XXI Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике (1081441), страница 8
Текст из файла (страница 8)
По этому признаку к типу алгоритмических относят более широкий класс как функциональных, так и структурных ММ. Если связи между параметрами ТО можно выразить в аналитической форме, то говорят об аналитпических матпематпических моделях. При построении иерархии ММ одного и того же ТО обычно стремятся к тому, чтобы упрощенный вариант ММ (см. 1.2) был представлен в аналитической форме, допускающей точное решение, которое можно было бы использовать для сравнения при тестировании результатов, полученных при помощи более полных и поэтому более сложных вариантов ММ.
Ясно, что ММ конкретного ТО по форме представления может включать признаки как аналитической, так и алгоритмической ММ. Более того, на стадии количественного исследования достаточно сложной аналитической ММ и проведения вычислительного эксперимента на ее основе разрабатывают алгоритм, который реализуют в виде ЭВМ-программы, т.е. в процессе математического моделирования аналитическую ММ преобразуют в алгоритмическую ММ.
2.5. Теоретические и эмпирические модели По способу получения матпематические модели (ММ) делят на тпеоретпические и эмпирические (от греческого слова йркгьрьа — опыт). Первые получают в результате изучения ~~~йота технического обьектпа (ТО) и протекающих в нем 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ процессов, а вторые являются итогом обработки результатов наблюдения внешних проявлений этих свойств и процессов. Один из способов построения эмпирических ММ заключается в проведении экспериментальных исследований, связанных с измерением фазовых переменных ТО, и в последующем обобщении результатов этих измерений в алгоритмической форме или в виде аналитических зависимостей.
Поэтому эмпирическая ММ по форме представления может содержать признаки как алгоритмической, так и аналитической математической модели. Таким образом, построение эмпирической ММ сводится к решению задачи идентификации. При построении теоретических ММ прежде всего стремятся использовать известные фундаментальные законы сохранения таких субстанций, как масса, электрический заряд, энергия, количество движения и момент количества движения. Кроме того, привлекают определяющие соотпнощенил (называемые также уравнениями состояния), в роли которых могут выступать так называемые феноменологические законы (например, уравнение Клапейрона — Менделеева состояния совершенного газа, закон Ома о связи силы тока в проводнике и падения электрического напряжения, закон Гука о связи деформации и механического напряжения в линейно упругом материале, закон Фурье )ХП] о связи градиента температуры в теле с плотностью теплового потока и т.п.).
Сочетание теоретических соображений качественного характера с обработкой результатов наблюдения внешних проявлений свойств изучаемого ТО приводит к смешанному типу ММ, называемых полуэмнирическими. При построении таких ММ используют основные положения теории размерностей, в том числе так называемую П-теорему (Пи-теорему* ) если между п параметрами, характеризующими изучаемый объект, существует зависимость, имеющая физический смысл, то эту зависимость можно представить в виде зависимости между "Снл Седов Л.И.
(1977 г.). 2.о. Теоретические и эмпирические модели 47 й — п — к их безрззмерными комбинациями, где и — число независимых единиц измерения, через которые можно выразить ззмерности этих параметров. При этом й определяет число независимых (не выражаемых друг через друга) безразмерных комбинаций, обычно называемых критериями подобия (см. Д.2.1). Объекты, для которых равны значения соответствующих критериев подобия, считают подобными. Например, любой треугольник однозначно определен длинами оч 6 и с его сторон, т,е, и = 3, а й = 1.
Поэтому, согласно П-теореме, множество подобных треугольников можно задать значениями й = п — Й = = 2 критериев подобия. В качестве таких критериев можно выбрать безразмерные отношения длин сторон: о/а и с/а или любые два других независимых отношения. Так как углы треугольника однозначно связаны с отношениями сторон и являются безразмерными величинами, то множество подобных треугольников можно определить равенством двух соответствующих углов или равенством угла и отношения длин прилегающих к нему сторон. Все перечисленные варианты соответствуют известным признакам подобия треугольников. Для успешного применения П-теоремы к построению моделей ТО необходимо располагать полным набором параметров, описывающих изучаемый объект, причем выбор этих параметров должен опираться на аргументированный качественный анализ тех свойств и особенностей ТО, влияние которых существенно в данном конкретном случае. Отметим, что такой анализ необходим при любом способе построения ММ, и проиллюстрируем это положение примерами.
Пример 2.1. Рассмотрим хорошо известную расчетную схему математического маятника (рис. 2.1) в виде материзльной точки массой т, подвешенной на невесомом стержне постоянной длины 1, который может свободно вращаться относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О. Отклонение маятника на угол сов от его вертикального положения 48 2. МА ТЕМА ТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ равновесия приведет к возрастанию потенциальной энергии материальной точки на величину ЬП = тд1(1 — сов ~ре), где д — ускорение свободного падения. Если после отклонения маятник начнет движение, то при отсутствии сопротивления он в силу закона сохранения .
А энергии будет совершать незатухающие колебания относительно положения равновесия Рис. 2.1 (точка А на рис. 2.1). При прохождении положения равновесия скорость о материальной точки является наибольшей по абсолютной величине, поскольку в этом положении кинетическая энергия этой точки равна те~/2 = ЬП, так что Пусть необходимо установить зависимость периода Т колебаний маятника (т.е. наименьшего промежутка времени, через который маятник возвращается в некоторое фиксированное положение, не совпадающее с положением равновесия) от параметров т, 1, ~ре и д (параметр в следует исключить из рассмотрения, поскольку его удалось выразить через указанные выше параметры). Размерности [ ] четырех указанных параметров и периода Т колебаний можно выразить через й = 3 независимые стандартные единицы измерения: [Т] = с, [т] = =кг, [1]=л, [~ре] =0 и [д] =м/сз.
Поэтому в силу П-теоремы из и = 5 параметров можно составить й = п — й = 2 безразмерные комбинации, причем угол <ре, будучи безразмерным, является одной из них. Во вторую безразмерную комбинацию не удается включить массу т материальной точки, поскольку единица измерения массы (кг) входит лишь в размерность массы. Следовательно, величина т не является аргументом искомой зависимости, что можно установить и при построении теоретической ММ рассматриваемого маятника (см.
пример 5.12). После исключения параметра т имеем и = 4 и й = 2, т.е. снова й = 2, так что наряду с безразмерным параметром ~ре остальные 49 2.о. Теоретические и эмпирические модели параметры образуют лишь одну независимую безразмерную комбинацию, которую можно представить в виде дТ (1. Таким образом, согласно П-теореме, искомую зависимость можно искать в виде — и (Ро) или Т = ~ — У(ув), (2,4) ~д где 1(<рв) = ~/Р(уе) — некоторая функция угла ~рв. установить вид этой функции в рамках теории размерностей нельзя. Для этого необходимо либо провести эксперимент и обработать его результаты в соответствии с первым равенством (2.4), выявив функциональную зависимость безразмерной комбинации дТ2(1 от рв, либо воспользоваться теоретической ММ, которая представляет функцию у в виде полного эллиптического интеграла первого рода.
Но даже при неизвестных функциях у (или Р) при помощи (2.4) можно получить полезные результаты. Например, если известно значение периода Т колебаний для некоторого маятника длиной 1 при фиксированных значениях д и ~рв, то для маятника длиной 11 период колебаний будет равен Т1 = Т~/1Д1. Из соображений симметрии (см. Рис. 2.1) значение периода колебаний не должно зависеть от знака угла ~рв первоначального отклонения маятника. Поэтому функция ~(~рв) должна быть четной. Предполагая ее дважды непрерывно дифференцируемой в некоторой окрестности точки ~рв = 0 и используя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, можно записать У(ув) = у (0) + -~п(О~рв)срв, где О Е (О, 1). Если при рв -+ 0 ограничиться лишь первым слагаемым в правой части этого Равенства, то из (2.4) получим Т = ф/ду(0). Таким образом, теория размерностей позволяет установить зависимость для периода бесконечно малых колебаний математического маятника с точностью до постоянного множителя ДО) Соответствующая этому случаю хорошо известная теоретическая ММ приводит к значению ДО) = 2н.
50 2. МА ТЕМА ТИ ЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ Пример 2.2. К полуэмпирической следует отнести ММ, включающую известную формулу 2 Р = с„(а) — Ь 2 (2.5) для подъемной силы крыла в дозвуковом воздушном потоке, приходящейся на единицу длины размаха крыла (здесь р и е— плотность и скорость набегающего потока, Ь вЂ” так называемая хорда профиля крыла (рис. 2.2), с„(о) — безразмерный коэффициент, зависящий от формы Р профиля крыла и характеризуемого делом атаки а направления набегающего потока).
Угол атаки и парар Ь метры, определяющие форму профиля крыла, безразмерны. Поэтому можно Р . г.г рассматривать влияние п = 4 размерных параметров Р, р, е и Ь, размерности которых можно выразить через й = 3 независимые стандартные единицы измерения: [Р] = Н/м = кг/с~, [р] = кг/мз, [о] = м/с, [Ь] = м, где Н = — ™ (ньютон) — производная единица измерения силы. Согласно П-теореме, из этих размерных параметров можно составить лишь одну (й = п — Й = 1) независимую безразмерную комбинацию, которую запишем в виде Р р Ь' —.
Тогда для конкретной формы профиля крыла получим Р— = /(а), ре~Ь где функция /(о) может быть найдена экспериментально путем продувки под различными углами атаки геометрически подобной модели крыла в аэродинамической трубе. Если безразмерные значения этой функции для фиксированных значений о обозначить через с„(а)/2, то придем к (2.5). Таким образом, структура (2.5) не противоречит П-теореме. Комплекс ре~/2 иногда называют динамическим давлением набегающего 51 2.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
