VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Поэтому считают, что центр масс пл асс пластины лежит в плоскости ее основания и имеет координаты 2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 140 Пример 2.14. Вычислим геометрический момент инерции треугольника, ограниченного прямыми х = 3, р = 3, х + у = 3, относительно оси Оу (рис. 2.16). Геометрический момент инерции относительно оси Оу может быть вычислен по первой формуле (2.44), причем в ней следует положить рс(х, р,я) = 1. Для заданной области Р, имеющей форму треугольника, находим 3 3 3 ,УОт= Х 118= ЙХ Х тЬ= Х 11Ххх — = —. Ф 11 О 3 — х о Рис. 2.17 Рис. 2.16 Геометпрнчестсим т3ентпром масс плоской замкнутой области называют ее центр масс в предположении, что плотность соответствующей плоской фигуры постоянна и равна единице.
Пример 2.15. Найдем координаты геометрического центра масс замкнутой области Р, ограниченной прямыми х = 2, х = р и кривой хгр = 1 (рис. 2.17). Координаты центра масс замкнутой области вычисляем по формулам (2.46), в которых р8(х,р,г) ив е 1, а та* представляет собой площадь замкнутой области. Сначала находим площадь Я замкнутой области Р: 2 х г х2 1 2 х=~~аь=~~)'ю =/( — —,)а =( — ' --) 12 1 1/хх 1 141 2.7.
Привокеиих Лвойвых и тройиых иитеграхов Затем переходим к вычислению координат центра масс. Для абсциссы хс имеем Аналогичным образом вычисляем ординату центра масс: 2 х г О ~ ~ 1~( Р) 48' и 1 1/хе 1 Пример 2.16. Найдем силу, с которой материальны точка М (х р з ) массой тпе притягивается телом с плотностью о~хо~ус~ а 1хз р(х, р, «), занимающим кубируемую замкнутую область Я С Й . Как и в примере 2.10, замкнутую область Я разобьем на частичные области ф, 1' = 1, и, имеющие объемы Лаз и приближенно примем, что масса частичной области Ч1 равна Лапе = р(х,,у;,21)~М/1 и сосредоточена в некоторой точке М1(х,", р,",21) Е ф.
Материальная точка М; притягивает точку Ме с силой, которзл по абсолютной величине равна тпосЪтп; 2 где 1х — гравитационная постоянная (см. Т.1), а расстояние между точками М; и Мо. Эта сила направлена от Мо к М; и имеет на оси координат проекции г.
тРОЙные интеГРАлы 142 Для проекций равнодействующей силы притяжения точки Мо всем телом запишем р(х;,убх;)(у; — УО) э1~ 1=1 ((хг - хо)' + (у*. - Уо)' + ( в — эо)') Р(хЪ,УЬ,Х1)(Х1 — ХО)ЬЧ ;=1 ((х1 — хо)' + (У1 — уо)' + (х — хо)') Если эа точные значения проекций принять пределы интеграль- ных сумм в правых частях этих соотношений при стремлении к нулю диаметра разбиения замкнутой области, то получим Р(х, У,з)(х — хо) ~Л' ((х — хо)г + (У вЂ” Уо)г + (з — яо)г) Р(х У ~Н~ ~о) ((х хо) +(У Уо) +(з хо) ) Пусть материальную точку Мо(0;ОГло) притягивает круглая пластина радиуса В с центром в начале координат и поверхностной плотностью ря = сопзз, лежащая в плоскости хОу.
Масса пластины равна оз = яВ~РЯ. Тогда в силу симметрии Р~ = Р„= О, а для проекции Р„полагая в (2.47) хо = уо = х = 0 и заменяя р(х,у,х) ИУ на рясБ, придем к двойному интегралу по замкнутой области В = ((х;у) Е йг: хг+ уг ( Вг1: о'Я ~г"оряхо ° г г г з(г ' +у +хо) Рх — ~озо Я Р=Ом) Я Р, =Сто Р(хб Уи х1 ) (х1' — хо) ЬЧ ((х х )г+(у у )г+( )г)з Р(х У з)(У вЂ” Уо)Ы~ ((х — хо)г + (У вЂ” Уо)г + (» — хо)г) зуг ' (2.47) г.7. Прнлохеннн двойных н тройных ннтегрелон 143 Переходя к полярным координатам т, ог, в соответствии с теоремой 1.13 и примером 1.12 находим гн и т Ит торя«о = — СтоРл«о 'йр г г зуг 2яС ("г+«ог)зуг (тг+«'- о = 2яСторя«о — — ( = -2С вЂ” г«о 1 '1 тот ~Л +«о — 1«о1 В'+ «, 1«о1( Вг 1«о1~Яг+«о Если материальная точка Мо удаляется от пластины, например, вдоль положительного направления оси Ов, так, что размеры пластины оказываются много меньше ее расстояния до материальной точки,то,переходя к пределу при В/«о -+ О, получим Р, = — 2Стот Бш ,/Вг+ х я/хе >+о Вг,/Вгг+« у'Т«УЯ вЂ” 1 = -2Стот Иш х1" м х',/Г~Ф7х н ' В этом случае пластина притягивает точку Мо так, как будто вся масса пластины сосредоточена в ее центре.
Аналогичный результат получим, если точка Мо будет удаляться вдоль отрицательного направления оси Оя. При «о -+ О существуют лишь односторонние пределы величины Р,. Действительно, при «о -+ +О имеем р 2С о™ 1 ~Л + о 1 о1 2Сто Р, = — 2С вЂ” г 11ш «о В А+о 1 1~Л2+ В а при «о — ~ — О— р тот . ~/В + «о 1«о1 тот Р, — 2С г 1~~~~ «о . х — 2С вЂ”. Пределы равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку.
Но это не противоречит физическому смыслу задачи: 2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 144 абсолютная величина силы притяжения стремится к одному и тому же значению при 20 -+ О, но направление силы притяжения зависит от знака 20 в окрестности предельной точки, так как сила направлена в сторону притягивающей пластины.
Пример 2.17. Найдем силу, с которой притягивает материальную точку М0(0;Орле) массой тв0 цилиндрическое тело Я, имеющее плотность р = сопз$ и ограниченное цилиндрической поверхностью хз + у2 = В2 и плоскостями г = тН. Так как тело Я симметрично относительно оси Оз, сила притяжения будет направлена вдоль этой оси, т.е. в (2.47) Р = = Рд — — О. Полагая в третьем равенстве (2.47) я0 = уе = 0 и переходя к цилиндрическим координатам, получаем 1 Г 1 (я «0)™ч ЙР рня Рн тв0Рц/ ЗУ2 ./,/,/ ( 2 + (~ ~ )2)З 2 Н Н тот = 2яб~тпеР I (» — яо) Ня / Г / (т2+ (я,о)2)'~' Н 1 я = — 2нр~( — а)р , -~.—.й~ь 1 1 = — 2хСтпер (.-ж)"= (ррн*р( -нт Л:нт) -Н = — 2 н~р(ррн рр~ — т др т1 ю-Н =р н~р(/ю р~~~ -ГФ7~н-~~ -,~н-н~-~нм,~). Проанализируем полученный результат. Ясно, что при 20 = = 0 в силу симметрии Р, = О.
При хе = — Н материальная точка находится в центре нижнего основания цилиндрического тела Р;=2 с р~нррн — рйр4Фр', р =и р. тяжения имеет ту же абсолютную величину, но направлена в 2Х Приложении двойных и тройных интегралов 145 противоположную сторону. Производная функции, выражающей зависимость Р, от координаты го притягиваемой точки, равна » о ' ' ~~+(а+)~' /я'»-(и:Д~) ( Н вЂ” хо Н+яо ~1 "~ ' ~1Н-,~+!Н+,!( Из этого равенства заключаем, что производная отрицательна при го Е ( — Н, Н), терпит разрыв в точках яо = ~Н и положительна при ~яо~ > Н (рис.
2.18). Рис. 2.18 Поскольку масса цилиндрического тела равна гп = 2ярЯ2Н, силу притяжения можно представить в виде я =а ' »»Гя'+~н Π— »/мин-~~ цн-н~-~н+ я). Н2Н ~ Сохраняя В и массу гв тела постоянными, устремим Н к нулю при условии ~хо~ > Н. В результате получим 1 г »ы — ~ /я.»»н»,,» -» я'»-»и и»'»-~н- я-~н»- О) = и-+оН~ +во ( Н2+2Няо Н2 — 2Нхо ~ = 1пв ~ 1+ — 1+ + и-+о Н ~ Нг + яо2 Я2+ х2 + 1пп !Н вЂ” яо~ — ~Н+яо~ яо яо — 2 2 и-ьо Н,/Й2+ яо !яо! 2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 146 Таким образом, тот 1' 1 1 1 и-«о Ня ~ /Йз+ У Я/' 1пп Р, =20 го т.е. приходим к результату, полученному в примере 2.16 для круглой пластины.
Отметим, что предельная при Н -+ О сила притяжения Р„как функция переменного яо, имеет в точке яо разрыв первого рода. Пример 2.18. Цилиндрические координаты можно использовать и при вычислении силы, с которой материальнал точка массой то притягивается однородным шаром Я радиуса В и плотности р = сопаФ. Выберем прямоугольную систему координат Охух так, чтобы центр шара оказался в начале координат, а точка Мо — на оси Ох с аппликатой го > О.
Вследствие симметрии шара сила притяжения будет направлена вдоль оси Ох. Полагая в третьем равенстве (2.47) хо = уо = О и переходя к цилиндрическим координатам, находим (х — хо) гогй9>пх Р« =Отар // з(а Я П (,. + (, ).) «ч ~/Я2 «2 гй 3/2 (г~ + (г — яо)~) -и о 1 ~ « — «/Я2 «2 = — 2« р~ ",(.—.о*, и н / (х — хо) пх / (я — «о) пх = 2яСтор 3 ~* М 3 ««' — 2 Щ) -В -В = 2хС™оР% — Тг) .
2.7. Приложеиии двойиыи и тройиых иитегрелов 147 Подынтеграпьной функцией первого интеграла 11 в правой части равенства является ОЗп(« — «о). Поэтому этот интеграл при «0) В равен 12 — --2В. Если же «о <В, то Хг = — гг«+ гг« = -2«о. Для второго интеграла 12 интегрированием по частям на- ходим (« — «а) "« 12 = ~~ — 2 <- -Я я ««О 2 2 Вг 2««о+ «о + Вг — 2««о+ «о гЬ = «О р «о («а — В)~«о — Н («а+В)~«о+В~ 1 Вг — ( — 2««о+ «о) «О Отсюда 12 = 2Вз/(З«02) — 2В при «о ~ В и Хг = — 4«о/3 при «о < В. В итоге имеем 4ггВзбтор «О и З«0 4н~тар«о «о<В. Р, = 2вбтор(Хг — Хг) = Таким образом, однородныи шар массон т = -яВ р притяги4 2 вает материальную точку, находящуюся вне шара или на его границе («о > В), так же, как и материальная точка массой т, находящаяся в центре шара.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
