XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Теоретические и эмпирические модели потока, он равен приращению давления при полном торможении потока, или кинетической энергии единицы объема этого потока. Давление, как и механическое напряжение, измеряют в паскалях* (Па = Н/мз). Наряду с (2.5) существует установленная теоретическим путем известная формула Жуковского [Х] (2.6) Р= риГ, где à — циркуляция вектора скорости по контуру, охватывающему профиль крыла. Теоретическая ММ, содержащая (2.6), казалось бы, более совершенна, чем полуэмпирическая ММ, поскольку в отличие от (2.5) не содержит эмпирического коэффициента с„(а).
Однако найти значение Г теоретическим путем удается лишь в редких случаях, часто не представляющих практического интереса, а получить это значение при помощи экспериментальных измерений существенно сложнее, чем найти значение с„(а). Поэтому полуэмпирическая ММ в данном случае обладает определенным преимуществом перед теоретической ММ с точки зрения удовлетворения требованию продуктивности. Пример 2.3.
Пусть поток несжимаемой жидкости обтекает неподвижное твердое тело заданной формы, имеющее характерный размер 1 и постоянную температуру Тв (рис. 2.3). Скорость и и температура Т > Тв жидкости на большом (по сравнению с 1) расстоянии от тела сохраняют постоянные значения. Необходимо при некотором фиксированном положении тела относительно напраТе аления вектора и скорости найти количество теплоты Я, передаваемое Т в единицу времени от жидкости к телу и называемое тепловым потоноле. Рис. 2.3 ь Паскаль (1623-1662) — французский математик и физик.
52 2. МА ТЕМА ТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ Процесс передачи теплоты локализован у поверхности тела и зависит не только от перечисленных параметров, но и от объемной теплоемкости с и коэффициента теплопроводности Л жидкости, поскольку эти параметры характеризуют способность жидкости подводить тепловую энергию и передавать ее поверхности тела. Подвод тепловой энергии к телу также зависит от распределения скорости жидкости у его поверхности. В случае идеальной (невязкой) жидкости оно однозначно определено фиксированным положением тела относительно вектора и, а для вязкой жидкости зависит и от соотношения между силами вязкости и инерции, характеризуемого коэффициентом вязкости и, называемым есимелеатппиесми и и измеряемым в м2/с. При сравнительно близких значениях Т и То естественно предположить, что тепловой поток зависит не от каждой из этих температур, а от их разности д = Т вЂ” Те.
Тогда в случае идеальной жидкости имеем и = 6 размерных параметров, размерности которых можно выразить через й = 4 независимые стандартные единицы измерения: ]1] = м, [е] = м/с, (Л] = — = —,, где Дж (джоуль* ) и Вт (ватт'2) — единицы измерения энергии (работы) и мощности соответственно, а К (кельвин'з) — единица измерения температуры в абсолютной шкале. В силу П-теоремы из этих параметров можно составить лишь й = и — и = 2 независимые безразмерные комбинации, например Я/(1Лд) и и1с/Л.
В итоге приходим к функциональной зависимости (2.7) установленной в 1915 г. Дж.У. Стреттом'4. 'Дж.П. Джоуль (1818 — 1889) — английский физик. "~Дж. Уатт (1738-1819) — английский изобретатель. 'зЛорд Кельвин (У. Томсон) (1824-1907) — английский физик.
4Дж.У. Стретт (1842 — 1919) — английский физик, более известный после получения титула как лорд Ролей. 53 2.5. Теоретические и эмпирические модели Отношение д = Я/Я называют усредненной по площади Я поверхности тела плотностью тепловозо потока и изеряют в Вт/м2. Так как для геометрически подобных тел (2/О = С = сопа1, то (2.7) можно представить в виде К1 = — = С/(Ре), 9( Лд п(с Ре=— Л ' (2.8) Мп = — = С/(Ре), а( (2.9) где Хп — критерий (число) Нуссельта'з. Вид Функции / в (2.7) — (2.9) нельзя установить в рамках теории размерностей и его приходится определять путем обработки результатов экспериментов, хотя в некоторых простых случаях удается построить и теоретические ММ процесса теплообмена"4.
В случае вязкой жидкости имеем и = 7 размерных параметров, размерности которых по-прежнему можно выразить через Й = 4 независимые единицы измерения, т.е. число независмых безразмерных комбинаций равно й = и — и = 3. К Рассмотренным выше следует добавить любую безразмерную комбинацию, включающую новый параметр и. Эту комбинацию можно выбрать, например, в виде и(/и или ср/Л.
В первом случае ее называют критерием (числом) Рейнольдса*а и обозначают Не = и(/и, а во втором — критерием (числом) ° 1 М В. Кирпичев (1879 — 1955) — отечественный теплофизик и инженер. ° 2 Ж К. Пекле (1793 — 1857) — французский физик. ° з В. Нуссельт (1882 — 1957) — немецкий физик. Смс Теория тепломассообмена. * О Рейнольдс (1842 — 1912) — английский физик и инженер. „де К1 — тепловой критерий Кирпичева*1 и Ре — критерий Пекле*2.
Интенсивность теплообмена на поверхности тела обычно характеризуют усредненным коэЯЯи44иентом теплоотдаВт чи а = д/д, измеряемым в, . Тогда вместо (2.8) получим мз К 54 2. МА ТЕМА ТИ ЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ Прандтплл* и обозначают Рг = си/А. Критерий Прандтля характеризует только свойства жидкости, а критерий Рейнольдса — соотношение между инерционными силами и силами вязкого трения.
В итоге вместо (2.9) получим )Чи = у1(Ре, Ве) или Хп = ЯРе, Рг). (2.10) Так как Ре = НеРг, то в случае вязкой жидкости критерий Нуссельта может быть представлен функцией любых двух из трех аргументов Ре, Не, Рг. 41 Ясно, что при наличии трех и более безразмерных комбинаций параметров построение полуэмпнрической ММ существенно усложняется. В этом случае обычно выделяют так называемый определяемый критерий (в примере 2.3 это К1 или Хп), а остальные критерии относят к определяющим и проводят несколько серий экспериментальных измерений для установления функциональной зависимости определяемого критерия от двух или более определяющих, рассматриваемых в качестве аргументов искомой функции (в (2.10) это функции у1 или 1о). В каждой серии измерений размерные параметры изменяют таким образом, чтобы изменялось значение лишь одного из определяющих критериев.
Тогда обработка результатов такой серии измерений позволяет выявить функциональную зависимость определяемого критерия от одного из аргументов при фиксированных значениях остальных. В итоге в некоторой области изменения значений определяющих критериев удается с некоторой степенью приближения построить искомую функцию, т.е. решить задачу идентификации полуэмпирической ММ. Отметим, что применение П-теоремы к аналитической ММ, представленной в виде уравнений, позволяет привести их к безразмерной форме и сократить число параметров, характеризующих изучаемый ТО. Это упрощает качественный анализ 'Л. Прандтль (1875-1953) — немецкий ученый в области гидроааромеханики. 2.б. Особенности функциональных моделей 55 ММ и позволяет еще до проведения количественного анализа оценить влияние отдельных факторов (см.
Д.2.2). Кроме того, безразмерная форма ММ дает возможность представить в более компактном виде результаты ее количественного анализа. 2.6. Особенности функциональных моделей Одной из характерных особенностей функциональной математической модели (ММ) является наличие или отсутствие среди ее параметров случайных величин. При наличии таких величин ММ называют стохастической (от греческого слова бгоуасттьхо~ — умеющий угадывать), а при их отсутствии — детерминированной (от латинского слова де1егш1'- по — определяю).
Далеко не все параметры реальных технических объектов (ТО) можно характеризовать вполне определенными значениями. Поэтому ММ таких ТО, строго говоря, следует отнести к стохастическим. Например, если изучаемый ТО является изделием массового производства и его внутренние параметры могут принимать случайные значения в пределах допусков, установленных относительно номинальных значений, то и выходные параметры ТО будут случайными величинами. Случайными могут быть и значения внешних параметров при воздействии на ТО таких факторов, как порывы ветра, турбулентные пульсации, сигналы на фоне шума и т.п. Для анализа стохастических ММ необходимо использовать методы теории вероятностей, случайных процессов и математической статистики.
Однако основная трудность их применения обычно связана с тем, что вероятностные характеристики случайных величин (математические ожидания, дисперсии, ~аконы распределения) часто не известны или известны с невысокой точностью, т.е. ММ не удовлетворяет требованию "Родуктивности Мле. В таких случаях эффективнее использовать ММ, более грубую по сравнению со стохастической, но бб 2.
МА ТЕМА ТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ и более устойчивую по отношению к недостоверности исходных данных, т.е. в большей мере удовлетворяющую требованию ро- бастности. Пример 2.4. Пусть на поверхности Я тела с однородной по объему, но меняющейся во времени 1 температурой Т(1) происходит теплообмен с окружающей средой, имеющей постоянную температуру Т,.
В первом приближении предполагают, что плотность о тепловозо нотона, передаваемого от окружающей среды к телу, пропорциональна разности температур (см. пример 2.3), т.е. о = сл(Т, — Т), (2.11) Я = дЯ = а(Т вЂ” Т) Я. (2.12) Он вызывает изменение внутренней энергии тела, которое пропорционально скорости 6Т(1)(Ю изменения температуры, а коэффициентом пропорциональности служит полная тенлоенность С тела, равная количеству тепловой энергии, необходимой для повышения температуры тела на 1К, и измеряемая в Дж/К. Таким образом, из закона сохранения энергии (первого закона термодинамики) следует, что С йТМ Ж) й или, учитывая (2.12), получим, что ММ, описывающая изме- нение температуры Т(1) тела во времени 1, включает ОДУ первого порядка йТ С вЂ” = а(Те — Т)Я, ае (2.13) где а — ноэффиииент тенлоотдачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
