VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Если функция 1(х,у) дважды непрерывно дифференцируема в Р, то погрешность В1 можно оценить, имел в виду, что кубатурная формула (4.13) является частным случаем приближенной формулы (4.3) при га = и = 1, 221 4.2. Куоатурные формулы Ьх = 6 — а и Ь„= д — с. Поэтому в соответствии с (4.7) имеем !В1~ ( — ((6 — а) Мг, + (д — с) Мги), (4.14) где Мг и Мгя — максимальные значения модуля частных производных ~( 'и) и дхл аул Приближенная формула (4.3) также является кубатурной формулой, соответствующей узлам (х;;у ), расположенным на пересечении прямых х = х;, 1 = О, т, и р = и„у = О, н.
Погрешность В такой кубатурной формулы оценивается неравенством (4.7). Отметим, что кубатурную формулу (4.3) можно рассматривать как применение кубатурной формулы (4.13) к частичным областям, на которые прямоугольник Р разбивается прямыми х = х;, 1 = О, т, и р = у., 2 = О, н. Погрешность В кубатурной формулы (4.3) имеет оценку (4.14), пропорциональную квадратам линейных размеров настпииных областей разбиения, или квадрату диаметра разбиения В этом случае говорят о втором порядке тонности кубатурной формулы. Если известен порядок точности кубатурной формулы, то для вычисления погрешности и уточнения приближенного значения интеграла можно применять метод Рунге, но при этом должно выполняться условие Ь /Ьи —— = сопв$. Если функция Дх, у) является линейной, то ее среднее значение в прямоугольнике Р достигается в центре прямоугольника, т.е.
в данном случае 7 = ~(х, у), В1 = О и кубатурная формула (4.13) дает точное значение двойного интеграла. Если используется кубатурная формула (4.3), а функция у(х,у) линейна в каждом частичном прямоугольнике разбиения, то и в этом случае кубатурная формула дает точное значение интеграла. Рассматриваемые кубатурные формулы точны не только при интегрировании по прямоугольнику, но и для любой плоской замкнутой области Р' с площадью Я, если в Р' подынтеграль- 222 4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ная функция лин ейна а У и у — координаты так называемого центра тяжести втой замкнутой области, вычисляемые по формулам х = — хйхйу, у = — Ц рйхйр.
(4.15) 1 ГГ У и' Действительно, пусть Г(х,п) =Ах+Ву+С. Тогда | ,Г(х,у)йхйу=А хйхйу+В доход+С дхИу= 0' В' в' = (Ах+ Ву+ С)Я =,Г(х,у)Я. Применение кубатурной формулы (4.13) в варианте с центром тяжести (х;у) ц ( ) елесообрззно лишь для областей простой центра тяжести не является трудоемким. Например, для треугольника, как известно, центр тяжести совпадает с точкой пересечения медиан. Пусть область интегрирования Р ограничена ломаной.
Тогда ее можно раз взбить на прямоугольные и треугольные частичные области Р с площадями Я. ' = 1 гГ. В каждой из чных областей Р выберем ее центр тяжести (х ", у ) и пою о м л (4.13): строим кубатурную формулу, обобщающую формулу (4.16) Эта кубатурная формула будет точной для любои функции Г(х,тп), линейной в частичных областях Р . Оценить точность кубатурнои форму ( . ) д лы (4.16) ля произвольной дважды непрерывно дифференцируемой функции 4.2.
Кубххуряые формулы Дх,у) можно, заменяя приближенно функцию Дх,у) на каждой из частичных областей Р разбиения линейной функцией Цх,у), например, с помощью формулы Тейлора первого порядка. В этом случае разность шах ~/(х,у) — Цх,у)~ пропорци(хи)ехЧ ональна квадрату диаметра частичной области Р., а точность кубатурной формулы (4.16) — квадрату диаметра разбиения, т.е. кубатурная формула имеет второй порядок точности. Кубатурные формулы высокой точности можно получить, приближенно заменяя подынтегральную функцию Дх,у) многочленом Р(х, у) двух переменных. Построение многочлена Р(х, у), аппроксимирующего заданную функцию у(х,у), можно выполнять в рамках задачи интерполяции, предполагая, что если Р(х,у) совпадает с Дх,у) в заданных точках, то значения многочлена и функции будут близки и в других точках.
Однако в этом случае построение аппроксимирующего многочлена требует выполнения некоторых усювий. Напомним, что для однозначного построения интерноллиионного многочлена Лагранжа степени и — 1 необходимо знать значения интерполируемой действительной функции одного переменного в п узлах интерволлиии (в этих узлах значения многочлена и функции совпадают). В случае двух переменных полный интерполяционный многочлен степени т Р(х,у) =аоо+а1ох+ао1у+аыху+агох +аогу +" + г г +арохру~+...+а„,ох~+ах, ц1х~ ~у+...+аох,у состоит из всевозможных одночленов а,щх"уо степени р+ у < т. Общее число коэффициентов ар равно К = (т+1)(т+2)/2. Для их однозначного определения необходимо задать значения функции /(х,у) в К точках (хь;уь) Е Р.
Тогда усювия Р(хл, уь) = /(хь,уь) в совокупности дадут систему К линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). 224 4. ЧИСЛЕННОЕИНТЕГРИРОВАНИЕ Таким образом, не любому числу точек с заданными значениями функции соответствует полный интерполяционный многочлен двух переменных. Кроме того, узлы интерполяции нельзя выбирать произвольно. Действительно, для линейного многочлена (т.е. при т = 1) имеем К = 3 и СЛАУ аоо+ а1 0Х1+аоДУ1 = 2 (Х1,У1), О00+ 01,0Х2+О0,1У2 = 2 (Х2,У2)) а00+а10хз+а01уз =У(хз,уз) (4.17) с тремя неизвестными коэффициентами а0,0, а10, аед. Чтобы СЛАУ имела единственное решение, ее определитель Х1 у1 1 хз уз 1 хз уз 1 Дз = (4.18) 'См., например: Березин И.С., Жадное Н.Н.
должен быть отличен от нуля. С геометрической точки зрения значение ~Дз~ равно удвоенной площади треугольника с вершинами в выбранных точках (х;;у;), 1 = 1, 2, 3 [Ч). Таким образом, для того чтобы СЛАУ (4.17) имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы выбранные три точки не лежали на одной прямой. Можно показать, что при т = 2 и К = 6 соответствующая СЛАУ имеет единственное решение, есзи выбранные шесть точек не лежат на одной кривой второго порядка, и т.д.
Следует также отметить, что при произвольном расположении выбранных точек затруднена оценка погрешности, возникающей при замене функции ее полным интерполяционным многочленом. Полный интерполяционный многочлен достаточно просто можно построить при совпадении узлов интерполяции с узлами прямоугольной сетки*. Однако этот случай не представляет интереса, так как приводит к кубатурным формулам, уже полученным вьппе (см. 4.1) путем сведения двойного интеграла 225 4.2. Кубатурвые формулы к повторному. Один из возможных путей состоит в замене подынтегральной функции неполным многочленом. При этом за счет рационального расположения узлов интерполяции можно добиться снижения объема вычислений.
Пример 4.2. В прямоугольнике Р аппраксимируем подынтегральную функцвю ~(х,у) так называемым билинейным многочленом Рн(х. у) = аоо+ а1ох+ ао1 у+ апху, выбирая в качестве узлов интерполяции четыре вершины прямоугольника Р. В этом случае, используя значения уоо = у(а, с), ~1О = Щс), Д~ =,|(а,а), ~м = У(Ь,а), многочлен Рм(х,у) можно представить в виде [Ч) (Ь- х)(Ы-у) (х — а)(а-у) Рм(х>у) Уоо (Ь )(,~ ) + Ло (Ь (Ь вЂ” х) (у — с) (х — а) (у — с) +УО1 +Ум (Ь-а)(сК-с) (Ь-а)(И-с) Интегрируя это представление по прямоугольнику Р, приходим к кубатурной формуле м | 1 1 Ях,у)ЕББР'~ ~ АуЯ, 1=0 у=о в которой А;2 — — —, 1 = О, 1, 2 = О, 1 и которая является частным случаем общей формулы (4.8).
На основе квадратурной формулы Самасома можно построить кубатурную формулу четвертого порядка с девятью узлами в вершинах, серединах сторон и центре прямоугольника Р. Такзл формула соответствует аппроксимации подынтегральной 226 4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ функции многочленом 2 2 Р22(х,у) =аоо+агох+аогу+амху+азах +аогу + +а21х у+аг2ху +а22х у 2 2 2 2 с девятью коэффициентами. В этом случае л ь )а ПВ | |))*а)аа ЕЕА,д*,а), )4.19) (Ь вЂ” а)(г1 — с) г=г 2=1 с а где АИ = 1 для вершин, А; = 4 для середин сторон и А; = 16 для центра прямоугольника.
По существу, эта формула использована во втором варианте расчета в примере 4.1. Если в качестве координат х; и у узлов кубатурнои фор- а+Ь Ь вЂ” а с+О 4 — с мулы выбрать абсциссы х.с = — х — и У.с = — ~— 2 2~ГЗ 2 2у3 квадрагвурной формулы Гаусса для отрезков ~а, Ь1 и [с, д), то для прямоугольника В получим кубатурную формулу В (Ь-а)(г1-с~ Ях+,у+)+Дх,у+)+~(х+,у )+/(х,у )) 4 всего с четырьмя узлами, но имеющую четвертыи порядок точности, как и кубатурная формула (4.19) с девятью узлами. Например, для двойного интеграла а/2 а/4 1 = г1х вш(х+ у) г1У о о из примера 4.1 получим 1х1 1х1 ха =я и ус=я —.
4с/3 8~/3 227 4.2. Кубютурлые формуого Вычислив всего четыре значения подынтегрвльной функции 3+ ГЗ Дх+,у+) =вш(хо+у+) =вшх 0,9590, 7(х,у+) = вш(х +у+) = вниг = 0,8142, 3 — 1! ГЗ 8 у(х+,у ) =зш(х++у ) =вши 3+1! ГЗ 8 - 0,9863, 3- Гз ~(х+,у+) =зш(х +у ) =вииг ж0,4776, в итоге находим 1 — -(0,9590+ 0,8142+ 0,9863+ 0,4776) ж 0 3084 - 0,9984. Сравнивал найденное приближенное значение интеграла с точным значением 1, заключаем что погрешность составляет 0,16% и не превосходит погрешности, полученной при использовании кубатурной формулы с девятью узлами. Наряду с кубатурными формулами для прямоугольника известны формулы высокой точности с небольшим числом узлов для круга, правильного шестиугольника и некоторых других плоских фигур*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
