04_zones_2018_feb23 (1182292), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Действительно, частица, лежащая в глубине ферми-сферы (всостоянии с энергией E 0 ) не может поглотить или отдать энергию U вз , так как при этомеё энергия должна стать равной E 0±U вз , а такие состояния уже заняты (числа заполненияn=1 ). Таким образом, при учёте слабого взаимодействия между частицами произойдутнебольшие изменения в окрестности энергии Ферми, но качественных изменений функциираспределения не произойдёт: в трёхмерной системе взаимодействующих фермионовфункция распределения по энергии сохраняет при T =0 скачок при некотором значенииэнергии (по определению являющимся энергией Ферми для системы с взаимодействием), нов области шириной порядка U вз ниже уровня Ферми даже при T =0 числа заполненияоказываются меньше 1.k1k'1k2k'2Рисунок 2: Схема рассеяния двух частиц в результате взаимодействия между ними.Другим следствием этих рассуждений является то, что длины свободного пробега частиц вплотной системе фермионов оказываются большими.
Для случая слабого взаимодействиямежду частицами вырожденного ферми-газа это легко показать. Если σ0 - сечениерассеяния частиц друг на друге и n - их концентрация, то для классического газа длина1пробега будет определяться известным соотношением l≃. Это предсказание было бы,n σ0однако, катастрофичным для металлов: при сечении взаимодействия порядка атомного12σ0 ∼a и концентрации в один электрон на элементарную ячейку n∼ 3 длина пробегаaоказалась бы порядка межатомного расстояния a .стр. 6 из 38v.23.02.2018Однако в вырожденном почти идеальном ферми-газе из-за действия запрета Паули рассеяние⃗k 1+ ⃗k 2=⃗k ' 1+ ⃗k ' 2 (рисунок 2) возможно только если конечные состояния не заняты. Изэтого в силу законов сохранения энергии и импульса следует, что запрет Паули препятствуетрассеянию при взаимодействии с частицами, лежащими в глубине сферы Ферми (так как приэтом неизбежно после рассеяния хотя бы одна из частиц должна остаться в глубине фермисферы), и реально могут участвовать в процессах рассеяния только частицы, которые вимпульсном пространстве находятся в размытом тепловыми процессами слое вблизиk1 и ⃗k 2 должныповерхности Ферми.
То есть обе частицы с волновыми векторами ⃗2Tлежать в этом слое, следовательно вероятность рассеяния уменьшается 1 враз.TF( )( )21 TFи при низких температурах даже приn σ0 Tналичии взаимодействия длина пробега окажется большой.Откуда для длины пробега получаемl∼Более строго эффекты взаимодействия фермионов описываются теорией ферми-жидкости(см. [2], [3]), предложенной Ландау из феноменологических соображений и обоснованнойвпоследствии строго.
Принципиальной оказывается возможность рассматриватьэлементарные возбуждения в ферми-жидкости (системе с взаимодействием) какдолгоживущие квазичастицы типа частиц или античастиц, аналогично тому как мы этосделали выше для ферми-газа. На качественном уровне эти квазичастицы можновоспринимать как возбуждения электронного или дырочного типа в ферми-газе, однако из-заэффекта взаимодействий эффективные массы этих квазичастиц могут отличаться (и обычноотличаются) от массы исходных частиц. В частности, из возможности построениядолгоживущих квазичастичных возбуждений сразу следует, что и для системы2взаимодействующих ферми-частиц теплоёмкость C= π D(E F )T .3Критерий идеальности ферми-газа.Условие идеальности газа заключается в малости энергии взаимодействия по сравнению скинетической энергией частиц — то есть с энергией Ферми.В частности для кулоновского взаимодействия эта оценка даётe 2 2 1/ 3ℏ2∼e n ≪ E F ∼ n 2/ 3am3,2e m243n≫∼10 1 /смℏ2( )где численная оценка сделана для массы электрона.
В принципе, в системе с зарядами разныхзнаков (то есть в металле с положительно заряженным остовом) необходимо учитыватьэкранирование, но как мы увидим при более подробном рассмотрении металлов в металлерадиус экранирования порядка межатомного, поэтому наша оценка оказывается верной.Качественно важным (и несколько контринтуитивным) следствием из этого результата1 Напомним, что ширина размытого слоя в k-пространствеdkотношение объёма размытого слоя к объёму ферми-сферы равностр. 7 из 38определяется условиемT ∼ℏ2kFdk иm4 π k 2F dk dk T∼ ∼4kF T F .3πkF3v.23.02.2018является то, что ферми-газ оказывается тем идеальнее, чем он плотнее.
Количественно,можно отметить что даже в хороших металлах концентрация электронов ∼10 23 1/см 3 ,таким образом даже в хороших металлах газ электронов заведомо не идеален.Электроны в кристалле.Качественные соображения.На предыдущей лекции мы рассматривали ферми-газ как свободные частицы, находящиеся внекотором ограниченном объёме. Эта простая модель уже «схватывает» некоторые свойствареальных систем, а некоторые системы (гелий-3) и в реальном мире соответствуют такоймодели ферми-жидкости, которой экспериментатор или природа заполняет отведённыйобъём.
Однако одним из важных примеров систем фермионов являются электроны вкристалле (в металле, например). Эти электроны сильно взаимодействуют друг с другом и сионным остовом (энергия взаимодействия электрона с ионом на расстоянии порядкамежатомного является величиной атомного порядка энергии — электронвольты, чтосравнимо с энергией Ферми.
Таким образом, газ электронов в металле заведомо сильнонеидеален.Однако, при учёте взаимодействия электрона с кристаллической решёткой болеепринципиальной оказывается периодичность решётки. Из-за этого потенциальная энергиявзаимодействия электрона с решёткой также оказывается периодической U ( ⃗r )=U ( ⃗r + T⃗ ) ,где T⃗ - произвольный вектор трансляции.⃗В модели свободных частиц решения уравнения Шредингера имели вид плоских волн e i k ⃗r .При «включении» взаимодействия с кристаллом на пути этих волн возникнут рассеивающиецентры (узлы решётки). А тогда, как мы уже видели при рассмотрении дифракции накристалле, в некоторых специальных случаях рассеянные волны складываются в фазе ипроисходит эффективное рассеяние падающей волны — распространение плоской волныоказывается невозможным. Как мы уже получили в предыдущих лекциях для рентгеновскойдифракции (но математически это не важно — условие дифракции остаётся тем же, отприроды волн и взаимодействия их с решёткой зависит только интенсивность дифракции)дифракция возникает если конец волнового вектора, отложенного в k-пространстве из началакоординат, попадает на границу зоны Бриллюэна.Это сразу означает, что в отличие от модели свободных частиц при учёте взаимодействия срешёткой электрон с волновым вектором на границе первой зоны Бриллюэна не можетраспространяться по кристаллу — то есть групповая скорость такого электрона должнаобратиться в ноль.
Таким образом, из качественных соображений мы ожидаем, что вℏ2 k 2кристалле спектр электронов должен отличаться от спектра свободных частиц E=.2mПричём эти изменения в первую очередь должны возникать на границе зоны Бриллюэна2.Сразу оговоримся, что взаимодействием электронов друг с другом мы при этом пренебрегаемдля простоты. Мы считаем, что оно достаточно слабо чтобы не препятствовать образованиювырожденной ферми-системы и соответственно длины пробега электронов оказываютсябольшими.
Тогда в первом приближении электроны можно считать свободными частицами, ароль их взаимодействия друг с другом сведётся к некоторой перенормировке массы.2 Зануление групповой скорости на границе зоны Бриллюэна означает, чтоdE=0 , что не соответствуетd ⃗kнепрерывному квадратичному закону дисперсии.стр. 8 из 38v.23.02.2018Теорема Блоха и квазиимпульс электрона.Как изменятся волновые функции электрона в периодическом потенциале? Ответ на этотвопрос, конечно же, даёт точное решение уравнения Шредингера, однако общая форма ответаможет быть «угадана». Рассмотрим для простоты одномерный случай (эти рассуждения легкообобщаются на трёхмерный случай, поэтому про одномерные переменные мы будемговорить как про вектора). Наложим на наш кристалл периодическое граничное условие дляволновой функции.
В случае свободных частиц это условие приводит к ряду 3 возможных2π4π,±... . Всегозначений для волнового вектора плоской волны e i K x : K =0,±LLполучится N решений, образующих полный базис волновых функций. Для частиц вкристалле решение можно разложить по базису решенийдля свободных частицiKxψ=∑ C K e.KПериодический потенциал в свою очередь может быть разложен в ряд Фурье, при этом этоiG xразложение является разложением по векторам обратной решётки: U (x )=∑ U G e.GРассмотрим действие гамильтониана на предположенное нами общее решение) ((22p̂ℏ ∂2Ĥ ψ=+ U (x ) ψ= −+ ∑ U G e iGx22m2m ∂xG)∑ C K e iKx =∑ C KKK(2)ℏK 2+ ∑ U G e i G x e iKx2mGполучаем пространственные гармоники e iKx и e i (K + G ) x .
Для собственных волновыхiKx̂функций H ψ=E ψ=∑ C K e, то есть обе эти гармоники должны присутствовать вKисходном разложении волновой функции. А это означает, что в разложении волновойC K окажутся нулевыми. Точнее, в разложениифункции часть коэффициентовпроизвольной собственной волновой функциимогут присутствовать только наборыразрешённых граничными условиями векторов K , отличающихся на вектор обратнойрешётки. За исключением какого-то специально вырожденного случая такой набор будетединственным, в случае наличия вырождения будем считать волновые функции искусственноразбитыми на базисы из функций с единственным набором векторов K .Вынесем за знак суммы экспоненту с одним из разрешённых значений волнового вектораψ=e i K0x∑ C K e i (K −K ) x0K,K и K 0 отличаются на вектор обратной решётки, то сумма являетсятак какпериодической функцией координаты4. То есть (что и составляет содержание теоремы Блоха)в периодическом потенциале волновая функция частиц может быть представлена в видеu k (x )=u k ( x+ T ) являетсяблоховской волновой функцииψk =ei k x u k ( x) , гдепериодической на решётке функцией.В силу произвольности выбора выносимого за сумму вектора k , он определён с точностьюдо вектора обратной решётки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
