04_zones_2018_feb23 (1182292), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Обычно его выбирают в пределах первой зоны Бриллюэна.При этом вектора k и k + G оказываются (как и ранее волновые вектора фононов)физически неразличимы.3 Отметим, что этот набор волновых векторов не ограничен первой зоной Бриллюэна, так как речь идёт оволновом векторе частицы, а не о колебании решётки.4 Еслиx '=x+ na , где a – вектор трансляции, то по свойству вектора обратной решётки(K−K 0)na кратно 2 π , что доказывает требуемое утверждение.стр.

9 из 38v.23.02.2018Блоховская волновая функция похожа на плоскую волну, но эта волна теперь дополнительноk , который по прежнему задаёт направлениепромодулирована. Поэтому векторраспространения волны, уже не определяет настоящий импульс частицы: блоховскаяволновая функция не является собственной функцией оператора импульса. Величинуp=ℏ k называют квазиимпульсом электрона. При «выключении» периодическогопотенциала блоховская волновая функция превращается в волновую функцию свободнойчастицы ( u (x )=const ) и волновой вектор оказывается связан с настоящим импульсомчастицы соотношением p=ℏ k .При всех процессах взаимодействия в кристалле правила отбора, разрешающие такиепроцессы имеют форму закона сохранения квазиимпульса.

Например, вероятность процесса,в котором электрон с исходным состоянием∣⃗k 〉 провзаимодействовал5 с фононом⃗ и перешёл в состояние ∣⃗k ' 〉 , будет(модуляцией решётки) с волновым вектором Kописываться матричным элементом перехода типа∫ ψ∗⃗k ' e i K ⃗r ψ⃗k d 3 x =∫ u∗⃗k ' (⃗r )u ⃗k (⃗r )e i ( k+ K−k ' )⃗r d 3 x⃗⃗⃗⃗.При подстановке блоховских волновых функций заметим, что произведение функцийu∗⃗k ' u ⃗k есть периодическая функция координаты, следовательно её фурье-гармоники имеютволновые вектора равные вектору обратной решётки. Тогда ненулевой матричный элемент⃗⃗ , формально соответствующий⃗ =⃗перехода будет только при условииk+ Kk'+ Gпоглощению или излучению фонона и возможному процессу переброса.Модели описания спектра электронов в кристалле.В общем случае задача о нахождении спектра электронов в кристалле требует решенияуравнения Шредингера с учётом конкретного вида потенциала взаимодействия.

Эту задачурешают численными методами. Для формирования качественной картины мы рассмотримздесь два предельных случая, в которых можно решить задачу о спектре аналитически(модели сильной и слабой связи), а также точно разрешимую модель Кронига-Пени.В модели слабой связи электроны рассматриваются как почти свободные — слабоевзаимодействие с периодическим потенциалом кристалла слабо искажает их спектр. Вприближении сильной связи, наоборот, электроны считаются почти локализованными нанекоторых «атомах» — малая вероятность перехода электрона между «атомами» приводит квозникновению дисперсии спектра электронов. Точно решаемая модель Кронига-Пенипозволяет непрерывно перейти от одного предела к другому.Для простоты мы рассмотрим эти задачи в одномерном случае, однако качественнополученные нами результаты (формирование зонной структуры спектра электронов впериодическом потенциале) остаются верны и для трёхмерных кристаллов.Приближение слабой связи.В приближении слабой связи взаимодействие электронов с решёткой считается слабым, чтопозволяет в качестве нулевого приближения взять задачу о свободных частицах, спектрℏ2 2которой E=k , а волновые функции описываются экспонентами e i k x .

Мы для2mпростоты ограничимся одномерным случаем и кроме того предположим, что в разложении5 Естественно считать такую модуляцию решётки малой поправкой, поэтому в операторе взаимодействияэлектрона с этой модуляцией в первом порядке будет линейный по изменению плотности среды член,пропорциональный e i K x .стр. 10 из 38v.23.02.2018потенциала по фурье-гармоникам есть только одна гармоника:U ( x )=δ cos( 2aπ x) .Отбрасывание постоянной составляющей потенциала эквивалентно произволу в выбореначала отсчёта энергии, выбор чётной зависимости от координаты это вопрос выбора началаотсчёта координаты, более высокие гармоники будут возникать при увеличении силывзаимодействия, для слабосвязанных электронових эффект во многих случаяхдействительно быстро спадает.Первым следствием того, что мы рассматриваем задачу на периодической решётке, являетсяпоявление в блоховских волновых функциях вместо истинного импульса квазиимпульса,определённого с точностью до вектора обратной решётки.

И так как k и k + Gфизически неразличимы, то уже в рамках построения нулевого приближения мы, вместоℏ2 2E=k наодной параболы для свободных частиц, можем оттранслировать спектр2mвектора обратной решётки (рисунок 3). Обратите внимание, что при k a=π n (на границахзон Бриллюэна!) разные ветви спектра пересекаются — то есть в этих точках возникаетдополнительное вырождение нашей задачи, одно и то же значение энергии и волновоговектора описывает два разных возможных решения. Как мы увидим далее именно в этихточках будет наиболее сильное изменение спектра.Мы будем учитывать влияние взаимодействия электронов с решёткой по теории возмущений[4].6 Поправка первого порядка для электрона в состоянии с квазиимпульсом k :δ E ( k )=〈 k∣U (x )∣k 〉 ∝∫ e(1)−ikxikxU (x )e dx=0 .Для поправки второго порядка к энергии можно записать известное выражение [4]:δ E =∑(2 )kk '≠ k∣〈 k '∣U∣k 〉∣2E k ' −E k.Обратим внимание, что при E k =E k ' в знаменателе дроби окажется ноль, при этомчислитель может оказаться ненулевым.

Такая ситуация возникает при k =−k ' в силучётности спектра нулевого приближения. Однако, ненулевым матричный элемент2πk −k '=±〈 k ' ∣U ∣k 〉 ∝∫ e−i k ' x cos 2aπ x e i k x dxоказывается только для, т. е.a( )6 Формализм теории возмущений вводится строго в курсе теоретической физики. Поясним здесь кратко идею̂0вычисления поправок первого порядка. Пусть известны волновые функции задачи с гамильтонианом H{ψ(0)i }и эти функции невырождены.

Пусть к гамильтониану добавлена маленькая поправкаĤ = Ĥ 0+ V̂ , которая не сильно изменяет волновые функции. Тогда волновые функции новой задачи(0)(0)можно разложить по базису начального приближения ψi ≃ψi + ∑ a j ψ j , где коэффициенты a ĵ . Домножая уравнение Шредингералинейны по возмущению Vi≠ jĤ ∣ψi 〉 =E i∣ψi 〉 слева на〈 ψ(0)i ∣,сучётом ортогональности невырожденного базиса получим с линейной по возмущению точностью(1)̂̂ (0 ) ≃E i =E(0). Откуда поправка первого порядка к энергии невырожденногоψ(0)i H 0 + V ψii + Ei〈 ∣∣ 〉̂ (0)= 〈 ψ(0)i ∣V ∣ψi 〉(1)iуровня E. Для вырожденного уровня (если несколько волновых функций описываютсостояние с одинаковой энергией) всякая линейная комбинация волновых функций этого уровня описываетсостояние с той же энергией.

Поэтому действие возмущения приводит не только к подмешиванию волновыхфункций состояний с другими энергиями, но и к «повороту» базиса волновых функций внутривырожденного уровня. Этот «поворот» и даёт поправки первого порядка к энергии, их вычисление сводитсяк поиску (с линейной по возмущению точностью) собственных функций оператораĤ = Ĥ 0+ V̂ ,поправки первого порядка оказываются собственными значениями матрицыстр. 11 из 38V ij =〈 ψ(0i )∣V̂ ∣ψ(0)j 〉 .v.23.02.2018k =± π . При учёте следующих гармоник разложения в ряд Фурье потенциала U (x) ,ak =± π n , k =−k ' , то естьочевидно, аналогичным свойством будут обладать точкиaточки пересечения физически неразличимых ветвей спектра на рисунке 3.Формально эта проблема с делением на ноль связана с вырождением соответствующихсостояний по энергии, и для решения этой трудности необходимо специально к этим точкамприменять теорию возмущений для вырожденного уровня.

Проделаем это для точекпересечения с наименьшей энергией, например при k =π/ a . Необходимо (см.сноску настр. 11) записать матрицу возмущения по вырожденным уровням и найти её собственныеk =π/a изначения [4]. Вырожденные уровни описываются квантовыми числамиk =−π /a . Матрица оператора возмущения для этой пары уровней имеет вид()(〈 π ∣U (x)∣ π 〉〈 π ∣U ( x)∣− π 〉aaaa = 0 δ̃δ̃ ∗ 0〈− π ∣U ( x)∣ π 〉 〈− π ∣U (x )∣− π 〉aaaa),1i 2 π x /aU (x )dx = δ .где δ̃ = ∫ eL2δ E=±∣δ̃∣=± δ .

Аналогичное расщепление возникнет и в других2точках пересечения при учёте следующих гармоник потенциала взаимодействия. Вдали отточек пересечения спектр будет следовать невозмущённой зависимости. Схематическиперестройка спектра электронов показана на рисунке 3.Собственные значенияРисунок 3: К вычислению спектра электронов в приближении слабой связи. Слева:невозмущённая задача. Сплошной линией показан спектр свободной частицы, пунктиром он же оттранслированный на вектор обратной решётки.

Характеристики

Список файлов лекций