04_zones_2018_feb23 (1182292), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В частности, при приложении электрического поля возникнет дрейфовое13 Ситуация может стать ещё более сложной, если (рассуждая в рамках приближения сильной связи) зоннаяструктура формируется из вырожденных по проекции момента импульса одноэлектронных состояний(например из p-состояний). Это имеет место, например, в полупроводниковых кристаллах кремния,германия, GaAs. Примеры этих зонных структур мы увидим позже при изучении полупроводников.стр. 23 из 38v.23.02.2018движение электронов — электрический ток, а размытие чёткой границы междузаполненными и свободными состояниями из-за тепловых флуктуаций приведёт к появлениюлинейной по температуре теплоёмкости.
Другими словами, при частичном заполнениипоследней разрешённой зоны мы получим кристалл с металлическими свойствами (или, есличисло таких «податливых» электронных состояний невелико, полуметалл).При полном заполнении последней зоны для изменения распределения электронов посостояниям нужно совершить минимальную работу, равную ширине запрещённой зоны.
Этоозначает, что сколь угодно слабое электрическое поле не может вызвать возникновениеэлектрического тока, а электронный вклад в теплоёмкость будет иметь термоактивационныйхарактер ∝ e−Δ / T . Другими словами, мы получим диэлектрик (или, при относительнонебольшой ширине запрещённой зоны, полупроводник).Схематически эти варианты заполнения электронных состояний показаны на рисунке 9.Поверхность Ферми для электронов в кристалле металла.Модель свободных электронов.Рассмотрим простейшую модель электронов в двумерном кристалле 14 с простой квадратнойрешёткой. Обратная решётка также оказывается квадратной с периодом 2 π /a , построениенескольких зон Бриллюэна в этой решётке показано на рисунке 10. Минимальное расстояниеиз начала отсчёта до границы первой зоны Бриллюэна равно π /a .
Подчеркнём, что (как идолжно быть) суммарные площади всех зон Бриллюэна равны площади первой зоны и«ломанные» многоугольники второй и третьей зон при трансляции их в первую зону мостятеё без пробелов.3-я з.Б.2-я з.Б.1-я з.Б.Рисунок 10: Слева: обратная решётка для двумерной квадратной решётки и построениенескольких первых зон Бриллюэна. Справа: фрагмент обратной решётки и окружностирадиуса k F для случая одного, двух и четырёх электронов на элементарную ячейку.Если в каждой элементарной ячейкеN «обобществлённых» электронов, то в модели14 Построения для трёхмерного кристалла полностью аналогичны. Мы рассматриваем двумерный случай таккак он позволяет наглядно изобразить результаты, не требуя специальных усилий и развитогопространственного мышления.стр.
24 из 38v.23.02.2018свободных электронов фермиевский волновой вектор15равенk F =√ 2 π n=√ 2 π N , гдеaπn=N / a 2 — поверхностная концентрация электронов. При N =1 k F ≈0.80 a и всеπэлектронные состояния укладываются в первой зоне Бриллюэна, при N =2 k F ≈1.13 a инекоторые из состояний электронного газа выходят из первой зоны Бриллюэна, а приππN =4 k F ≈1.60 a > √ 2 a , вся первая зона оказывается заполнена полностью (см. рисунок10), а некоторые из заполненных состояний попадают даже в четвёртую зону Бриллюэна.Для электронного газа поверхностью Ферми была поверхность в k-пространстве,ограничивающая занятые состояния, в двумерном случае — окружность радиуса k F . Вкристалле часть этих состояний оказывается в разных зонах Бриллюэна и в схемеприведённой зоны мы должны их оттранслировать в первую зону (см.
рисунок 11).N=1N=2N=41-я з.Б.2-я з.Б.3-я з.Б.Рисунок 11: Поверхность Ферми для свободных электронов в схеме приведённых зон дляNдвумерной простой квадратной решётки для разного числаэлектронов наэлементарную ячейку. Заливкой показаны занятые состояния.Далее каждая из зон может быть размножена трансляциями в периодической зонной схеме15 Это двумерная задача, фермиевский волновой вектор ищется аналогично трёхмерному случаю из условия2⋅π k 2F2(2 π)=n=N2aстр. 25 из 38v.23.02.2018(рисунок 12). При этом, например для N =4 , мы получим в первой зоне Бриллюэнаполную занятость всех состояний, во второй зоне будут иметься незанятые области,ограниченные замкнутыми контурами, а в третьей — занятые области, ограниченныезамкнутыми контурами.16 Отметим, что при этом возникает одно геометрическое различиемежду ферми-поверхностями в различных зонах: направление роста энергии всегданаправлено из заполненной области, но для случая второй зоны в нашем примере этонаправление внутрь замкнутой поверхности Ферми, а в случае третьей зоны наружу отзамкнутой поверхности.2-я з.Б.3-я з.Б.Рисунок 12: Поверхность Ферми в модели свободных электронов в представлениипериодической зонной схемы для второй и третьей зон Бриллюэна в модели двумернойпростой квадратной решётки с четырьмя электронами на элементарную ячейку.
Стрелкипоказывают направление роста энергии. Заливкой показаны занятые состояния.16 В некоторых случаях могут получаться и незамкнутые (называемые также открытыми) поверхности Ферми,однако мы не будем рассматривать эти случаи.стр. 26 из 38v.23.02.2018Модель почти свободных электронов.При учёте взаимодействия электронов с кристаллическим полем произойдёт преобразованиеспектра, появятся запрещённые зоны.
Но для «почти» свободных электронов нашепостроение для свободных электронов оказывается близко к правильному ответу. Для учётакачественных особенностей необходимо учесть следующее:1. Объём, занимаемый электронами в k-пространстве не зависит от деталейвзаимодействия электронов между собой или с кристаллическим полем. Поэтомуполный объём под поверхностью Ферми не должен меняться при учётевзаимодействий, может лишь изменяться форма поверхности Ферми.1 ∂EV⃗ =, перпендикулярная границеℏ ∂⃗kзоны Бриллюэна, должна зануляться на границе (это следует из требования гладкостиспектра в представлении периодической зонной схемы), то в подавляющембольшинстве случаев поверхность Ферми должна подходить к границе зоныБриллюэна под прямым углом.172. Так как компонента групповой скорости3. В спектре на границе зоны в подавляющем большинстве случаев возникнет щель вспектре.4.
«Углы» и «изломы» поверхности Ферми, получающиеся в приближении свободныхэлектронов, будут сглаживаться при учёте взаимодействия.С учётом этих качественных правил поверхности Ферми во второй и третьей зонахБриллюэна в нашем примере примут вид, показанный на рисунке 13.2-я з.Б.3-я з.Б.Рисунок 13: Качественное построение поверхности Ферми для почти свободныхэлектронов.
Модель двумерной квадратной решётки, 4 электрона на элементарную ячейку.17 Исключением является специальный случай, когда групповая скорость полностью обращается в ноль награнице зоны.стр. 27 из 38v.23.02.2018Электронные и дырочные поверхности Ферми. Эффективнаямасса.Как мы видели на примере модельной двумерной решётки, поверхность Ферми может иметьвесьма сложный вид и различную топологию в разных зонах Бриллюэна: заполненныесостояния могут оказываться как внутри, так и вне поверхности Ферми.В трёхмерном случае картина может оказаться ещё сложнее, однако для проводникасохранится главное свойство: некоторые зоны окажутся частично заполнены. Удобно вкачестве первого шага рассмотреть случаи, когда имеются либо «чуть-чуть» заполненныезоны, либо «почти» заполненные зоны (причём оба варианта могут присутствоватьодновременно в разных областях k-пространства, см.
случай полуметалла на рисунке 9).В подавляющем большинстве случаев спектр ε( ⃗k ) вблизи минимума или максимумасоответствующей энергетической зоны может быть представлен в квадратичном разложении.ℏ2 2k (знаки соответствуют минимуму и максимуму), гдеВ изотропном случае ε( ⃗k )=ε0±2 m∗постоянная m∗ , имеющая размерность массы, называется эффективной массой, аволновой вектор отсчитывается от соответствующей точки экстремума. В принципе, этазависимость может быть анизотропной и тогда надо представлять её в виде положительноопределённойквадратичнойформы,всобственныхосяхкоторой2222kx k y k zε( ⃗k )=ε0± ℏ++.
Вспоминая результат приближения сильной связи или2 m∗x m ∗y m∗z()модели Кронига-Пени мы можем видеть, что в кристалле эффективная масса определяетсявзаимодействием электрона с периодическим потенциалом и может быть как больше, так именьше массы свободной частицы. Также очевидно, что если структура энергетических зонустроена так, что одновременно есть несколько неэквивалентных «едва заполненных» или«почти заполненных» зон, то эффективные массы для этих зон могут отличаться.При T =0 заполнены только состояния ниже уровня энергии Ферми 18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
