперсионное соотношение E (k ) имеет горизонтальнуюпроизводную — то есть групповая скорость равна нулю.
Как и при рассмотренииприближения слабой связи, это является принципиальным свойством для спектра частиц вкристалле: при попадании волнового вектора на границу зоны Бриллюэна дифракцияпрепятствует распространению волны и решения в форме бегущей волны существовать неможет.Волновой векторk , введённый нами при записи волновой функциистр. 15 из 38ψk =jv.23.02.2018Модель Кронига-Пени†.0-U00baРисунок 5: Периодический потенциал в модели Кронига-Пени.Решение задачи о спектре частицы в периодическом потенциале в общем (и трёхмерном)случае может быть затруднено, хотя и имеются развитые приближения и численные методыдля решения этой задачи. Обзор некоторых таких методов есть в пособии [5].
Здесь мырассмотрим упрощённую задачу, называемую моделью Кронига-Пени 9, в которойa ) представляет собойодномерный периодический потенциал (с периодом−U 0 ( U 0> 0 ) ипоследовательность прямоугольных потенциальных ям глубинышириной b< a . График этого потенциала показан на рисунке 5.Рассмотрим случай E> 0 (то есть, рассмотрим как изменится спектр свободной частицы,движущейся над периодическим потенциалом, для слабого потенциала эта задача попадает впредел задачи о слабой связи). Пользуясь теоремой Блоха ищем решение в видеψ( x)=e i k x ϕ( x) , где ϕ ( x ) - периодическая с периодом a функция. Подстановкой в22ℏ d ψ+(U ( x)−E) ψ=0 получаем уравнение на функциюуравнение Шредингера −2 m d ψ2ϕ(x) :ϕ ' ' +2i k ϕ '−k 2 ϕ+2m( E −U )ϕ =0 .ℏ29 Один из случаев этой модели: цепочка узких ям (описываемых дельта-функцией) изучается в курсетеоретической физики.
Здесь мы приводим решения для сведения и обсуждаем некоторые результаты этойточно решаемой модели.стр. 16 из 38v.23.02.2018Ищем решение ϕ =ei ξ x , получаем уравнение на ξ (для U (x )=const ):−ξ2−2 k ξ−k 2 +2m( E−U )=0ℏ22m( E −U )>0ℏ22mξ=−k±( E−U )ℏ2(ξ+ k )2 =.√Для нашего потенциала в области 0< x< b решениями для показателя экспоненты будутα 1,2=−k ±√2m( E+ U 0 ) (знак «+» считаем относящимся к первому корню),ℏ2а для функции ϕ :ϕ= A1 ei α1 x+ A2 ei α2x.В области b< x< a решениями будутβ1,2=−k ±√2mE и ϕ=B 1 e i β x + B2 e i β x .ℏ212Как обычно необходимо сшить эти решения гладко на границе:A1 e i α b+ A2 ei α b=B 1 e i β b+ B 2 ei β b,α1 A1 e i α b+ α 2 A2 e i α b=β1 B 1 e i β b+ β2 B2 e iβ b12112212а кроме этого для периодичности и гладкости нужно потребовать, чтобыϕ ' (+ 0)=ϕ ' (a−0) :ϕ (+ 0)=ϕ (a−0) иA1+ A2=B 1 e i β a + B2 e i β a.α1 A1+ α2 A2=β1 B 1 e i β a + β2 B 2 e i β a1212Получена линейная система, для существования нетривиальных решений необходимообращение в ноль детерминанта матрицы M этой системы, это уравнение задаст закондисперсии E (k ) .(i α1 bi α2bi β1 bi β2 bee−e−eiα biα biβ bα eα2 e−β1 e−β2 e iβ bM= 111−e iβ a−e i β aα1α2−β1 e i β a −β2 e iβ a12112212).Матрицу можно упростить комбинируя строки(0(α 1−α 2) e i α b( α2−α1 )e i α b00α1−α2α 2−α 1021(β1−α 1)e i β b(β1−α 2)e i β b(β1−α 1)e iβ a(β1−α 2)e i β a1111(β2−α 1)e i β b(β2−α 2)e i β b(β2−α 2)e i β a(β2−α 2)e i β aоткудастр.
17 из 382222),v.23.02.2018(̃M=0(β1−α1 ) ( ei β b−e i(β a+ α b ) ) (β2−α1 ) ( e i β b−ei (β a+ α01100(β1−α 2) ( e −e0α1 −α2(β1−α 1)e i β aα 2−α 10(β1−α 2)e i β aiβ 1b2i(β1 a+ α 1 b)112)22b)(β2−α2 ) ( e −e(β2−α 2) e i β a(β2−α 2) e i β ai β2 bi(β2 a + α 1 b)22))).̃ =0 и послеОтсюда уже достаточно легко записать условие вырожденности 10 det Mαβ1,2 получаемупрощений с использованием определения для параметров1,2 иокончательное уравнение:cos(ka)=cos[√] [√]2m2m(E +U 0 ) b cosE (a−b) −2ℏℏ22 E +U 02m−sin(E +U 0) b sin2 √ E (E+ U 0)ℏ2[√] [√2mE (a−b)ℏ2].Для E< 0 (это соответствует рассмотрению размытия в зоны уровней энергии в цепочкесвязанных ям, для глубоких уровней эта задача попадает в предел задачи о сильной связи)решение для спектра может быть получено из уже выписанного, пользуясь свойствамикомплексных экспонент: cos (i x)=ch x , sin(i x )=i sh x :cos ( ka)=cos[√] [√]2m2 m∣ ∣( E+ U 0) b chE (a−b) −2ℏℏ22 E+ U 02m−sin( E+ U 0) b sh2 √∣E∣(E+ U 0 )ℏ2[√] [√2m∣E∣ (a−b)ℏ2].E< −U 0 решений быть не может вДля завершённости анализа отметим, что припринципе, так как при этом во всём пространстве частица находится ниже «дна» потенциала.Эти уравнения задают спектр E (k ) , они не решается аналитически (что лишний разподчёркивает сложность точного решения задачи о спектре электрона в кристалле), но могутбыть решены численно для произвольных параметров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
