VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Кроме того, это отображение любую гладкую (кусочно гладкую) поверхность в области Й* переводит в гладкую (кусочно гладкую) поверхность в Я* и наоборот. Рассмотрим в области Й* плоскосгь ~ = Ц = сопв1, параллельную координатной плоскости т10,~. В области Я* ей соответствует некоторая (в общем случае криволинейная) поверхность, определяемая параметрическими уравнениями Я = ЯЫо,т1,1), (2.22) Ясно, что плоскости т1 = сопз$ и ~ = сопз1 переходят при отображении (2.20) в аналогичные (2.22) поверхности. Эти поверкностпи называтот координатпными.
Из взаимной однозначности отображения (2.20) следует, что через каждую точку (х; у; я) Е 9* проходит единственная тройка поверхностей, отвечающая заданным значениям ~, т1 и ~. Следовательно, эти значения можно рассматривать в качестве координат соответствующей точки (я;у;я) Е Я'. Их называют криволинейными координатпами в простпранстпвенноб областпи Я*. Элемент объема в криволинейных координатах. Предположим, что в пространственной области Я* функциями (2.20) введены криволинейные координаты (, т1 и ~.
По-прежнему предполагаем, что функции (2.20) непрерывны и имеют непрерывные частные производные, а якобиан,7(~, т1, ~) = ' ' ото*,ют) \ 9! личен от нуля во всех точках фт1; ~) Е Й*. Рассмотрим в области Я' прямоугольный параллелепипед с малыми ребрами Ь(, З.о. Замена веремеввыл а тройном интеграле Щ Ь~, параллельными соответствующим координатным осам прямоугольной декартовой системы координат 0,(ц~ (рис. 2.7). Объем этого параллелепипеда равен 444о = Ь(Ьц Ь~. Рме, а.т При отображении (2.20) этот параллелепипед перейдет в некоторый в общем случае криволинейный шестигранник.
При этом грани А4АзАзА4 параллелепипеда, лежащей в плоскости 4 = сопаФ, соответствует в области 9' поверхность В4ВзВзВ4, грани АзАаАгАа, лежащей в плоскости (+ Ь(, — поверхность ВаВаВТВз и т.д. При малых размерах параллелепипеда в Я* можно приближенно считать, что его образ, криволинейный шестигранник, также является параллелепипедом, построен- — — + ным на векторах В1Вз, В1Вз и В~В4.
Вектор В1Вз соответствует приращению Ь(, и поэтому для его координат получаем 1д~ ' д( ' дс Аналогично — + (дх ду дз В,В, =1 — и |; — ٠— 410), ~д0 ' Ь| ' д~ Гд* ду д» в,в,=~ — ьС вЂ” л~; — ь~ . ~д~ 'дС 'д~ Объем ЬУ параллелепипеда, построенного на трех этих векторах, равен абсолютной величине смешанного произведения трех г.
тройнык инткп Алы 116 векторов [П1], и его можно выразить с помощью определителя: бе$ — Ьц — Ьц — Ьц дя ду д» бп дц дч — Ь~ — Ь~ — Ь~ дя дя дя д~ д~ д~ = ].7(~,ц,~)]Ь(ЬцЬ~ = /,Т(~,тр,~)]Ью, (2.23) где .Т(~, 0, ~) — якобиан отображения (2.20). Таким образом, отображение (2.20) переводит прямоугольный параллелепипед с объемом Ью = Ь( ЬцЛ~ в криволинейный шестигранник в области Я*, который приближенно можно заменить параллелепипедом с объемом ЬУ, определяемым при помощи (2.23).
Абсолютная величина якобиана равна отношению этих объемов и может рассматриваться как коэффициент растяжения элемента объема в окрестности точки фп;~) Е Е Й* при отображении (2.20). Под элементом объема в криволинейных координатах понимают выражение (2.23). Используя разбиение области Й* плоскостями, параллельными координатным плоскостям, на прямоугольные параллелепипеды с бесконечно малыми ребрами, можно аналогично случаю двойного интпеериаа выразить объем Ъс~ кубируемой замкнутой области Я С Я* тпройпым антпезралом (2.24) по замкнутой области Й изменения переменных (', и, ~, являющейся прообразом замкнутой области Я при отображении (2.20).
Замена переменных в тройном интеграле. Формулу замены переменных в тройном интеграле можно получить, рассуждая так же, как и в случае двойного интеграла (см. 1.9). 117 2.о. Замена переменнык в тройном ннтегране Теорема 2.6. Пусть задано взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение (2.20) области й' С Кз на область Я* С Кз, якобиан 7((,т1, ~) которого в й' отличен от нуля. Если функция т" (х,д,х) непрерывна в кубируемой замкнутои о асти ~~ бл ~~ С Я' или же ограничена в Я и непрерывна в оме некоторого множества объема нуль, то ьт всюду, кр где — пр й — ообраз замкнутой области Ч при отображении (2.20). < Так как функция у(х,у,х) непрерывна в Я, то тройной интеграл в левой части (2.25) существует и равен пределу интегральных сумм вида ~~т ~(х;,д;,г;)Ь$";.
(2.26) с 1 йт Применив к этим интегралам теорему р о с еднем значении длл тпрот1ного интпеграла,получим Ь1';= ~ ц4;,0,*,д)~г;, (ц;0,';~;*) ~он где етое — объем частичной области й; разбиения Т,. В силу соответствия, которое отображение (2.20) устанавливает между Я и й, каждому разбиенитоТ= Я1, ..., Я„) замкнутой области Я отвечает разбиение Т„= 101, ..., Й,Д замкнутой области й и обратно. Согласно (2.24), объемы ЬЪ; часптичных обласнтей Ят можно представить в виде 2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 118 В интегральной сумме (2.26) выбор точки (х;; у;; «;) Е Щ произволен.
Поэтому в качестве этой точки можно взять такую, которая имеет криволинейные координаты Я, ц,*, Д,.*. Тогда (2.26) примет вид Я1(х(Й4 Ф р(ИЙФ Я1ьЧЫЗ) [д(Ю0~,0[~1иц. (227) 1=1 Это выражение является интегральной суммой тройного интеграла в правой части (2.25), который существует в силу непрерывности подынтегральной функции. Отображение (2.20) непрерывно, а значит, и равномерно непрерывно в й [Ч]. Поэтому при стремлении к нулю диаметра д, разбиения Т, к нулю будет стремиться и диаметр д соответствующего разбиения Т. При этом предел интегральных сумм (2.26) будет равен интегралу в левой части (2.25), а предел сумм (2.27) — интегралу в правой части (2.25). Таким образом, эти интегралы являются пределами одних и тех же интегральных сумм и поэтому равны между собой, что доказывает равенство (2.25).
~ 2.6. Цилиндрические и сферические координаты Наиболее употребительными криволинейными координатами в пространстве являются цилиндрические координаты и сферические ноординатпы Цилиндрические координаты. Цилиндрические координаты точки (рис. 2.8) связаны с прямоугольными декартовыми (при их стандартном взаимном расположении) соотношениями х = тсоер, у = гв1пу, (2.28) 2.6.
Цилиндрические и сферические координаты 119 Рис. 2.8 которые можно рассматривать как отображение замкнутой области Й = ((т; 1о; г) Е Ж: т Е (О, +со), 1о Е (О, 2и), к Е й~ сов ф — т в1пф 0 я1п у т совр 0 0 0 1 (2.29) ,7(т,ср,я) = на Я = Ко. Отметим, что прообразом каждой точки Ме(0;0;яе) на оси Оя при отображении (2.28) является отрезок т = О, 0 < ~р < 2я, я = яе в замкнутой области й. Таким образом, отображение (2.28) не является взаимно однозначным. Это не позволяет при вычислении интегралов напрямую использовать теорему 2.6. Однако, как и в случае полярных координат на плоскости, формула (2.25) остается верной в цилиндрических координатах.
Координатными поверхностями в цилиндрической системе координат будут: 1) цилиндрические поверхности т = сопз$ с образующими, параллельными оси Оя, и направляющими в виде концентрических окружностей с центром на этой оси, лежащих в плоскости, перпендикулярной оси Оя; 2) полуплоскости 1о = сонями, проходящие через ось Оя; 3) плоскости г = сопяФ, перпендикулярные оси Оя. Якобиан отображения (2.28) легко вычисляется: 2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 120 При г ~ 0 якобиан сохраняет знак. В соответствии с (2.23) элемент объема в цилиндрических координатах равен ЙХ = = гЬгЬ~рЬ», или (при переходе к цилиндрическим координатам в тройном интеграле) сП' = = гсЬ йрсЬ.
Этот вывод можно такг,. ьв, же сделать исходя из геометрических соображений. Рассмотрим кри- О волинейный шестигранник, ограниу ченный координатными поверхнос- Р я„.,'--.' тями г = сопвФ и г + Ьг = сопвФ, у = = сопв$ и у+ Ь~р = сопвФ, в = сопв1 и «+ Ьв = сопев (рис. 2.9). С точностью до бесконечно малых величин более высокого порядка малости объем ЬT этого шестигранника можно считать равным объему прямоугольного параллелепипеда с ребрами Ьг, гЬ~р и Ьв, т.е. ЬУ = гГЛтО.рО.в.
Пример 2.5. Расставим пределы интегрирования в тройном интеграле 1 = Я и Рту и ырра по замкнутой области Я, ограниченной плоскостями 9 =0, в = О, в = а и поверхностью у = ~/2х — тв (рис. 2.10, а). Вычислим этот интеграл, переходя к цилиндрическим координатам. Рис. 2.10 121 2.6. Цилиндрические и сферические координаты В прямоугольной системе координат тройнои интеграл преобразуется в повторный следующим образом: 3 тзл область Р, являющаяся проекцией пространственной о ас " области интегрирования Я на координатную плоскость хОу, описыв 0 сывается с помощью неравенств 0 х < у < ~/2х ив хз (рис. 2.10, б), Эти неравенства можно заменить 2 < 2х. Переходя к полярдвумя неравенствами у > 0 и х + у х. ным координатам в пл оскости хОу запишем последние два > неравенства.
В результате получим представление замкнутои области Р: Р = ((т; ~р): 0 < ~р < я/2, 0 < т < 2 сов р~. С помощью этого представления для р р ассмат иваемого трои- ного интеграла получаем т/2 2 сов т а 1 = йр гсвг»гд» = О О О т/2 т/2 О2 ~2соет 4 2/ З г 8 З ./ Π— йр= — а сое <рйр= — а . б !О О О П име 2.6. Вычислим объем Ъ~/ тела Я, ограниченного 2 = 3» и асполосферои х ф " 2+62+»2 =4 и параболоидом х +у = » и р женного внутри параболоида (р .
. ). ис. 2.11). В п ямо гольной системе координат объем пространственной замкнутой области равен тронному интегралу мкнутой о асти от ф бл функции тождественно равной единице, 2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 122 Рис. 2.11 т.е. объем тела Я равен $~2 = НхдР~Ь. Поскольку рассматриваемое тело является л-цилиндрическим, то а2(~,и) К~ = йхйрйя = сЬЫУ оя, О н(ю) где .0 — проекция тела Я на плоскость хОу, 21(х,у) — функция входа, графиком которой является часть параболоида, а 22(х р) — функция выхода, графиком которой является часть 32 Х Р сферы. В данном случае граница замкнутой области Р совпадает с проекцией линии пересечения сферы и параболоида, а чтобы найти уравнение этой проекции, достаточно из уравнении двух поверхностей исключить переменное 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
