VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 24
Текст из файла (страница 24)
хЕРу уЕ[уь-ь уь] 188 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Позтому т ИСьуЬ < Р(х) <~~1 М Ьйуо. Следовательно, Я туьйуь < ти~~ < МР < ~Муь]'.] уь. Умножая зти неравенства на [1(Р ) и суммируя по всем значе- ниям индекса у, заключаем, что ~ т ь[ь(Сув) <~ т р(Р1) < 3=1Ь=1 3=1 < ~,М1[а(Ру) < ~~ ~~~,Муь[](Си) (3.37) 3=1Ь=1 так как [1(саь) = [1(Р3)ьуь для всех комбинаций входящих в равенство индексов. Неравенства (3.37) в соответствии с определениями нижней и верхней интегральных сумм означают, что Б(Т) < БР(Т') < $Р(Т') < $(Т).
(3.38) Поскольку функция Дх,у) интегрируема на множестве С, то, согласно лемме 3.3 и теореме 3.4, 11ш $(Т) = 1пп $(Т) = Ях,у)йу =1. а[т>- о а[т] о В соответствии с (3.38) имеем Бш ЯР(Т~) = 11ш ЯР(Т) = 1 а[т]-ьо а[т]- о З.о. Сведенне кратного ннтеграва к повторному 189 а это в силу теоремы 3.4 означает, что функция г (х) интегрируема на множестве Р, а ее кратный интеграл на этом множестве равен Х, т.е.
верно равенство (3. ). 3.36). ~ Пример 3.5. Вычислим п кратный интеграл 1= " хд...х„Нхд... Ых„ дд по множеству Р точек х = (хд, ..., х„) Е, рд Жв коо ипаты которьдх о ьдх удовлетворяют соотношениям х; Е „', „'0 1] д = 1 и — 1, О < < х„< хд...х„д. Множество Р является правильным множеством относительно п-й координаты. Обозначим Р„д = 1(хд, ..., х„д) Ей." д: х; Е [0,1], 1=1, дд — 1). Тогда выполнены условия теоремы 3.8, и можно использовать р авенство (3.36). В результате получаем хь,.хв-д 1= " хд...х„дйхд...дхв д хнах„= 0 дд„д = — / " / хд...х„ддЬд...
сЬ„д. 2 „/,/ дд„ Множество Р„д снова явл является правильным относительно (дд — 1)-й координаты и может быть представлено в виде Р„д —— =Ре эх[0,1],где Р„з=((хд, ..., хв з)ЕЖ~:хдЕ[0,1], д=Т,а-й). Вновь можно применить теорему 3.: 3.8: 190 а кРА тные интеГРАлы Внутренний интеграл не зависит от переменных х1, ..., х„1. Поэтому повторный интеграл можно записать в виде 1 — / " ~ Х1...Х„ЗИХ1... СЬя З Х„11Ь„1 2,/,/ и„, т.е. как произведение кратного и определенного интегралов. При этом кратный интеграл по множеству Ре в отличается от кратного интеграла по множеству Р„1 лишь количеством переменных. Повторяя процедуру „расщепления"кратного интеграла, приходим к его представлению в виде произведения и — 1 идентичных определенных интегралов: Это представление приводит к ответу 1 1= 2 4" 1 3.6.
Замена переменных в кратном интеграле Пусть в области Ре С К™ задана функция многих переменных (отображение) Ф: Ре -+ .Р С И", удовлетворяющая двум условиям: 1) функция Ф осуществляет биективное отображение области Ря на область Р; 2) функция Ф непрерывно дифференцируема, причем в каждой точке д Е Ря ее Якобиан йе1 Ф'(д) отличен от нуля. В силу сформулированных условий функция Ф имеет обратную функцию Ф 1, осуществляющую отображение области Р, взаимно однозначно на область Рд. Согласно теореме об обратной функции, обратная функция Ф 1 является непрерывно диф- 191 3.6.
Замена неремекнык в кратном ннтеграее ференцируемой, а ее якобиан Йе1(Ф 1(х)) в произвольной точке х Е Р связан с якобианом функции Ф в точке д = Ф 1(я) равенством дев(Ф (х)) = (йеФФ'(д)) В частности, якобиан бе$(Ф 1(х)) не равен нулю в любой точке э Е Рв.
Функцию Ф можно рассматривать как связь переменных 91, ..., д„, соответствующих координатам точки д е Ре, с переменными э1, ..., эа, соответствующими координатам точки х Е Р . Эта связь задается уравнениями кч = Ф;(91,..., д ), г = 1, и, (3.39) где фм ..., фа — координатпные функции векторной функции Ф. Переход от переменных э1, ..., ха с помощью формул (3.39) к переменным дм ..., д„будем называть эа веной переменныж. При этом области Рв и Ре естественно назвать областями изменения соответствующих переменных. В дальнейшем под заменой переменных мы будем понимать не только переход от одних переменных к другим, но и функцию Ф, удовлетворяющую условиям 1 и 2, которая обеспечивает указанный переход.
Введенное выше понятие замены переменных наталкивает на мысль, что в кратном интеграле от некоторой функции Дх) по множеству С С Р, можно перейти от переменных х к переменным д и тем самым к кратному интегралу по множеству Се — — Ф 1(Ск), являющемуся прообразом множества 0 при отображении Ф. Такой переход должен осуществляться согласно формуле (3.40) в которой функция г'(д) некоторым образом соответствует функции Дя).
Высказанное предположение косвенно подтверждается правилом замены переменного в определенном интеграле. 192 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Но прежде чем конкретизировать формулу (3.40), т.е. выяснить конкретный вид функции г'(д), следует рассмотреть вопрос о том, как замена переменных влияет на условие измеримости множества. Лемма З.Т. Пусть задана замена переменных Ф: Р -+ Р, где Рв и Р— области в К".
Если Св С Рв — замкнутое множество меры нуль, то его образ С = Ф(Св) С Р при отображении Ф является множеством меры нуль. ~ Пусть Ф1(д), ..., 4~„(д) — координатные функции векторной функции Ф(д). Так как эти функции непрерывно дифференци- руемы, для них верна формула конечных приращений, т.е. ф(д+Ьд) — 4~;(д) =Ф,'(д+дЬд)Ьд, ь'=1, и, дб (О, 1), (3.41) ]Ф (ч+ ~ч) — Ф*.(ч)] < м]~~] (3.42) где точки о и о+ Ьд в области Рв таковы, что этой области принадлежит отрезок [д, д+ Ьд] в К", соединяющий эти точки. Приведенная формула представляет собой формулу Тейлора с остаточным членом в Яорме Лаеранжа, примененную к скалярным функциям ф;(д). Множество Св замкнуто и, будучи измеримым, ограничено, т.е.
является компактом, целиком лежащим в Рв. Поэтому можно выбрать такое элементарное множество Ею содержащее Сю которое целиком включено в область Рв. При этом, увеличивая немного, если необходимо, промежутки, составляющие множество Ею можно считать, что множество Св попадает во внутренность множества Ев. На множестве Ев как на компакте все частные производные — * функций ф; ограничены.
Поэтому на основании формулы дф; дф конечных приращений можно утверждать, что существует такое число М ) О, что для всех функций ф;(о) и для любых точек о и о+ Ьд, для которых отрезок [д, о+ Ьд] в К" целиком содержится в Ею выполняется неравенство З.о. Замена переменных в кратном ннтеграае 193 Выберем произвольное число е ) О. Так как множество Се имеет меру нуль, существует такое элементарное множество Ею которое содержит Се и имеет меру п(Ее) < е.
Мы можем считать, что Ее С Ею так как иначе вместо Ее можно было бы рассмотреть множество Ее П Ею которое также является элементарным, содержит Се и имеет меру менее е. Пусть элементарное множество Ее состоит из промежутков Р1, Рз, ..., Р,„. Поскольку каждый промежуток Ра целиком попадает в Ею причем с любыми точками д и д+ Ьд, попавшими в Рю этому промежутку принадлежит и отрезок (д, д+ Ьд], то верно неравенство (3.42). Выбирая элементарное множество Ее, мы можем считать, что составляющие его промежутки Рл имеют вид Ра = (аы — б, ам +б] х ... х (ало — б, аь„+б], (3.43) т.е.
являются равнореберными. Действительно, как и в случае Ею можно считать, что Се содержится во внутренности множества Ее, и тогда появляется возможность чуть-чуть уменьшить размеры промежутков Ра. Выбрав достаточно малое б и уменьшив длины ребер промежутков не более чем на б, можно добиться того, что каждый из промежутков будет иметь разбиение на конечное число равнореберных промежутков. Итак, мы считаем, что множество Ее состоит иэ конечного числа промежутков вида Рь (3.43), й =1,тп, целиком включенных в Ее. Мера каждого промежутка Рь равна (2б)", а максимальное расстояние от центра (аы, ..., аа„) до точек промежутка равно ~/пбз = б~/й.
Из неравенства (3.42) вытекает, что образ й(Ра) промежутка Ра целиком попадает в промежуток Яь=(Ьы-Мб~/и, Ьы+Мб~/й]х...х(Ьа„— Мб/и, Ьа„+Мб~/и], мера которого равна (2М)опо/збо. Промежутки ф„й = 1, т, накрывают множество Са = Ф(Се), а их суммарная мера оцени- 194 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ вается следующим образом: р(Щ) ~п(2Я~)внв/24в Мпнв/2 ~ р(р ) я=1 я=1 ать и/2 ф ) ( Мп в/2 Отсюда следует, что множество С, может быть накрыто элементарным множеством сколь угодно малой меры, а потому оно имеет меру нуль.
в Лемма 3.8. Пусть задана замена переменных Ф: Рв -+ Р, где Рв и Р— области в К". Если Св С Рв — замкнутое измеримое множество, то его образ С = Ф(Св) С Р вЂ” тоже измеримое множество. м При замене переменных Ф образом границы множества Ся Явллетса гРаница множества Св. Действительно> пУсть 9 Е дСд и х = Ф(д). Точка х принадлежит множеству 6 = Ф(Ся) и может быть либо внутренней, либо граничной точкой множества С . Предположим, что х является внутренней точкой Св.
Тогда существует окрестность У точки х, целиком включенная в Св. В силу непрерывности функции Ф существует такая окрестность У точки д, что Ф(У) С У. Так как У с Св, а отображение Ф взаимно однозначно, заключаем, что У С Св, и точка д является внутренней точкой множества Св. Но это противоречит выбору этой точки. Следовательно, точка х не может быть внутренней точкой множества Св, т.е. х Е дСв. Итак, мы доказали, что точки дСв при отображении Ф переходят в точки дСв. Но точно так же точки дС при обратном отображении Ф 1 переходят в точки дСя. Так как множество Ся замкнуто и измсрим, его граница дСв принадлежит Рв и имеет меру нуль. Согласно лемме 3.7, множество Ф(дСя) = дС имеет меру нуль, а потому множество Св измеримо. > 195 3.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
