VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Общий случай рассмотрен в рамках теории поверхностного интеграла. Теорема 1.14. Пусть у(х,у) — непрерывно дифференцируемвл функция в замкнутой области Р с Из, ограниченной кусочно гладким контуром. Тогда поверхность х = у (х, у) (график функции т(х,у) ) является гладкой и квадрируемой, а ее площадь о равна дхду. (1.бЗ) < Так как функция у (х, у) имеет непрерывные частные производные, то в каждой точке поверхности Е определен едининныб нормальный вентпор н поверхности, непрерывно меняющийся от точки к точке. А зто и значит, что поверхность Е является гладкой.
Рассмотрим произвольное разбиение Т = (Ем ..., Е,Д поверхности Е. Этому разбиению соответствует разбиение Ттт = = (Р1, ..., Р„) замкнутой области Р, частичными областями которого являются ортогональные проекции Р; поверхностей Е; на плоскость хОу. В каждой частичной области Е; разбиения Т выберем точку М;, и пусть Р;(х;;у;) — проекция точки 81 1. 10. Площадь поверхности М, на плоскость хОу. Касательная плоскость к поверхности Е в точке М; задается уравнением «с = 1х(хЬУс)(х хс) + Ув(«ЪУс)(У Ус)1 где «; = Дх;, у,).
Угол наклона Тс этой плоскости по отношению к координатной плоскости хОу определяется равенством в котором частные производные Д и Я вычислены в точке Р;. Пусть сс; — ортогональная проекция частичной области Е; на касательную плоскость к Е в точке Мь Рассмотрим также ортогональную проекцию Р; замкнутой области ссс на плоскость хОу. Площадь слссс замкнутой области сгс связана с площадью слЯс замкнутой области Рс равенством слЯс = (сов у;)сьсс;.
Замкнутая область Р;, вообще говоря, не совпадает с частичной областью Р; разбиения Тр, но при стремлении диаметра й(То ) к нулю различием между Р; и Рс можно пренебречь. Это значит, что можно приближенно принять ЬЯс эа площадь частичной области Р;. С учетом этого допущения получаем и и а(Т) = ~~ слсс; = ~ с=1 3=1 Мы пришли к интегральной сумме, составленной для функции 1+ (Д(х,у))«+ Ц„'(х,у))з по замкнутой области Р. В пределе при сь(Т) -+ О имеем сь(Тп) -+ О и в результате получаем равенство (1.63). )ь Из доказанной теоремы легко получить формулы, аналогичные (1.63), для случаев, когда поверхность Е задана уравнением х = д(у, «) или у = Й(х, «). 1.
ДВОИНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 82 Пример 1.18. Найдем площадь части параболоида « = = х2 + у2, лежащей внутри цилиндра х2+ у2 = а2 (рис. 1.26). Рие. 1.26 Так как частные производные «' = 2х и «„' = 2у функции «(х,у) = х2+ у2 непрерывны в замкнутом круге х2+ у2 < а2, то площадь а рассматриваемой поверхности, согласно теореме 1.14, может быть представлена двойным интеграоом и хх 1+ 4х2+ 4у2 Мха.
ха+Ох(ах Исходя из вида функции и формы области интегрирования, используем полярные координаты: 2х а =~а 1 Л ~4 а'= о о — (1+4.2)З/2 (1+~ 2)3/2 1) 1 2 ~а я1 8 3 !о 6~ Пример 1.19. Вычислим площадь части цилиндра х2+ у2 = = 2ах, заключенной между плоскостью хОу и конусом х2 + у2— — «2 = 0 (над плоскостью хОу, рис. 1.27, а).
Рассматриваемая поверхность симметрична относительно координатной плоскости хО«. Поэтому можно ограничиться 83 1.10. Площадь поверхности Рис. 1.27 вычислением половины площади поверхности, а именно той ее части, которая находится в полупространстве у > О. Указанная часть поверхности может интерпретироваться как график фу, у уу„,у=уу -~, у ащ~ *о.
является замкнуты область (рис. 1.27, б) Р = ) (х; л): О < х < 2а, О < л ( (~/2ах) . В результате длл площади поверхности и получаем а = 2 1+(ОУ )2+ (Ягс1хйл В где р' и у', — частные производные функции у(х, л). Вычисляя зти частные производные и подставляя в формулу, находим =2О 11 2а уу'гов 2о = 2 ~Ь <Ь = 2а~Г2а о ~го = -4а~2а ~/2а — х~ = 8аг. о 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 84 1.11. Несобственные двойные интегралы До сих пор мы рассматривали двойные интегралы от ограниченных функций по ограниченной области интегрирования.
Однако, так же как и в случае определенного интеграла, при решении прикладных задач и рассмотрении ряда теоретических вопросов нередко возникает необходимость использования двойных интегралов от неограниченных функций по ограниченной области интегрирования или от ограниченных функций, но по неограниченной области интегрирования. Сначала рассмотрим случай неограниченной области интегрирования. Пусть Р е йз — неограниченная область.
Последовательность (Щ;~1 квадрируемых замкнутых областей Р; назовем монотонным исчерпыванием области Р, если выполняются два условия: 1) .Р; С шЩ+1, 1 Е г1; 2) 0 Р;=Р. Здесь 1пФР, обозначает внутренность замкнутой области Р;. Определение 1.3. Пусть в неограниченной области Р задана функция ~(х,у), интегрируемая в любой квадрируемой замкнутой подобласти в Р. Если для любого монотонного исчерпывания (Р,) области Р существует предел 1пп ~~~(х,у)Мха, 1-+ос,/,1 не зависящий от выбора последовательности (Р1), то этот предел называют несобственнььм интегралом от функции у(х,у) по неограниченной области (несобственным интегралом первого рода) и обозначают обычным образом: у(х,у) дхду. В 85 ЬП. Несобстиеииые диойиые иитеграаы Итак, по определению Х(х, у) (Хну = 1пп Х(х, у) (Ххс1у.
(1.64) ~ ( ~ ~ ~ ~ > В Р( Если этот предел существует и конечен, то месобсшвеммыб ммтпеграл называют сходлщилеся, а в противном случае— расходящимся. Определение 1.3 позволяет перенести на несобственные интегралы ряд свойств собственных (т.е. обычных двоиных) интегралов, а именно: линейность интеграла, аддитивность интеграла, интегрирование неравенств, сведение кратного интеграла к повторному, формулу замены переменных и др. Например, если х = х(и,()), у = у(и,и) — непрерывно дифференцируем ое взаимно однозначное отображение неограниченной области С С )кз на область Р (.
Ж~ и якобиан этого отображения в С отличен от нуля, то | |У(,и)ы Ь=||д( (, ),и(, )))/Х(, ))/~Ы. (16)) В С Для неотрицательных функций справедливы следующие теоремы. Теорема 1.15. Пусть даны неотрицательная в неограниченной области Р функция у(х, у) и монотонное исчерпывание (Щ области Р.
Для сходимости несобственного интеграла от ф ~с(х ) по области Р необходимо и достаточно, чтобы последовательность чисел (1.66) была ограниченной. 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 86 ~ Необходимость. Предположим, что несобственныи интеграл Оу(л,р)дяду сходится. Тогда существует конечный и предел (1.64), и последовательность чисел (1.66), будучи сходящейся, ограничена [1-6.4]. Достаточность. Пусть последовательность чисел ( .
(1.66) ограничена. Тогда для любого номера 1 имеем В; С П.,0 . 0тсюда в силу неотрицательности функции у(х,у) следуют нера- венства | у(х, у) йхйу ( ~(х, у) йха, 1 Е М, Еч и;+ь а это означает, что последовательность чисел (1.66) является неубывающей. Согласно теореме Вейерштрасса (1-6.5), моно- тонная и ограниченная последовательность чисел (1.66) сходит- ся к конечному пределу (1.67) Еч П и этом в силу возрастания последовательности Р у(к,у) сЬау < 1.
(1.68) Еч Итак, доказано, что для фиксированной последовательности (РД, монотонно исчерпывающей область 11, существует конечный предел соответствующей последовательности двойных интегралов. Далее следует показать, что такой предел существует и для любого другого монотонного исчерпывания и что он не зависит от выбора монотонного исчерпывания. Выберем еще одно монотонное исчерпывание (С;1 области Р и в этой последовательности зафиксируем произвольную замкнутую область Сь. По условию замкнутая область Сь ограничена, как квадрируемал, а потому является компактом. Так 1.11. Несобстиеккые двояяые явтегриш как по определению монотонного исчерпывания Р.
С АР; 1 для всех индексов в, последовательность областей АР; по- крывает Р, т.е. Р = 0 АР;. Компакт Сь содержится в Р, и в=1 поэтому последовательность областей АР;, з Е г7, является от- крытым покрытием Сь. Из этого покрытия можно выделить Поэтому Сь С АР; С Р; .
В силу неотрицательности функ- ции Дх, р) и неравенства (1.68) имеем Ях, у) йхйу < 7(х, у) йхйу < 1. с, Так как замкнутая область Сь была выбрана произвольно, то справедливы неравенства Г 7(х,у)йхйу<1, в'ЕМ. С; Но последовательность интегралов Ц „'(, у) у „г„'(х ) Нхд является нес; б ей как и последовательность интегралов по замкнуел,7 тым областям Р;. Следовательно, она сходится, а ее предел не превосходит числа 1, т.е. ,7= 1пп ДДх,у)сЬду<1. 1-+ОО ов Поменяв местами последовательности (Р1) ( ), Р.) и (С ) заключа- ем, что верно и противоположное неравенств о 1 <.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
