VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Тогда для любых $', $о Е [Ц 1, $;] имеем ]6' — 1о] < $; — Ц 1 < К1Ьл; < 6(е). Следовательно, ]Р(т;) — Р(1)] < е при 1 Е [Ц и Ц] и где Кз — максимальное значение непрерывной на отрезке [а, Д функции ]х'(6)]. Таким образом, Я-+1 при Л = щах Ьл; -+ О, что 1=1, и доказывает теорему. ° Согласно доказанной теореме, для вычисления криволинейного интеграла второго рода в подынтегральном выражении необходимо от переменных х и у перейти к параметру $ кривой, для чего через 6 следует выразить подынтегральные функции Р(х,у), Ч(х,у) и дифференциалы ах, ау. В доказательстве теоремы предполагалось, что начальной точке А кривой АВ соответствует левый конец отрезка [а, Д, являющегося областью изменения параметра кривой. Если же параметризация кривой не согласована с направлением ее обхода, то в фор- о.о.
Существование и ввгзиснение интеграла второго рода 283 муле (5.32) определенный интеграл справа соответствует противоположному направлению обхода, т.е. левая и правая части формулы отличаются знаками. Для восстановления равенства можно в определенном интеграле поменять местами пределы интегрирования.
Таким образом, действует следующее правило: при переходе от криволинейного интеграла второго рода к определенному нижний предел интегрирования должен соответствовать начальной точке кривой, а верхний предел интегрирования — конечной. Рассмотрим два варианта задания плоской кривой АВ. Если кривая АВ задана уравнением у = у(х), х е [а, Ь], то в качестве параметра кривой можно взять абсциссу х точки на кривой. В этом случае в соответствии с формулой (5.32) получаем | Р(х,у) с(х+ ®х,у) ду = АВ ь =|(г(,з( ((зе(*,з( ((з( ()з,, (ззз( а где а и Ь вЂ” абсциссы точек А и В этой кривой.
При задании кривой в виде х = х(у), у Е [с, сз), в качестве параметра можем взять ординату у точки кривой. Тогда | Р(х, у) (зх + Ч (х, у) ду = АВ =/(г( (з(,з( '(з(зе( (з(,зз)зз (ззз( с Здесь с и сз — ординаты точек А и В кривой. Теорема 5.2 без каких-либо затруднений переносится на случай пространственной кривой.
Пусть пространственная кривая 284 5. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ АВ задана параметрическими уравнениями х = х($), у = у(й), Й Е [а,,8], г = я(1), где х(1), у($) и х($) — функции, непрерывные на отрезке [а, )3] вместе со своими производными, причем начальной точке А кривой соответствует значение параметра Ф = а, конечной точке В кривой — значение параметра $ = ~3. Тогда криволинейный интеграл второго рода общего вида (5.31) от непрерывных функций Р(х,у,х), Я(х,у,х), Н(х,у,ю) вдоль пространственной кривой АВ существует, и для него верно равенство, аналогичное (5.32): Р(х,у,х)йх+Ч(х,у,х)йу+Н(х,у,х)<Ь = АВ =/('~ '» а +В(х($), у($), г($))я'($)) Ж.
(5.36) Пример 5.9. Вычислим криволинейный интеграл второго рода 1 = (х+ у) Их+ 2хду+ ху(Ь АВ х=$, у=8, г я=3 — 1, 1Е [1,2]. вдоль пространственной кривой АВ, заданной параметриче- скими уравнениями 5.а Свойства криволинейного интеграла второго рода 285 В данном случае дх = ~й, Иу = ай и сЬ = — ~Ы. Поэтому, используя формулу (5.36), находим 1=~((и.г(.~.2(3 — ~( в.~.~ Р(-1((ж=~(13~-зг — г(а= 1 1 г13з з 14~ 13 1 35 — — — — Ф ) =26 — — — 8+1 — 4+ — = —. ~2 4 ) 2 4 4 Пример 5.10.
Найдем криволинейный интеграл второго рода 1 = (4х — у) дх+ 5х~уду АВ вдоль параболы у = Зх~ между ее точками А(0;О) и В(1; 3). В соответствии с (5.34) имеем 5.6. Свойства криволинейного интеграла второго рода Рассмотрим основные свойства криволинейного иигаеграла вщорого рода общего вида. 1'. При изменении направления обхода кривой АВ криволинейный интеграл второго рода вдоль этой кривой меняет знак: ВА АВ 286 5. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2'. Постоянный множитель я можно выносить за знак криволинейного интеграла: МР(х,у) йх+ Щ(х,у) Иу = я Р(х,у)йх+ Я(х, у) йу. АВ | ВА 3'. Криволинейный интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от каждого из слагаемых: (Р( Е+Р ( Е)~ = | Ю ю) ь1|Ю,Р)ь, АВ АВ АВ АВ | (ж с+я ( юНдю= |ж еж+|ж ю) ь. АВ АВ Свойства 2' и 3' означают линейность криволинейного интеграла: интеграл от линейной комбинации функций равен такой же линейной комбинации интегралов от каждой из этих функций.
4'. Если кривая АВ разбита на конечное число примыкающих одна к другой дуг и вдоль каждой из них в отдельности криволинейный интеграл существует, то существует и интеграл вдоль всей кривой АВ, причем он равен сумме интегралов по отдельным составляющим ее дугам. Это свойство есть свойство аддитивности криволинеиного интеграла второго рода. Свойства 1' — 4' несложно доказать, используя определение криволинейного интеграла второго рода как предела интегральных сумм и известные свойства предела.
Эти доказательства повторяют доказательства соответствующих свойств определенного интеграла. 5'. Если кривая Ь является замкнутой, то значение криволинейного интеграла вдоль кривой Ь не зависит от выбора начальной (она же и конечная) точки на этои кривои. б.б. Свойства криволинейного интеграла второго рода 287 Действительно, пусть А и С— произвольные не совпадающие точ- у ки на кривой Ь.
Покажем, что если С в качестве начальной точки замкнутой кривой в первом случае вы- Ь брать точку А, а во втором слу- А чае — точку С, то в результате по- М лучим одно и то же значение кри- 0 х нелинейного интеграла. На двух Рис. 5.7 дугах кривой Ь с концевыми точками А и С выберем произвольным образом точки М и М (рис. 5.7). Эти точки удобны для маркировки дуг, на которые кривая Ь делится точками А и С. Из свойства аддитивности криволинейного интеграла получаем АМСВА Р(х, у) Их+ Я(х, у) ду+ Р(х, у) с)х+ Я(х, у) йу = СйА АМС Р(х,у) Нх+ Я(х, у) йу+ Р(х,у) йх+ Я(х,у) с)у = АМС СЖА Р(х,у) с)х+ Я(х,у) Иу. СФАМС 6'. Если кривая АВ представляет собой отрезок прямой, параллельной оси Оу, то АВ 5.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 288 Бели же А — это отрезок прямой, параллельной оси Ох, то АВ Это свойство объясняется тем, что для таких интегралов соответствующие интегральные суммы равны нулю независимо от вы ора раз и н б б е ия кривой и выбора точек на элементарных дугах разбиения. б 7 слзормула Грина Рассмотрим случай криволинейного интеграла второго рода вдоль простого замкнутого контура Ь в плоскости хОУ. В этом случае контур Ь является границей некоторой плоской замкнутои о асти бл Р.
Оказывается, что криволинейный интеграл второго рода вдоль 1 может быть преобразован в двойной интеграл по замкнутой области Р. Установим, как и при каких У словиях выполняется такое преобразование. Теорема 5.3. Пусть замкнутая область Р на плоскости хОУ ограничена простым кусочно гладким контуром Х, а функции Р(х,у) и Я(х,у) непрерывны в,0 вместе со своими частными производными. Тогда имеет место следующая формула Грина* длл односвлзной областпи: Рдх+ Яду = — — дхду, (5.37) Ь и где контур о Ь бходится в положительном направлении. < Формула рина фактически распадается на две независимые формулы д дх Ь В В В 'Дж.
крин ( . т р (1793-1841) — английский математик н фнэнк. 289 0.7. Формула Ц>яяа Эти две формулы являются частными случаями общей формулы (5.37), первая — при Я = О, вторая — при Р = О. Доказав эти две формулы, мы получим общую формулу (5.37) их суммированием. Доказательство двух формул строится по одной схеме.
Поэтому можно ограничиться доказательством одной из них, например первой. Сперва рассмотрим простейший случай, когда замкнутая область В является правильной об ьвстпью интпегрирования относительно координатной оси Оу. Это значит, что она ограничена снизу и сверху кривыми у = у1(х) н у = уз(х), где функции у1(х) и уз(х) непрерывны на отрезке [а, Ь] и удовлетворяют неравенству у1(х) < уз(х), х Е [а, Ь], а слева и справа — вертикальными отрезками прямых х = а и х = Ь (рис. 5.8). В этом случае граница л.
замкнутой области .0 является кусочно гладким простым контуром, а положительное направление обхода соответствует последовательности АВРЕА точек этого контура. Отметим, что в частном случае каждый из вертикальных отрезков АЕ и ВР может выродиться в точку. Рис. 6.8 Докажем, что в случае, когда замкнутая область является правильной относительно оси Оу, верно равенство (5.38) 1Π— 9100 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
