VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 20
Текст из файла (страница 20)
В этом случае е е р(Ез) — р%) < р(Р)+- — ЯР)+ — =я. 2 2 Так как Е~ С Ез, то в силу аддитивности меры ЯЕг ~Е~) = = р(Ег) — р(Е~) < е. Поскольку множество Е~ содержится во внутренности множества Р, то Е~ й дР = И. Множество Ег как элементарное является замкнутым. Поэтому Р С Ег и, следовательно, дР С С Ег. Таким образом, дР С (Ег '1Е~). Подводя итог, заключаем, что множество дР содержится в элементарном множестве 160 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Еэ ~ шФЕ1, мера которого меньше е. Согласно замечанию 3.1, множество дР имеет меру нуль. Достаточность. Пусть граница дР ограниченного множества Р является множеством меры нуль.
В силу замечания 3.1 для произвольно выбранного числа е > 0 существует элементарное множество Е, которое включает в себя дР и имеет меру р(Е) < е. Рассмотрим множества Еэ — — РОЕ и Е1 = РР*1Е. Можно показать, что множества .Е1 и Ез являются элементарными. Так как Е1 С Р С Еэ, то верны неравенства р(Е1) < р(Р) < ЩР) < р(Еэ). Отсюда следует, что ЯР) — р(Р) < р(Еэ) — р(Е1) = р(Е) < е. Поскольку е > 0 выбрано произвольно, то отсюда вытекает, что р(Р) — р(Р) = О, или фР) =ЩР).
> Пример 3.2. В К" рассмотрим множество Р точек промежутка Р = [О, Ц х ... х [О, Ц, у которых все координаты ра; циональны. Это множество не является измеримы, так как граница множества Р— весь промежуток Р. Действительно, какую бы точку х = (х1, ..., х„) Е Р мы ни взяли, можно выбрать точку у с рациональными координатами, расположенную сколь угодно близко от точки х. Например, достаточно выбрать рациональное число у1 Е [О, Ц, для которого ]х1 — у1! < е, рациональное число уэ Е [О, Ц, для которого ]хэ — уэ! < е, и т.д.
Тогда для точки р =(у1, ..., у„) Е Р имеем в ~~~ (х — у )э <е~/п. 1=1 Но точно так же вблизи произвольной точки х Е Р можно выбрать точку, у которой хотя бы одна координата иррациональна и которая, следовательно, не принадлежит .Р. Это означает, что каждая точка промежутка Р является граничной точкой множества Р. Поскольку граница множества Р— промежуток единичной меры, множество Р не является измеримым. 4~ 1б1 3.1. Мера Жордана На меру юмеримых множеств переносятся основные свойства меры элементарных множеств.
Свойство 3.1. Множество измеримых (по Жордану) множеств в Ж" замкнуто относительно теоретико-множественных операций. А именно если множества В1, Р2 С й" измеримы, то множества В1 0.02, В1 П В2, Р2 ~ Р1 также измеримы. ~ С учетом теоремы 3.1 достаточно доказать, что для юмеримых множеств Р1 и Р2 множества д(В1 0Р2), д(Р1П Р2) и д(Р2 '1 Р1) являются множествами меры нуль. Отметим вытекающие из свойств теоретико-множественных операций включения д(Р1 0 Р2) С д.р1 0 др2, д(Р1 ОВ2) С др1 0др2, д(Р1 ~Р2) С др 0др2.
Если множества Р1 и В2 юмеримы, то, согласно теореме 3.1, множества др1 и др2 имеют меру нуль. Но тогда множество др1 0 др2 имеет меру нуль, а в силу отмеченных включений меру нуль имеют и границы множеств д(Р1 0.Р2), д(Р1 й В2) и д(В2 ~ Р1). Следовательно, зтн множества измеримы. ~ Свойство 3.2. Мера измеримых множеств обладает свойством монотонности: если множества В1, Р2 С И" измеримы и Р1 С Р2, то бб(Р1) < бб(Р2).
~ Поскольку любое элементарное множество Е, содержащее в себе множество Р2, включает в себя и множество Р1, то р(Р1) < р(Р2). Множества В1 и Р2 юмеримы. Следовательно, Й(Р1) бб(Р1) ~ ~Р(В2) бб(Р2) Свойство 3.3. Для измеримых множеств Р1,.02 С й" имеет место равенство р(Р1 0Р2) = бб(В1) + р(Р2) — р(Р1 П Р2). (3.5) б — 9100 162 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ < Заметим, что, согласно свойству 3.1, множества В1 01)г и Р1 П Рг измсрим, так что слагаемые в равенстве (3,5) определены. Выберем произвольное число е ) О. Из определения 3.1 следует, что для множества Р1 найдутсл такие элементарные множества Е1 и Р1, что Е1 С Р1 С Р1 и р(Р1)-е<р(111) <р(Е1)+ . (3.6) д(Рг) е < РФг) < р(Ег)+е.
(3.7) Сложив неравенства (3.6) и (3.7), получим р(Р1) + р(Рг) — 2е < р(111) + р(йг) < р(Е1) + р(Ег) + 2е. (3.8) В то же время Ьь 0 Ег С Р1 0 Рг С Р1 0 Рг Е1 П Ег С В1 П Рг С Р1 П Рг Иэ этих включений и свойства монотонности меры следуют неравенства р(Е1 О Ег) < д(Н и.0г) < р(Р1 и Рг) р(Е1 П Ег) < р(01 П Рг) < р(Р1 П Рг). Складывая эти неравенства, а затем используя свойства 1' и 3' меры элементарных множеств, получаем р(Е~)+р(Ег) ~ ~рР1 01Ь)+р(Р1 Пйг) ~ (р(Р1)+р(Рг).
(3 9) В итоге, учитывая (3.8), находим д(Р1 0 Пг) + р(П1 П.Ог) — 2е < р(В1) + р(Рг) < < р(Р1 ОЮг)+р(01 ПЮг)+2е. Аналогично для множества 11г существуют такие элементарные множества Ег и Рг, что Ег С Рг С Рг и 163 3.1. Мера Жордаяа Поскольку е может быть выбрано произвольно, то р(Р10Р2)+р(П111Р2) =р(Р1)+р(Р2), а это равносильно равенству (3.5). ~ Мера пустого множества равна нулю. Учитывая это, заключаем, что если измеримые множества Р1 и Р2 не пересекаются, то Р(П1 0 П2) Р(П1) + И(П2) (3.10) т.е.
мера Жордана обладает свойством аддитивности. Сформулированное утверждение верно и в более общем случае, когда измеримые множества не имеют общих внутренних точек. Действительно, тогда множество Р1 ПР2 не имеет внутренних точек и содержится в своей границе, совпадающей с замыканием множества. Так как множество Р1 й П2 измеримо, то его граница, а следовательно, и само множество имеют меру нуль, т.е. р(Р1 П Р2) = О.
С учетом этого равенства соотношение (3.5) сводится к равенству (3.10). Свойство 3.4. Если множества Р1, П2 С К" измеримы и П1СР2, то И(П2 1П1) И(П2) И(П1) (3.11) < Множество Рз = Р2 '1 Р1 измеримо, и для него верны соотношения Рз О П1 = П2, Рз Г~ Р1 = к1. В силу равенства (3.5) имеем р(Р2) = р(Пз) + р(П1), что равносильно (3.11). ~ Свойство 3.5. Если множество Р С К" измеримо, то его внутренность 1п2 Р и его замыкание Р измеримы, причем ФАР) = р(й) = р(П). < Если множество П измеримо, то его граница дп имеет меру нуль.
Так как множество Р 1П есть часть границы множества 164 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Р, т.е. включено в множество дР меры нуль, то р(Р ~ Р) = О. Множество Р как объединение двух измеримых не пересекающихся множеств Р и Р '1 Р является измеримым, причем в силу свойства аддитивности меры Аналогично можно доказать, что множество 1пФ 0 как разность двух измеримых множеств Р и Р 1дР измеримо и имеет меру, совпадающую с,и(Р). ь Из сформулированного свойства и его доказательства можно сделать важный вывод: включение в множество части его границы или, наоборот, исключение из множества части его границы не влияет ни на условие измеримости множества, ни на значение его меры.
3.2. Интеграл но измеримому множеству Пусть Р С К" — из.иерпмое миожеставо. Конечный набор Т = 101, ..., Ру) измеримых множеств Р, включенных в Р, назовем разбиением миожестпва Р, если никакие два из множеств Р не имеют общих внутренних точек, а объединение всех множеств Р есть Р, т.е. 1пФ(РХ Г~ Рь) = И, у, й = 1, Л, Х ф й; М Р=ЦРу.
Множества .01, составляющие разбиение Т, будем называть часгпичиььии мкожестпеами разбиения Т. Так как частичные множества .01, ..., Р;ч разбиения Т не имеют общих внутренних точек, любое пересечение Р й Рь, у уЕ й, есть множество меры нуль. Учитывая зто, на основании 3.2. Интеграл по лэмеримому множеству 165 свойства 3.3 меры Жордана заключаем, что (3.12) Разбиение Т = (Р1, ..., Рм) множества Р характеризуется диаметрами й частичньсс множеств Р;. Наибольший из них мы обозначим а(Т) и назовем диьметпром разбиения Т. Таким образом, а(Т) = шах а'. 1=1,Ф Пусть множество Р С К" измеримо и на этом множестве задана скалярная функция многих переменных 1: Р -+ й.
Возьмем некоторое разбиение Т = (Ры ..., Ри) множества Р, в каждом частичном множестве Р этого разбиения выберем какую-либо точку с и образуем сумму (3.13) Эту сумму называют интпеералеъной суммой функции,~(х), соответствующей разбиению Т и набору точек ~~, у = 1, и. Обратим внимание на то, что интегральная сумма данной функции на фиксированном множестве Р С И" зависит не только от разбиения, но и от выбора точек С Е Р.
в частичных множествах Р разбиения. Изменяя набор точек (;, мы получим уже другую интегральную сумму. Определение 3.2. Скалярную функцию многих переменных Дх), определенную на измеримом множестве Р С И", называют интпеерируемой (по Рилеану) функцией на Р, если существует конечный предел 1 ее интегральных сумм о'(Т) при а(Т) -+ О, т.е. если для любого числа е ) О существует такое 166 3.
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ число 6 = б(е) ) О, что для любого разбиения Т = (Р~, ..., РН~ множества Р с диаметром й(Т) < Б(е) и любого выбора точек 4. Е Р для соответствующей интегральной суммы Б(Т) вьшолу няется неравенство ф(Т) — 1~ < е. При этом конечный предел 1 интегральных сумм называют мратпным ингпеерилом Римака от функции 1(х) по множеству Р и обозначают 1(х) Их = " 1(х„...,х„) Их, ... ~Ь„, В В где х=(хм ..., х„) ЕЖ". Пример 3.3. Пусть функция 1(х) постоянна на измеримом множестве Р С И", т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
