VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400)
Текст из файла
е х .,в ~ ~ в в» Ф~~ в М .1 ф 'В В ~ . ° к Математика в техническом университете Выпуск УП Ж 176-летию МГТУ им. Н.Э. Баумана Комплекс учебников из 21 выпуска Под редакцией В. С Зарубина и А. П. Крищеико 1. Введение в анализ П. Дифференциальное исчисление функций одного переменного 111.
Аналитическая геометрия 1Ч. Линейная алгебра Ч. Дифференциальное исчисление функций многих переменных Ч1. Интегральное исчисление функций одного переменного Ч?1. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля Ч1?1. Дифференциальные уравнения 1Х. Ряды Х. Теория функций комплексного переменного Х1. Интегральные преобразования и операционное исчисление Х11. Дифференциальные уравнения математической физики ХП1. Приближенные методы математической физики Х?Ч.
Методы оптимизации ХЧ. Вариационное исчисление и оптимальное управление Х'Ч1. Теория вероятностей ХУ??. Математическая статистика ХЧП?. Случайные процессы Х1Х. Дискретная математика ХХ. Исследование операций ХХ1. Математическое моделирование в технике ПРЕДИСЛОВИЕ При изучении физики, механики и при решении разнообразных инженерных задач часто возникает необходимость наряду с интегралами от действительной функции одного переменного рассматривать интегралы от функций многих переменных. Эти интегралы приходится вычислять по двумерным, трехмерным (и в общем случае многомерным) областям, по кривым и поверхностям. Такие интегралы играют важную роль при исследовании скалярных и векторных полей, задаваемых в пространстве действительными и векторными функциями векторного аргумента, составляющими предмет изучения теории поля и векторного анализа. Эта книга является седьмым выпуском серии учебников „Математика в техническом университете".
При отборе и изложении материала авторы старались учесть существующие различия в его объеме, характерные для программ подготовки по различным инженерным специальностям. Содержание книги тесно связано с материалом предшествующих выпусков: дифференциальным и интегральным исчислением функций одного действительного переменного, аналитической геометрией и линейной алгеброй. При ссылке в тексте на конкретный выпуск этой серии учебников его номер указан римской цифрой. Например, запись [1-2.4~ означает ссылку на четвертый параграф второй главы первого выпуска.
Ссылки в пределах этой книги набраны прямым полужирным шрифтом. Например, ссылка (см. 2.1) указывает на первый параграф второй главы, а (см. Д.7.2) отсылает ко второму дополнению главы 7. Определения, теоремы, замечания, примеры, формулы, рисунки и т.п. имеют двойную нумерацию. Например, теорема 1.2 — это вторая теорема в главе 1, (2.1) — первая формула в главе 2, рис.
7.3 — третий рисунок в главе 7. ПРЕДИСЛОВИЕ Большинство используемых в этой книге обозначений введено в первом выпуске серии. В перечне основных обозначений данного выпуска наряду с их краткой расшифровкой указаны ссылки на разделы этого и других выпусков серии, в которых можно найти их более подробное объяснение. После этого перечня приведены написание и русское проюношение входящих в формулы букв латинского и греческого алфавитов. В конце книги помещены список рекомендуемой литературы и предметный указатель, в который входят в алфавитном порядке (по существительному в именительном падеже) все термины, выделенные в тексте полужирным курсивов, с указанием страницы, где они определены или описаны.
Выделение термина (при его первом упоминании в каждом параграфе) свет иам курсивом означает, что в этом параграфе он отнесен к ключевым словам и читателю должно быть известно его значение. Уточнить смысл термина можно, найдя при помощи предметного указателя необходимую страницу, на которой используемый термин определен или описан. Если термин введен в другом выпуске, то его номер в предметном указателе обозначен римской цифрой перед номером страницы (например, 1-217). Светлым курсивом даны ссылки на страницы этого и других выпусков, указывающие некоторые пояснения или уточнения термина. Такое построение предметного указателя связывает материал всех выпусков серии „Математика в техническом университете" единым справочным аппаратом, удобным для поиска нужной информации.
Перед чтением этой книги предлагаем в целях самоконтроля выполнить следующие несложные задания. В конце каждого задания указан номер того выпуска, в котором при возникновении затруднений можно найти все необходимые сведения. Значения терминов, выделенных в тексте этих заданий прямым полужирным шрифтом, далее будем считать ювестными (в основном тексте книги эти термины не выделены и не входят в ее предметный указатель). Задания для самопроверки 1. Запишите представления множеств целых Ж и рациональных Я чисел при помощи множества М натуральных чисел.
Что является элементом декартова произведения к~ двух множеств й действительных чисел? Что такое объединение, пересечение и разность множеств? [Ц 2. Убедитесь, что если для образов У~ С У и Уз С У отображения ~: Х -+ У справедливо включение У~ С Уз, то для их прообразов Х~ =~ ~(У~) СХ и Хз = ~ ~(Уз) С Х справедливо включение Х~ С Хъ [Ц 3. Перечислите свойства абсолютной величины (модуля) числа. Запишите неравенство треугольника.
[Ц 4. Каков ход доказательства по методу математической индукции? Что понимают под рекуррентным соотношением? [Ц 5. Каковы свойства точных верхней и нижней граней ограниченного множества точек числовой прямой? [Ц 6. Что называют я-окрестностью точки в Ж"? Является ли граничная точка множества его предельной точкой? Приведите пример множества в К", пе имеющего пи одной внутренней точки. Что называют диаметром, границей и внутренностью множества? Какие множества называют открытыми, замкнутыми, компактными (компактами), линейно связными? [Ц, [У] 7. Изобразите на плоскости с заданной прямоугольной декартовой системой координат Оху множество точек В = = 1(х;у): х Е ( — 1, Ц, ~/4 — хз ~ у ( 4 — х~). [Ц, [ПЦ 8.
Каков смысл символов о и О при сравнении бесконечно малых? Напишите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеево и в форме Лагранжа. [Ц, [П] 9. Сформулируйте и запишите определение предела действительной функции действительного переменного в ПРЕДИСЛОВИЕ заданной точке. Перечислите свойства функций, имеющих в точке конечный предел.
[1] 10. Сформулируйте и запишите определение предела векторной функции многих переменных в точке. Что можно сказать о пределах в той же точке ее координатных функций? [Ч] 11. Сформулируйте определение функции многих переменных, непрерывной в точке и непрерывной на множестве. Перечислите свойства функций многих переменных, непрерывных на компактах. Можно ли утверждать, что функция многих переменных, непрерыввал в области, ограничена в этой области? Что называют точкой разрыва функции многих переменных? [Ч] 12. Можно ли утверждать, что если все частные производные первого порядка функции непрерывны в точке, то функция дифференцируема в этой точке? В каком случае смешанные производные такой функции не зависят от порядка дифференцирования? Является ли дважды дифференцируемая в точке функция многих переменных непрерывной дифференцируемой функцией в этой точке? [Ч] 13.
Что ~азывают неявной функцией? Сформулируйте теорему о неявной функции. [П], [Ч] 14. Определите, для каких из следующих функций неопределенный интеграл относят к неберущимся интегралам: э1п х, э1п(х~), — *, хе *, е *, 1пх, —. [Ч1] 15. Найдите градиент функции Дх,у) = 2х~+ Зу в точке (1;1) и производную этой функции в точке (1;1) по направлению вектора 1 = Зя — 4?.
Изобразите линии уровня этой функции. Напишите уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности х2+ Зу~+ 2я2 = 5 в точке (1;-1;1). [Ч] 16. Можно ли использовать формулу Ньютона — Лейбница для вычисления определенного интеграла с нижним а и верхним Ь пределами интегрирования от нодынте- гральной функции 1(х), если известна первообрйзная Р(х) этой функции в полуинтервалах [а, с) и (с, Ь]? [Ч1] 17.
Сформулируйте и запишите определение предела интегральных сумм функции ~(х) на отрезке [а, Ь]. [ЧЦ 18. Что называют интегралом Римана? Приведите пример интегрируемой но Риману функции и пример неинтегрируемой функции. [ЧЦ 19. Что называют квадрируемой плоской фигурой и кубируемым телом? Выразите при помощи определенного интеграла: а) длину плоской гладкой кривой, заданной параметрическими уравнениями х = х(6), у = у(Ф); б) площадь плоской фигуры Р, заданной неравенствами а < х < Ь, Ях) < д < ~2(х); в) объем тела и площадь поверхности, образованных вращением вокруг оси абсцисс графика дифференцируемой на отрезке [а, 6] функции 1(х).
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
