VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Значит, 1 =,7, т.е. пределы интегралов по двум произвольным последо- вательностям, исчерпывающим область Р, совпадают. ~ П 1.20. Рассмотрим несобственный интеграл ример 1 ДаОННЫа ИНтЕГРАЛЬ~ 88 2+,2 ~ ьг) ф~Я Последовательность (Щ состоит из квадрируе областей и монотонно исчерпывает пло т плоскость Жг. Пусть — е-х'-я'для Переходя к полярным координатам, получаем э г ь — т~ ~ь о о, о о 1 — 1пп 1ь и. ь-+оо Найденное значени е интеграла 1 позволяет вычислить ижшеграл Пуассона +00 (,—.*,ь айной интеграл к повторному, полу- Действительно, сводя двой чаем + +со 00 Г „ / / о Г о Г „з но — ОО 00 Позтому в соответствии с (1.6 ) .69) +00 е-х'~я = ф, Отсюда, согласно определению несобственного интеграла, заключаем, что — (1.69) 89 1.11.
Несобствеввые двойвые ввтегралы В силу четности функции у = е * из последнего равенства следует, что +ао | г ~/х х Дх— 2 о Теорема 1.16 (признак сравнения). Пусть в неограниченной области Р функции 1(х,у) и д(х,у) удовлетворяют неравенствам 0<1(х,у) <д(х,у), (х;у) ЕР.
Тогда, если сходится несобственный интеграл Д д(х,у)охоу, 11 то сходится и несобственный интеграл Д у'(х,у) сЬду, а если 11 несобственный интеграл Д 1(х,у) охоу расходится, то расхо- 11 дится и несобственный интеграл Д д(х, у) <ЬНу. 11 ~ Доказательство теоремы практически не отличается от доказательства аналогичной теоремы для несобственного интеграла от функции одного действительного переменного, и мы не будем его приводить. > Пример 1.21. Исследуем на сходимость несобственный интеграл Ихну / ( (хг +уг)в хг+В~ >1 в зависимости от значения показателя степени р Е Ж. Для исследования сходимости этого интеграла удобно ввести полярные координаты г и ~р на плоскости. В этом случае область интегрирования Р можно описать неравенством г Ъ 1. 1.
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ После расстановки пределов интегрирования в полярных коор- динатах получим При р ) 2 имеем 1 = —, т.е. несобственныи интеграл сходитгя р-г' ся, а при р < 2 он расходится. Функцию 1 (~хг+ г)я удобно использовать в качестве функции сравнения при исследовании на сходимость несобственных двойных интегралов по неограниченной области интегрирования. Определение 1.4.
Двойной несобстпеенный интеграл ЦДх,у) аду по неограниченной области .0 называют абсо- В лютне сходлнпьнсл, если сходится несобственный интеграл О Щх, у) ) дну. В Как и в случае однократных несобственных интегралов, абсолютная сходимость несобственного двойного интеграла по неограниченной области означает его сходимость. Теорема 1.1Т. Если сходится несобственный интеграл О~У(х,у)~сЬоу, то несобственный интеграл О~(х,у)<Ьбу так- В В же сходится.
91 Ь Ы. Несобственные двойные ннтегральг ~ Введем в рассмотрение две неотрицательные функции / Ях,у), Дх,у) ) )0; О, ~(х,у) <0; -Дх,у), у(х,у) < 0; О, ~(х,у) ) О. Очевидны соотношения (Дх,у)~+Ях,у) Щх,у)) — ~(х,у) +(х у) — 2 ~-~~ у— Так как 0< у+(х,у) < )~(х,у)~ и 0<у (х,у) ~ <)~(х,у)) при (х; у) Е Р, то в силу признака сравнения из сходимости несобственного интеграла от функции ~Дх, у) ~ по неограниченной области Р вытекает сходимость несобственных интеграюв от функций Д+(х,у) и ~ (х,у) по той же области.
Следовательно, согласно свойству линейности несобственного интеграла, сходится несобственный интеграл от функпии у+(х у) — у-(х у) = =Дх,у). ~ Важнейшим отличием двойных несобственных интегралов от однократных является то, что для двойных интегралов верно и обратное утверждение: из сходимости несобственного двойного интеграла следует его абсолютная сходимость. Теорема 1.18. Если несобственный двойной интеграл сходится, то он сходится абсолютно. Из теорем 1.17 и 1.18 следует, что понятия сходимости и абсолютной сходимости для двойных несобственных интегралов по неограниченной области совпадают, т.е.
сходимость двойного несобственного интеграла равносильна его абсолютной сходимости. 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 92 Несобственные интегралы от неограниченной фунниии по ограниченной области (или несобственные интегралы второго рода) вводятся аналогично несобственным интегралам по неограниченной области. Для них остается в силе все сказанное вьппе. Поэтому рассмотрим лишь один частный случай таких интегралов. Пусть в ограниченной замкнутой области Р Е Кз задана функция у(г,у), не ограниченная только в окрестности точки М(ге,.уе), которая может быть внутренней точкой Р или располагаться на границе этой замкнутой области.
В этом случае исчерпывание в Р можно строить следующим образом. Выберем последовательность квадрируемых областей И'ь, для которых Мо Е Йь+1 С И~я, Й Е М (рис. 1.28), а последовательность диаметров областей Юь стремится к нулю. Тогда множества Рь = Р '1 И~ь будут замкнутыми областями, удовлетворяющими условиям Рь С ш'1 Рь+1, ь. Е М, и О Рь = Р ~ (Ме). Значит, 1=1 последовательность (Рь) является исчерпыванием множества Рис.
1.28 Если функция у (е, у) ннтегрируема в каждой из замкнутых областей Рь и последовательность интегралов стремитсл к конечному пределу 1, причем этот предел не зависит от выбора областей И~ы то этот предел есть несобственный интеграл от неограниченной функции у(х, у) по области Р. 93 Вопросы и задачи Пример 1.22. Исследуем на сходимость несобственный интеграл по ограниченной области Р = ((х;у): х + у < 1). 2 2 При переходе к полярным координатам рассматриваемый интеграл преобразуется к следующему: 2п 1 1 ЙР— = 2т 1 Й.
Несобственный (при р > 1) интеграл ) —,, как известно [ЧЦ, сходится при р- 1 < 1, т.е. при р < 2, и расходится при р . ф >2. Как и в случае несобственного двойного интеграла по неограниченной области, функцию 1 („/хз+ уз ) удобно испольэовать в качестве функции сравнения при исследовании на сходимость несобственных интегралов от неограниченных функций. Вопросы и задачи 1.1.
В чем отличие интегральной суммы от нижней и верхней сумм Дарбу, отвечающих фиксированному разбиению плоской замкнутой области? 1.2. Вычислить интеграл 1. ДВОЙНЫЕ ННПЕГРАЛЫ 1.3. Вычислить интеграл по треугольнику .Р, ограниченному уурямыми у =, =, у = =0 х=1 =х. 1.4. Изменить порядок интегрирювания в повторнык инте- гралах: 2а ~/4аа б) 1(х Дх, у) ду; 0 аа-а4 а) Их У(х, у) ду; Е 1гзаа-ау 1 2+1/7-бу-у~ г) (у У(х,у)~Ь. 1 1-у в) Иу 1(х, у) ох; 2,~; Е„уа О ~ — „а 1.б. Вычислить интеграл по области интегрирования Р, заданной неравенствами х>0 у>0, х+у<1. 1.6. Найти объем тела, ограниченного следующими поверх- ностями: а) плоскостями х=О, у=О, «=О, х+2у=1 и поверхностью г+ у+ 1.
б) плоскостями у = 1, « = О, параболическим цилиндром у = 2 2. = х2 и параболоидом « = х + у; по области интегрирования Р, огрвниченнои прямыми у = х, х= 2 и гиперболой ху= 1. Вопросы и задачи 95 1.7. Найти объем тела, вырезанного цилиндром х + уг = Вх из шара, ограниченного сферой хг+ у + я = В~. 1.8. Вычислить площади фигур, ограниченных заданными кривыми: ) ( г+ г)2 2аг(хг — уг).
б) ~ 2+уг)з г~ 4+ 4). г+ г =и+у 2 2 1.9. Определить площади криволинейных четырехугольников, ограниченных заданными кривыми (во всех случаях 0 < <а<ЬиО<р<д): а) гиперболами ху=р, ху=д и прямыми у=ах, у=Ьх; б) параболами хг =ру, хг =уу и прямыми у=ах, у = Ьх; в)прямымих+у=р,х+у=д,у=ах,у=Ьх. 1.10. Вычислить интеграл Охудхду по области интегри- В рования Р, ограниченной петлей кривой и расположенной в первом координатном угле. 1.11. Вычислить несобственный интеграл Г, „соз(2/сФЪ) В по области интегрирования Р, заданной неравенствами х > О, у > О. Здесь й — некоторая константа. в) плоскостями я = О, я = Лх+ ру+ Ь (Ь > 0) и эллиптическим цилиндром хг/а + уг/Ьг = 1; г) плоскостью я = 0 и цилиндрами ая = уг, хг+ уг = тг.
1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 96 1.12. Пусть Р— треугольник, заданный неравенствами О < х < а, О < у < х, а ~(х) — произвольная непрерывная на отрезке [О, а] функция. Преобразуя двойной интеграл в повторный двумя способами, доказать тождество а х а — — — У(у) Ф 1.13. Вычислить площадь части конуса я = х + у, отсека- 2 2 2 емой плоскостью х+ у = а и расположенной в первом октанте. 1.14. Вычислить площадь части конуса я = х + у, отсека- 2 2 2 емой поверхностями уг = ах, х = а. 1.15. Вычислить площадь части цилиндра у = я, вырезаг смой поверхностями у = 4х, х = 3. г 1.16. Вычислить площадь части цилиндра у = я, выреза- 2 емой поверхностями у = х, у = 3. 2 2.
ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Перейдем к рассмотрению интегралов от функций трех переменных, называемых тройными. Эти интегралы, как и двойные интеералы, имеют широкое применение при решении различных геометрических, физических и технических задач. Поскольку между двойными и тройными интегралами существует почти полная аналогия, то далее будем обычно приводить лишь формулировки утверждений, так как доказательства этих утверждений легко получить, адаптируя доказательства аналогичных утверждений для двойного интеграла. 2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
