04_zones_2018_feb23 (1182292), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Примеры решения для спектрапредставлены на рисунке 6.10 В силу линейности уравнения Шредингера все коэффициенты волновой функции могут быть одновременноизменены в одинаковое число раз. То есть, система линейных уравнений на эти коэффициенты должна бытьлинейно зависима, её матрица вырождена.стр. 18 из 38v.23.02.2018Рисунок 6: Спектр электронов в модели Кронига-Пени для различных значений параметров.Результаты численного решения уравнения для спектра E (k ) , параметры задачи в2m=1 , a=3 , b=1 .
Слева: спектры для свободнойобезразмеренных единицах2ℏчастицы и для произвольного значения глубины ямы, для наглядности зависимость E (k )для нижнего уровня растянута по оси энергий в 100 раз (пунктирная кривая). Справа:спектры при специальных значениях глубины ямы, при которых зануляется ширина одной иззапрещённых зон. На вставках: зависимости энергии от глубины ямы в центре зоныБриллюэна и на границе зоны Бриллюэна, показывающие совпадение энергий двух состояний(то есть, исчезновение запрещённой зоны) при некотором значении параметров задачи.√Для произвольных значений параметров, аналогично рассмотренным пределам сильной ислабой связи, в спектре открываются щели на границе зоны Бриллюэна. Однако, принекоторых специальных значениях параметров задачи некоторые запрещённые зоныисчезают11 — это указывает на возможность нетривиальных зонных структур в реальныхсистемах, где вид потенциала ещё сложнее.11 Зануление ширины некоторых запрещённых зон происходит при одновременном выполнении условий√ 2 m E (a−b)=n πℏи√ 2 m( E+ U 0 ) b=n ' πнад барьером набег фазы кратенℏ, гдеn иn ' - целые (то есть и над ямой , иπ .стр.
19 из 38v.23.02.2018Качественные соображения о возникновении запрещённойзоны.Как мы видели в нескольких моделях, на границе зоны Бриллюэна при учёте взаимодействияэлектронов с периодическим потенциалом возникают (за редкими специальнымиисключениями при каких-то значениях параметров потенциала) запрещённые зоны:диапазоны значений энергии, для которых невозможно распространение электронов вкристалле.Существование таких зон имеет простую качественную трактовку, показывающую, что ихсуществование должно быть правилом, а не исключением.
Из-за брэгговской дифракцииневозможно существование бегущих волн с волновым вектором на границе зоны Бриллюэна.Таким образом, решение волнового уравнения может иметь только вид стоячей волны.Рассмотрим простую одномерную модель, в которой ионы занимают положения x n =a n ,n=−∞ , ... , ∞ . Решётка таких ионов показана на рисунке 7. Так как потенциалвзаимодействия электрона с такой цепочкой ионов симметричен относительно нуля, то ираспределение вероятности обнаружить частицу в каком-то месте должно быть симметричноотносительно нуля, и, следовательно, решения в виде стоячей волны с бриллюэновскимψ∝cos π x , либо нечётнымиволновым вектором могут быль либо чётнымиaπψ∝sinx .
В одном случае (для решения в виде косинуса) плотность вероятностиa2имеет максимум на ионах, в другом, наоборот, имеет в местах расположения ионов∣ψ∣минимум. Очевидно, энергии этих состояний окажутся разными. Для свободной частицы этисостояния имели бы одну энергию.( )( )22|y| µsin (px/a)yµsin (px/a)22|y| µcos (px/a)yµcos (px/a)0-3-2-10123x/aРисунок 7: К образованию запрещённой зоны на границе зоны Бриллюэна. Кружкиобозначают схематически положения атомов в одномерной решётке, сплошная синяя линия- потенциал взаимодействия с атомами.
Пунктирные линии показывают чётное (красная) инечётное (чёрная) решения для стоячей волны, а соответствующие сплошные линии плотность вероятности для этих решений на волновую функцию.стр. 20 из 38v.23.02.2018Схемы зонной структуры.Квазиимпульс электрона в периодическом потенциале определён с точностью до вектораобратной решётки. Поэтому существует несколько способов представления зависимостиE ( k ) , каждый из которых удобен для своих задач (рисунок 8).Рисунок 8: Три схемы представления зонной структуры.
Из книги Киттеля [1].В расширенной зонной схеме каждая из разрешённых энергетических зон располагается всвоей зоне Бриллюэна. При выключении потенциала взаимодействия такое представлениеспектра превращается в параболический спектр свободной частицы.В схеме приведённых зон все разрешённые зоны оттранслированы в первую зону Бриллюэна.Это наиболее компактный способ изображения зонной структуры, содержащий при этом всюполноту информации.В периодической зонной схеме схема приведённых зон периодически распространяется по kпространству.
Это представление может быть удобно при рассмотрении свойств электроноввблизи границы зоны Бриллюэна.стр. 21 из 38v.23.02.2018Особенности зонной структуры в случае двух и трёхизмерений.Мы рассматривали пока простые одномерные модельные задачи. В них получался результат,что для электрона в периодическом потенциале спектр перестаёт быть непрерывным, аразбивается на чередующиеся разрешённые и запрещённые зоны.В принципе, аналогичными свойствами должен обладать и спектр электронов в двух- итрёхмерном случае: аргумент о невозможности распространения бегущей волны с волновымвектором на границе зоны Бриллюэна остаётся в силе, он никак не связан с одномерностьюрассмотренных моделей.Однако, возможная анизотропия характеристик кристалла приводит к важной для некоторыхкристаллов возможности: хотя вдоль каждого направления в k-пространстве спектр будетвыглядеть похоже на рассмотренные одномерные модели и состоять из чередующихсяразрешённых и запрещённых зон, ширины этих зон зависят от выбранного направления, чтоможет приводить к перекрытию разрешённых зон.12Отметим здесь также в качестве примера форму спектра электронов в трёхмерном кристаллес ОЦК решёткой, вычисляемую в приближении сильной связи [2]:E= A+ B cos( ) ( ) ( )kx ak ak acos y cos z222Заполнение разрешённых зон и связь заполнения зон спроводимостью кристалла.При рассмотрении ферми-газа нами было получено, что на одно электронное состояние в k(2 π)3пространстве приходится объём.
Использованные при этом аргументы связаныVтолько с периодическими граничными условиями и, таким образом, остаются верны и дляэлектронов в кристалле.Наличие положительно заряженного электронного остова экранирует кулоновскоевзаимодействие электронов. Кроме того, при росте концентрации электронов эффект ихвзаимодействия ослабляется из-за специфики ферми-систем (см. критерий идеальностиферми-газа в предыдущей лекции). Это позволяет в качестве разумного приближения считатьэлектроны невзаимодействующими фермионами, движущимися в некотором эффективномпотенциале.Какие электронные состояния окажутся заполнены при T =0 ? Это заполнение можнопроводить также, как мы это делали для ферми-газа: размещать электроны в свободныесостояния с минимально возможной энергией.
При этом оказывается удобно рассуждать наязыке приведённой зонной схемы, в которой все волновые вектора электронных состоянийлежатвпервойзонеБриллюэна.ОбъёмпервойзоныБриллюэна33(2π)(2π)V ⃗r – объём примитивной элементарнойV ⃗k =( ⃗a∗⋅[ ⃗b∗×⃗c ∗ ])==, гдеV ⃗r(⃗a⋅[ ⃗b×⃗c ])ячейки.12 Автору не известно строгое обоснование невозможности перекрытия зон в одномерном случае, возможнопри некотором виде периодического потенциала такое может иметь место. Однако, в любом случае, для двухи трёх измерений получить перекрывающиеся зоны гораздо проще.стр. 22 из 38v.23.02.2018Рисунок 9: Варианты заполнения электронных состояний (схематически).
Занятыесостояния показаны штриховкой. (а) Случай полностью заполненной зоны, диэлектрик. (б)Случай перекрывающихся зон, металл или полуметалл. (в) Случай частичного заполненияпоследней зоны, металл. Из книги Киттеля [1].Если каждая элементарная ячейка отдаёт n e электронов в «общий резервуар», и N полное число элементарных ячеек, то занимаемый этими электронами объём в kN ne ( 2 π)3 ne1= V ⃗ .
Множительпространстве равенсвязан со спиновым22 N V ⃗r 2 kвырождением и возможностью поместить два электрона в одно состояние в k-пространстве.Проследим как происходит заполнение энергетических зон плавно увеличивая n e от нуля.Пусть энергетический спектр не имеет перекрывающихся зон. При n e < 2 занимаемыйобъём меньше первой зоны Бриллюэна и мы размещаем электроны в различных состоянияхнижайшей разрешённой энергетической зоны в порядке возрастания их энергии.
Приn e =2 (два электрона на элементарную ячейку) первая энергетическая зона оказываетсяполностью заполнена и при 2< n e≤4 электроны можно будет размещать во второйразрешённой энергетической зоне, которая окажется заполнена при n e =4 , и так далее.Последовательность заполнения разрешённых зон может оказаться нарушена, если имеетсяперекрытие зон.13 Тогда некоторые состояния (те, энергия которых ниже энергии некоторыхсостояний предыдущей зоны) следующей разрешённой зоны будут заполняться до полногозаполнения предыдущей зоны.При конечной (но достаточно низкой) температуре или при слабом внешнем воздействии(например, приложении электрического поля) отклик системы на внешние воздействиясильно зависит от степени заполнения разрешённых зон.
Во-первых, очевидно, что важнытолько последние заполняемые зоны: все полностью заполненные зоны с низкими энергиямиполностью «выключаются из игры» запретом Паули, их состояние изменить невозможно. Вовторых, принципиально различаются свойства систем у которых последняя зона заполненаполностью или частично.При частичном заполнении слабое внешнее воздействие может перераспределить электроныпо состояниям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
