VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Оговоренное вьппе согласование параметра 8 и натурального параметра и означает, что в определенном интеграле в (5.9) справа нижний предел интегрирования меньше верхнего,т.е.а < ~3. Если плоская кривая АВ является графиком функции 9 = = 9(х), х Е [а, 5), то в качестве параметра кривой естественно выбрать абсциссу х точки кривой. При этом формула (5.9) приобретает вид 260 5. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Пусть кривая АВ задана в полярной системе координат уравнением г = г(~р), <р Е [~рм ~рг]. Тогда, учитывая формулы х = = гсов <р и у = гешер связи декартовых и полярных координат, а также выражение для дифференциала длины дуги в полярных координатах [П] ~ = ~%ТТ7'чФРФ, находим АВ Пример 5.1.
Вычислим криволинейный интеграл первого рода |Р~, АВ где А — дуга параболы у = хз/2, заключенная между точками А(1;1/2) и В(2;2). В данном случае ь=Ф+ТИТ~~ =ЛТЛ~ и в соответствии с (5.10) -"а=-'| ЯТРн =;|АТ ~ о~~)= АН Г 1 Г х 2 1 1 1 Ф 5Л-2ч2 — (1+ ~)' ~' = Пример 5.2. Найдем криволинейный интеграл первого рода | ° а АВ 5.2. Вычисление криволинейного интеграле первого рода 261 вдоль кривой АВ, заданной параметрическими уравнениями < х = 1п(1+ $2), 1Е [0,1). у = 2агсг5$ — $, В соответствии с (5.8) имеем Кроме того, е * = 1/(1+ Р). Следовательно, используя (5.9), получаем | гй уе *Ил = / (2агс151 — 1) — = 1+ 1г АВ о 1 з ~г и~ 1п2 г1~ 1 (1+1з)' !о 2 [о 16 2 Пример 5.3. Вычислим криволинейный интеграл первого ф у( .
) .4/3+ 4/з Ь, заданной уравнением хз/з + уз/з = аз/з (асогровды). Для вычисления интеграла необходимо кривую задать параметрическими уравнениями. Астроиду можно описать следующим образом: < х = асовзФ, ФЕ [0,2я). у = авшз1, Находим х'(г) = -За совз г еш1 и у'(3) = За вш 1 соя $. Следовательно, (х'(Ф))з+(у'(Ф))~ =9а~сов~гяш~г.
Отметим, что правая часть последнего равенства обращается в нуль в четырех точках, соответствующих значениям Ф = О, 8 = и/2, Ф =я и Ф = Зя/2, т.е. астроида является кусочно гладкой кривой. 262 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Переходя от криволинейного интеграла к определенному, получаем Г ( 4/3 1 р4/3)«а4/3( 4«+в 4«) Ву ! « ° «)51« ь О Ф кция под знаком определенного интеграла справа является 1гн периодической с периодом я/2.
Поэтому интеграл по отрезку 10, 2я) можно заменить учетверенным интегралом по отрезку 10, я/2). Таким образом, и/3 | (х4/3+ / ) Ь = 12а7/ (савв«в1п«+в1пв«сов«)«« Ь О =2а / ( — сов «+гйп «)~ =4а 7 3 6 6 ! / 7/3 О Пример 5.4. Найдем криволинейный интеграл первого р*д Ву д 55,55=1ГУ4 545+~5 д р щ соединяющего точки А(0;О) и В(1;2). Уравнение этой прямой имеет вид у = 2х, и для вычисления криволинейного интеграла можно использовать форму у ( . ). л (5.10). Вд у у5445'55= 15. И у р д интеграле замену переменного и = х+ 2, получаем 1 3 | УУ 545 45 / УУУ44*545 АВ О , 3 З+/10 =Л1п~и+Д+из~~ =Л1п П мер 5.5.
Пусть Ь вЂ” правый лепесток,аелгнискапгы ример Бернулли, который в полярных координатах описывается урав- 5.2. Вычисление криволинейного интеграла первого рода 263 пением гг = аг сов 2~р, <р Е (-я/4, я/4]. Вычислим вдоль Ь криволинейный интеграл от функции /(х, у) = /хг + уг. Так как г(р) = а~/совв2~р, то г'(у) = -а "' и 2 2 гвш 2~р а 2 2 гг(р)+(г'(~р)) =а сов2~р+а сов 2~р сов 2р Учитывая, что в данном случае ~/хг+уг = г = а~/север, и используя (5.12), находим л/4 | ~/хг+уМв = а,/сов2р = -а .
ф а(Щ> н ~(сов в2у 2 -л/4 Условия существования криволинейного интеграла переносятся и на пространственный случай. Если пространственная кривая АВ задана параметрическими уравнениями Ф Е (сл1 /3]1 где функции х(л), у(2) и «(4) непрерывны на отрезке (а,/3] вместе со своими производными, а функция /(х, у,«) определена и непрерывна на кривой АВ, то криволинейный интеграл от функции Дх, р, «) вдоль кривой АВ существует, причем | Дх,у,«)<Ь = АВ у(х(4), д(2), «(2)) (х~(4))г+ (1/(4))2+ («~(2))г,(2 (5 12) 264 5.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Пример 5.6. Вычислим криволинейный интеграл первого рода хулсЬ АВ вдоль пространственной кривой АВ, заданной параметрическими уравнениями х=$, д = 1 /2, М Е [О, 1]. г = ~/31з/3, Предварительно находим ~Ь = ш = Д +7 + 2ы~ = (1 .~ ~) й. Далее в соответствии с формулой (5.13) получаем | хугсЬ = — / $~~~(1+1)Ж= — ~/2. 3 / 143 АВ В заключение отметим следующее.
Так как криволинейный интеграл первого рода, согласно формуле (5.6), фактически есть определенный интеграл, на него переносятся основные свойства определенного интеграла: линейность, аддитивность, оценка интеграла по модулю (модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля функции), теорема о среднем. Последняя позволяет ввести понятие среднего значения функции /(х, у, а) вдоль кривой АВ, под которым понимают отношение криволинейного интеграла от /(я, у, я) вдоль АВ к длине кривой АВ.
В то же время понятия верхнего и нижнего пределов интегрирования, присущие определенному интегралу, не имеют аналогов для криволинейного интеграла, а известное свойство определенного интеграла менять знак, когда верхний и нижний пределы меняются местами, не распростраяяетсл на криволинеиныи интеграл первого рода. аа мехаиичееиие приложении иатеграеа первого рода 265 5.3. Механические приложении криволинейного интеграла первого рода т; р(М;)Ьз;, 1=1,н.
В этом случае для массы т всей кривой АВ получим т=~ р(М!)Ьз;. Погрешность этого приближенного равенства тем меньше, чем мельче разбиение кривой АВ на элементарные дуги, т.е. чем меньше длины Ьз! всех элементарных дуг. Поэтому естественно за массу кривой АВ принять значение предела т= Бш ,'> р(М!)Ьз;, 1=1 где А = шах Ьз! — наибольшая из длин Ьз; элементарных дуг. 1=1,п Сравнивая данное определение массы кривой с определением криволинейного ннтегралв первого рода, получаем т= р(М)да= р(х,у)дз. (5.14) АВ АВ Масса материальной кривой.
Пусть функция р(М), определенная на кривой АВ, задает линейную плотность распределения массы вдоль этой кривой [ЧЦ. При мелком разбиении кривой АВ (см. рис. 5.1) на большое число и Е 1Ч элементарных дуг А; 1А;, ! = 1, н, можно приближенно принять, что линейная плотность распределения массы во всех точках каждой элементарной дуги А; 1А; постоянна и равна значению р(М,) линейной плотности в произвольной точке М;(х;;у;) этой дуги. Обозначив через Ьз! длину элементарной дуги А; 1А;, для массы этой дуги будем иметь 266 б. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В случае пространственной кривой АВ для ее массы верна аналогичная формула т = р(М) йз = р(х,у,х) Ик (5.15) АВ АВ .7о, = ~~> (х; +у,)р(х;,р;,з;)Ьл;, Воз =г хьр(хор' л1)~я*, 2 ,7„о, -- ~ру; р(х;,у;,х;)Ьз;. 2 В качестве точного значения этих моментов инерции естественно взять предел правых частей равенств при А = юахЬз; -+ О. Это приводит к записи моментов инерции через криволинейные Моменты инерции, статические моменты материальной кривой и координаты ее центра масс.
Моменты инерции для материальной кривой вводят так же, как и для неоднородного тела или пластпины. Пусть для материальной пространственной кривой АВ задана ее линейная плотность р(х,у,з). Разделим кривую АВ точками Ае = А, А1, ..., А„= В на элементарные дуги А; 1А; с длинами Ьз;. Будем предполагать, что зто разбиение настолько мелкое, что плотность в пределах одной элементарной дуги можно приближенно считать постоянной.
В этом случае каждую элементарную дугу А; 1А; можно заменить материальной точкой М;(х;; рбл;) е А; 1А;, в которой сосредоточена вся масса р(х;,у;,я;)Ьл; этой дуги (см. рис. 5.2). Суммируя массы по всем элементарным дугам, для материальной кривой АВ можем приближенно принять, что о.З. Махаппческпо прпложеппа пптограаа первого рода 267 интегралы: .7о,= (х +у )р(х,у,я)йа, АВ ,7уо, = х Р(х,у,з)йа, АВ 7хОг = у Р(х~у>я)~1а.
(5.16) АВ К.= хр(х у ) а АВ Кп — — ур(х,у,з) да, АВ К, = яр(х,у,х)сЬ. (5.17) АВ Координаты вектора статического момента часто называют статическими моментами относительно координатных плоско- стей уОз, хОз и хОу. Аналогичным образом можно получить выражения для моментов инерции кривой относительно координатных осей Ох, Оу и координатной плоскости хОу. Для плоской кривой АВ в координатной плоскости хОу с линейной плотностью р(х, у) момент инерции 7о, относительно оси Оз обычно называют полярным моментом инерции и обозначают .7о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
