XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Такая форма модели микроуровня, называемая энстремальной вариационной, позволяет, сравнивая значения функционала на любых двух функциях из допустимого множества, оценивать в интегральном смысле близость этих функций к искомой. Это свойство экстремальной вариационной формы модели важно при качественном анализе ММ и при сравнении различных приближенных решений соответствующей краевой задачи*. При выполнении некоторых ограничений можно построить двойстпвенную вариационную форму модели микроуровня, включающую пару функционалов, достигающих в одной и той же стационарной точке равных между собой альтернативных экстремальных значений (минимума и максимума) [Х'ч'). Такая форма ММ дает возможность по разности значений этих Функционалов, вычисленных на некоторой функции из допустимого множества, количественно оценить погрешность, возникающую при выборе этой функции в качестве искомой.
Основной формой динамической (эволюционной) ММ ма"Роуровня являются ОДУ или их системы вместе с заданными "ачальными Условиями. Независимым переменным в таких ММ См: Зарубин В.С., Селиванов В.В. 64 3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ будет время, а искомыми — фазовые переменные, характеризующие состояние ТО (например, перемещения, скорости и ускорения элементов механических устройств, а также приложенные к этим элементам силы и моменты; давление и расход жидкости или газа в трубопроводе; напряжения и силы тока в электрических цепях и т.п.). В некоторых случаях ММ макро- уровня удается представить в интегральной форме, используя принцип Гамильтпона — Остроградского или экстремальный вариационный принцип Гамильтона.
Если эволюцию ТО определяет его состояние не только в текущий момент времени 1, но и в некоторый предшествующий момент $ — т, то ММ макроуровнл включает ОДУ вида и'(1) = у (1, и($), и(1 — т)) или и'(1) = ~(ь', и(1), и(ь' — т), и'(1 — т)) относительно искомой функции и(1). Такие ОДУ называют уравнениями запаздывающего и нейтрального типа соответственно и относят к дифференциально-функциональным уравнениям' (ДФУ) (или дифференциальным уравнениям с отклоняющимся аргументом). Наиболее широко ДФУ и их системы представлены в ММ систем автоматического управления и регулирования.
Кроме того, ДФУ находят применение в моделях биологических и экономических процессов. Запаздывающая реакция ТО на изменение своего состояния может определяться более чем одним интервалом времени т. Тогда ДФУ будет включать не одно, а несколько дискретных запаздываний.
В более общем случае запаздывание может быть непрерывным во времени, что приводит, например, для линейной математической модели к интаегро-дифференциаль- *Смг Мьнинис А.Д. о и Иерархия математических моделей и формы их предстаалеяия 65 ному уравнению (ИДУ) вида и'Я = К(~,т)и(т)йт+~(~), ~ ) ~о. Заданную функцию К(с,т) называют ядром этого ИДУ, а о рассматриваемом ТО говорят, что он обладает памятью, поскольку его эволюция зависит от всей предыстории изменения состояний ТО, В статическую математическую модель макроуровня не входит время. Поэтому она включает лишь конечное (в общем случае нелинейное) уравнение или систему таких уравнений (в частности, систему линейных алгебраических уравнений— СЛАУ).
Такой же вид имеют квазистпатическал, стаиионарнал и квазистаиионарная математические модели макроуровня. Если для рассматриваемого ТО удается выделить поддающееся количественной характеристике некоторое важное свойство или сочетание таких свойств (надежность, долговечность, массу, стоимость, какой-либо из определяющих качество ТО вььтоднььт параметров) и установить их связь с Фазовыми переменными при помощи действительной функции, то можно говорить об оптимизации ТО по критерию, выражаемому этой функцией.
Ее называют целевой функцией [Х1Ч), поскольку ее значения характеризуют меру (или степень) достижения определенной цели совершенствования ТО в соответствии с выбранным критерием. Вследствие ограниченности располагаемых ресурсов в реальной ситуации имеют смысл лишь те экстремальные значения целевой функции, которые достигаются в области возможного изменения фазовых переменных ТО, обычно ограниченной системой неравенств. Эти неравенства вместе с целевой Функцией и статической ММ ТО в виде конечного нелинейного уравнения или систем таких уравнений входят в математическую Формулировку задачи оптимизации ТО по выбранному З вЂ” 9!02 2.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ критерию, называемой (в общем случае) задачей нелинейного программирования [Х1Ч]. В частном случае линейной матенатической модели ТО в виде СЛАУ, линейных целевой функции и неравенств говорят о задаче линейного программирования. К таким задачам обычно приходят при рассмотрении проблем технико-экономического содержания. Задачу оптимизации ТО, описываемого динамической (эволюционной) ММ макроуровня, относят к классу задач оптимального управления [ХЧ]. Для ММ метауровня характерны те же типы уравнений, что и для ММ макроуровня, но эти уравнения включают фазовые переменные, описывающие состояние укрупненных элементов сложных ТО. Если определен закон непрерывного перехода ТО из одного состояния в другое, то для анализа ММ метауровня часто используют аппарат передаточных функций*, а при рассмотрении состояний ТО в дискретные моменты времени ОДУ и их системы переходят в разностные уравнения относительно значений фазовых переменных в эти моменты времени.
В случае дискретного множества состояний ТО применяют также аппарат математической логики и конечных автоматов. Иногда для сложных информационных систем удается перейти к дискретному представлению фазовых переменных. Тогда ММ метауровня становится системой логических соотношений (СЛС), описывающей процессы преобразования сигналов. Использование СЛС применительно к таким сложным ТО более экономично, чем описание изменения в электрических цепях информационной системы напряжений и токов как непрерывных функций времени при помощи ОДУ или их систем. К метауровню также относят имитационные ММ [ХХ] и ММ массового обслуживания [ХЧП1], описывающие функционирование сложных вычислительных и информационных систем, производственных участков, линий, цехов, предприятий и их объединений.
'Смн Норенков И.П. Д.2.1. Введение в теорию раэмерностей ММ метауровня применительно к эволюции биологической популяции (1] содержит последовательность (хп1, элементы „отарой характеризовали относительную численность этой популяции и удовлетворяли рекуррентному соотношению х„+1 = = Лх„(1 — х„), п Е И, где Л вЂ” коэффициент размножения. Это соотношение можно рассматривать как разностпное уравнение по отношению к ДФУ и'(1) = аи(1 — т) — 6и~(1 — т), где и(1) — численность попУлЯЦии в текУЩий момент вРемени 1, т — период биологического цикла размножения, а > 0 и 6 > > б — параметры, характеризующие скорости соответственно размножения и вымирания популяции при перенаселении.
Действительно, приближенно заменяя в ДФУ производную по вре- МЕНИ КОНЕЧНО-РаэиаетНЫМ СООТНОШЕНИЕМ и'(1) = (и„+1 — ив) (т И обозначая Л = 1 +ат и х„ = иа6т/Л, после преобразований получим записанное выше разностное уравнение. Далее в книге ограничимся рассмотрением ММ макро- и микроуровня. Дополнение 2.1. Введение в теорию размерностей Предметом теории размерностей является установление связей между размерными параметрами, характеризующими поведение изучаемого объекта. Анализ размерностей этих параметров позволяет определить структуру математической модели (ММ) технического объекта (ТО) в виде зависимости между безразмерными комбинациями, составленными из таких параметров. Отметим, что в математике используют близкий по звучанию термин „теория размерности", связанный со свойствами топологических пространств*.
Раэмерноспи ю величины или параметра называют произведение степеней независимых единиц измерения физических величин, принятых в качестве основных (стандартных). *См:. Математический энциклопедический словарь. 2, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ В качестве основных в Международной системе единиц СИ (Вув1е>пе 1псегпаФ)опа1) приняты следующие единицы измерения*(: длины — метр (м), массы — килограмм (кг), времени— секунда (с), силы электрического тока — ампер (А), температуры — кельвин (К), силы света — кандела" (кд), количества вещества — моль. Дополнительными (безразмерными) единицами являются радиан (рад) для измерения плоского угла и стерадиан (ср) для измерения телесного угла.
Например, размерность ускорения а записывают в виде [а] = [1] ) [1] ~ (.) ( ) м сз' где [1] = м и [1] = с — размерности длины и времени соответственно, а, = 1 и а, = -2 — по)сазатели этих размер(а) (а) посте(1 в выражении для размерности ускорения. Размерность силы Р в системе СИ вводят на основе второго закона Ньютона Р = та, где т — масса и а — ускорение. Отсюда [Р]=[т][а]=[т] '" [1] ) [1] [ =кг м с з= — ", =Н (ньютон), где а, = 1, а = 1, а, = — 2 — показатели раз- (Р) (Р) (г) мерности массы, длины и времени соответственно в выражении для размерности силы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
