VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 32
Текст из файла (страница 32)
р(Р*) Ж 10 Сравним 1' с то шым значением рассматриваемого интеграла 1 яр 1 Г ~Х21 ~=~а~~ь,~-,)й,=)( — '+ ~)~ ар= (~2 я=л 0 0 0 Абсолютная погрешность равна Ь = (1 — 1" (- 0,004. Чтобы не создавать иллюзии, что при небольшом числе испытаний метод Монте-Карло обеспечивает высокую точность а,б. Вычисаеиие хратиых интегралов методом Моите-Карло 251 вычисления интегралов, найдем значение интеграла-„близнеца" 1 1 Г Г 1 Х = ( (х1+ хг) Их1 Нхг = / дхг / (х1+ хг) дх1 = —, в а, отличие которого от 1 состоит лишь в том, что его область Р интегрирования является дополнением области Р до квадрата Р* (см.
рис. 4.13). Вместо (4.45) имеем ( х1+ хг, (х1, хг) Е Р; д(хп хг) = ~ О, (х1>хг) Е Р*~Р, причем теперь случайная точка х~") = (х~;х(г ) Е Р при выполнении условия х~1~ < хг . В табл. 4.4 представлены значения (а) (а) д„=д(х,х ), подстановка которых в (4.44) дает и 1 = ~ д„= —.3,868 0,387 )'т' ~ " 10 с абсолютной погрешностью Ь = )а — 1*) = 0,113, т.е. относительная погрешность составляет более 22%. Оценим минимальное количество испытаний, при котором с уровнем доверил р, = 0,95 погрешность вычисления интеграла не превышает Ь„= 0,01.
С помощью формулы (4.35) для случайной величины д(Х) находим исправленную выборочную дисперсию Оад(Х) - 0,182. Уравнение Фв($) = р,/2 при заданном уровне доверия р, имеет ранение $ = 1,96. Считая, что иг = 1лид(Х), в соответствии с формулой (4.37) получаем минимальное число испытаний № = 6992. При первоначально выбранном количестве испытаний гГ = 10 с тем же уровнем доверия можно лишь ожидать, что наибольшая абсолютная погрешность не превысит Ь* = 11/Р/М = 0,264, а зто составляет 252 4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ более 50% точного значения вычисляемого интеграла. Так что полученную вьппе погрешность Ь = 0,004 следует расценивать как исключительно благоприятную случайность.
Аналогично для случайной функции д(Х) найдем исправленную дисперсию Р„д(Х) - 0,417 и минимальное число испытаний Ф, = 16020, обеспечивающих с вероятностью р, = 0,95 ту же наибольшую погрешность Ь, = 0,01. При М = 10 с той же вероятностью можно ожидать, что наибольшая погрешность не превысит Ь* = ь' /зэк = 0,400. 4Ь Сравнение результатов вычисления определенного интеграла методом Монте-Карло и при помощи кеадраоьурнььх формул показывает, что при одинаковом объеме вычислений метод Монте-Карло оказывается менее точным, а при одинаковой точности использует большее число вычисляемых значений интегрируемой функции, т.е.
требуемое число испытаний Ж превьппает количество узлов квадрапьурноб формулы. Но для ьпкратного интеграла от функции ьп переменных по мере роста ььь ситуация меняется. Дело в том, что необходимое для обеспечения заданной точности Ь, в соответствии с (4.38) число испытаний ь"ь пропорционально 1/Ьэ и непосредственно не зависит от т, тогда как для кубаьпурной формулы с порядком точности р число узлов по каждому переменному пропорционально 1/ь1, ', а общее число узлов, в которых необходимо ь/ьь вычислить значение интегрируемой функции, пропорционально 1/Ь™ь~'. Отсюда следует, что при ььь > 2р применение кубатурной формулы требует большего объема вычислений по сравнению с методом Монте-Карло.
Если интегрируемая функция дважды непрерывно дифференцируема в области интегрирования, то рассмотренные выше (см. 4.1 — 4.3) наиболее удобные формулы имеют р = 2. В этом случае применение метода Монте-Карло при ььь > 5 выгоднее использования кубатурных формул. Часто в прикладных задачах приходится интегрировать негладкие функции, и кубатурные формулы могут обеспечить лишь первый порядок точности. 253 Вопросы иаадати Тогда метод Монте-Карло будет экономичнее уже при вычислении тройных интегралов. Отметим, что проведенное сравнение предполагает независимость испытаний в методе Монте-Карло, т.е. элементы последовательности псевдослучайных чисел повторяются не ранее чем через тФ номеров. Кроме того, при сравнении надо учитывать, что с ростом т может заметно увеличиться дисперсия.
Вместе с тем известны способы, позволяющие при применении метода Монте-Карло уменьшить дисперсию*. Вопросы и задачи 4.1. Показать, что приближенная формула (4.8) для вычисления двойного интеграла имеет второй порядок точности, если подынтегральная функция дважды непрерывно дифференцируема в замкнутом прямоугольнике Р. 4.2. Вывести приближенную формулу (4.10) для вычисления тройного интеграла и установить, что она имеет второй порядок точности, если подынтегральная функция дважды непрерывно дифференцируема в замкнутом прямоугольном параллелепипеде Й.
4.3. С помощью формулы средних получить приближенную формулу, позволяющую вычислить тройной интеграл по области Р* = ((г;<р;я): г Е [Ва, В], у Е [О,к], к Е [О, Н]) от функции у(г, р, я), заданной в цилиндрической системе координат Ог<рз. 'Смс Коаипьнин Н.Н., а также Соболь И.М. 5. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 5.1. Криволинейный интеграп первого рода Используя понятие длины яровой, а также формулы для ее вычисления при различных способах задания кривой [УЦ, можно ввести понятие интеграла вдоль спрямляемой (в частности, гладкой или кусочно гладкой) кривой так же, как вдоль прямолинейного отрезка.
Пусть на плоскости И~ с прямоугольной декартовой системой координат Оху имеется непрерывная спрямляемая кривая АВ (рис. 5.1), в точках которой задана действительная функция ДМ) = ~(э,у). Выберем разбиение Т= (Ае, Ам ..., А„) кривой АВ с точками деления Ао = А, Ам ..., А„= В. Длины элементарных дуг А, 1А; обозначим через Ьл;, а максимальную их этих длин — через Л = Л(Т). Возьмем на каждой дуге А; 1А; по точке М;(э;;у;). Отметим, что подобное разбиение можно построить и в случае замкнутой кривой, если за точку Ае, совпадающую в этом случае с А„, взять любую точку кривой АВ, а остальные точки А;, 1 = 1, п-1, расположить в соответствии с выбранным направлением на этой замкнутой кривой.
255 оп. Крввовввейвый ввтегрел первого роде Составим сумму вида ,1 (х;,д;)Ье;, (5.1) (5.2) Такой предел называют криволинейным интпеералом пер- вого рода (иногда — первого типа) вдоль кривой (или дуги) АВ и обозначают Х = Дх,у) дв. АВ Итак, Ях,у) Йл = 11ш ~ ~(х;, у;)Ье;. АВ | Л-+О 1=1 (5.3) Отметим, что в определении криволинейного интеграла первого рода направление обхода кривой не играет никакой роли, так как от выбора направления не зависит интегральная сумма. Пусть, например, кривая АВ не замкнута, а ВА обозначает ту же кривую, но с противоположным направлением обхода (от которую называют интегральной суммой функции Дх, у) вдоль кривой АВ.
Пусть существует предел 1 интегральных сумм (5.1) при Л(Т) -+ О, не зависюций ни от выбора разбиения кривой АВ, ни от выбора точек М; на элементарных дугах, т.е. для любого числа е ) О существует такое число 6 = 6(е), что для любого разбиения Т = (Ао, ..., А„) кривой АВ с параметром Л(Т) < < 6(я) при любом выборе точек М; на дугах А; 1А; выполняется неравенство 256 5. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В к А, если исходным является направление от А к В). Тогда можно записать (5А) ВА АВ Аналогично можно ввести понятие интеграла вдоль пространственной кривой.
Пусть на пространственной кривой АВ задана функция у(х,д,я) (рис. 5.2). Как и в плоском случае, проведем разбиение Т = (Ае, ..., А„) кривой АВ точками Ае = = А, А1, ..., А„= В на элементарные дуги А; 1А;. На каждой дуге А; 1А;, 1 = 1, п, выберем точку М;(х;; у;; я;). Составив интегральну1о сумму и перейдя к пределу при Х(Т) -+ О, получим значение интеграла вдоль пространственной кривой АВ: ,1'(х,р,я)сЬ = 11ш ~ У(х;,у;,х;)Ьл;, (5.5) АВ | Л-+О 1=1 где Ья; — длина элементарной дуги А, 1А;, а Х(Т) — макси- мальнэл иэ длин Ьл;.
5.2, Вычвсвввве крвволввейвого ввтегралв первого рода 257 5.2. Вычисление криволинейного интеграла первого рода Если плоская кривая АВ спрямляема, можно ввести натуральный параметр з этой кризо~. В этом случае положение точки М на кривой будет определяться длиной дуги АМ кривой от начальной точки А до точки М. Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = х(з), О ~ ~з гп зАВ1 у= у(з) где зА — длина кривой АВ. Тогда функцию ~(х,у), определенную на кривой АВ, можно рассматривать как сложную функцию ~(х(з), у(з)) натурального параметра з. Выберем разбиение Т = 1А0, ..., А„) кривой АВ и точки М;(х,",у;) на элементарных дугах А; 1А, этого разбиения.
Составим соответствующую интегральную сумму. Пусть з; есть значение натурального параметра для точки А,, 9 = О, и, а з;— значение натурального параметра для точки М;, 9 = 1,и. Тогда длины Ьз; элементарных дуг А; 1А; можно записать в виде Ьз; = з; — з; м 1= 1, п, а интегральную сумму представить следующим образом: о о У(х1зу;)ьз; = ~ Дх(з1), у(з1))ьз10 Правы часть равенства есть интегральная сумма, соответствующая определенному интегралу Щ от функции ~(х(з), у(з)) по отрезку [О, зАВ].
Переход к пределу в обеих интегральных суммах выполняется при одном условии Л(Т) = тахаев; -+ О. Поэтому вкз (5.6) АВ 9 — 9100 258 5.КРИВОЛИНЕИНЫЕИНТЕГРАЛЫ причем существование одного из интегралов в этом равенстве означает существование и другого. Выявленная связь позволяет получить условия существования криволинейного интеграла первого рода. Если кривая АВ спрямляема, а функция ~(х,у) непрерывна на этой кривой (часто говорят — непрерывна вдоль кривой АВ), то сложная функция у (х(в), у(в)) непрерывна на отрезке [О, влв], так как функции х(в) и у(в) параметрического представления кривой являются непрерывными на отрезке [О, влв]. Следовательно, интеграл в правой части (5.6) существует [Ч1]. Резюмируя, можем сформулировать следующую теорему. Теорема 5.1.
Если кривая АВ спрямляема (в частности, является кусочно гладкой), а функция ) (х, у) непрерывна вдоль этой кривой, то криволинейный интеграл первого рода от функции Дх,у) вдоль кривой АВ существует. Итак, криволинейный интеграл первого рода можно свести к определенному интегралу с помощью формулы (5.6). Однако зта формула с практической точки зрения не очень удобна, поскольку в качестве параметра кривой далеко не всегда (а точнее, редко) выбирают натуральный параметр. Пусть кривая АВ задана произвольными параметрическими уравнениями (5.7) где функции х(Ф) и у($) непрерывны вместе со своими производными х'(Ф) и у'($) на отрезке [о,,8]. Тогда кривая АВ спрямляема и для нее определен натуральный параметр в.
Натуральный параметр можно отсчитывать от любого конца кривой и в данном случае отсчет удобно вести от начальной точки кривой, соответствующей значению $ = а. Тогда возрастанию параметра Ф будет соответствовать возрастание параметра в, а для дифференциала длины дуги плоской кривой будет выполняться 5.2. Вычисление криволинейного интеграла первого рода 259 равенство а = »г»~г»у.» (»"»»[Ра. (5.8) При этом значение й = а соответствует точке А и значению л = О, а значение 1 =,8 — точке В и значению и = аАВ. В определенном интеграле в равенстве (5.6) справа можно выполнить замену переменного, переходя от натурального параметра а к параметру $. В результате указанное равенство преобразуется к виду и,»)» =|у(»»»)Л+ьЯРь (5.10) АВ Аналогично при задании кривой функцией в виде х = х(9), у Е [с, с~)» получаем АВ АВ а Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла первого рода следует заменить в подынтегральной функции переменные х и у их выражениями через параметр с, а дифференциал сЬ вЂ” дифференцианом длины дуги, выразив его через параметр й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
