VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Рассмотрим применение метода статистических испытаний к вычислению определенного интеграла. Существует несколько вариантов применения этого метода. Один из простейших вариантов связан с вычислением среднего значения подынтегрэльной функции Дх) на отрезке интегрирования [а, Ь]. Искомый интеграл можно представить в 4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 242 виде 1 = у(х) дх = (6 — а) ~(х)р(х) дх = (6 — а)Му(Х), где Му(Х) — математическое ожидание функции у(Х) случайной величины Х, имеющей плотность распределения р(х) = 1 = —. Оценивая математическое ожидание случаинои величиЬ вЂ” а ны у (Х) средним значением ее выборки Дх1), Дхз), ..., ~(хну) объема у1у', полученной с помощью последовательности (ху) псевдослучайных чисел, равномерно распределенных на отрезке [а, Ь), приходим к приближенной формуле Ь Ф Ь вЂ” а 1 = ~(х) дх - ~~1 ~(х„) = Ху~у.
Ф (4.34) Чтобы оценить точность этой приближенной формулы, необходимо построить доверительнмб ииуаервав для параметра Му(Х). Здесь можно использовать иеишральндю предельную уиеорему, согласно которой при достаточно больших значениях Ж (практически при у1у ) 10) случайная величина Яьу = — ~ ~> ~(х„) — ММ~(Х)) = — (1уу — МУ" (Х)) ° ЬУ /У О1УУ о пу(х)= — ' 1у'ь~и,-(му~х0'. а приближенно распределена по стандартному нормальному за- кону. Здесь о = Щ(Х) — среднее квадратичное отклонение случайной величины 1(Х), а П у(Х) — дисперсия этой случай- ной величины, которая в данном случае равна 4.4. Метод статистичесиих исиытаиий 243 Согласно этой формуле, для определения дисперсии Щ(Х) необходимо вычислить не только искомый интеграл, но и интеграл от квадрата рассматриваемой функции.
Значит, истинное значение дисперсии не известно, и вместо нее необходимо использовать какую-либо оценку, например выборочную дисперсию или же исправленную выборочную дисперсию П„ДХ) = ~~» 1~(хп) — — (Х~н) . (4.35) о=1 Предполагая, что случайная величина Ян имеет стандартное нормальное распределение, заключаем, что неравенство ~ Ян ~ ( е выполняется с вероятностью Ф(е) — Ф( — е) = 2Ф0(е), где Ф(х) — функция распределения для стандартного нормального закона, а Фа(х) — интпеграл Лапласа, вычисляемый по формуле х -тх 2 Ф ( ) — — 1е ~(2д 112тг ./ 0 (значения интеграла Лапласа табулированы [ХЧ1]). Минимальное число 1Ч„испытаний, при котором с заданной вероятностью р, (уровнем доверил) абсолютная погрешность |1 — ХЦ не превысит Ь,, можно получить, решая систему уравнений (4.36) 244 4.
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Из первого уравнения находим значение $, а затем определяем требуемое значение № из равенства №=( — ) а. (4.37) Таблица 4.9 Затем вычислим х„= а+ (Ь вЂ” а)г„= 1+ 2г„и ~(х„) = х„+ 1. Далее в соответствии с (4.34) найдем Ь вЂ” а Н 2 1* = ~ у(х„) = — 29,868 = 5,974.
Ж " 10 Непосредственное вычисление дает ~з Х=~~ <-ЦЫ*= ( — +*)( =6. 1 Таким образом, Ь = )1 — 1'~ - 0,026. Так как в нашем случае Ж < 30, то лучше использовать исправленную выборочную дисперсию. Но формуле (4.35) находим Э„~(Х) — 0,223. Отметим, что усредняемая случайная Пример 4.3. Используя приближенную формулу (4.34), найдем оценку 1' значения интеграла от функции Дх) = х+ 1 по отрезку (1, 3], а также абсолютную погрешность Ь = ~1 — 1'~ и минимальное число № испытаний, которое с уровнем доверия р, = 0,95 обеспечит верхнюю границу погрешности Ь' = 0,1. Остановимся на сравнительно небольшом числе испытаний Л = 10 и с точностью до трех знаков после запятой возьмем из табл. 4.1 первые 10 псевдослучайных чисел г„(табл.
4.2). 245 4.4. Метод статистических испытаний величина /(Х) = Х + 1 линейна на отрезке [а, Ь) и равномерно распределена на этом отрезке. Поэтому ее дисперсию можно найти по формуле (ХЧ1] (Ь вЂ” а)з (3 — 1) 1 12 12 3' № = ( — ) оэ = ( — ') . 0,223 = 86. Подстановка в эту формулу значения сг~ = Щ(Х) даст минимальное число испытаний № = 128. Обе оценки показывают, что реализованное вьппе число испытаний 7ч = 10 мало для достижения надежного результата, а сравнительно небольшую погрешность Ь - 0,026 следует расценивать как благоприятную случайность.
При Ж = 10 в соответствии с (4.37) можно ожидать, что с вероятностью р, = 0,95 наибольшая погрешность вычисления интеграла 1 не превысит значения сх* = $ /Р/М = =1,96чс/3!)1О ° 0358. е Как показано в примере 4.3, оценка наибольшей возможной погрешности Ь, вычисления интеграла методом Монте-Карло при числе испытаний Ф может быть найдена лишь с некоторой вероятностью. Известно, что достаточно близкой к единице вероятности р, = 0,997 соответствует решение уравнения (4.36) й = 3.
В этом случае иэ (4.36) следует оценка для наибольшей абсолютной погрешности и Зп '=',/У =,/У (4.38) Эта оценка, иногда называемая правилом „трех сигм", по- казывает, что возможная погрешность уменьшается обратно пропорционально квадратному корню из числа испытаний. что заметно отличается от значения исправленной дисперсии. Для значения р, = 0,95 из уравнения Фс(Ф) = р,/2 = 0,475 по таблице значений интеграла Лапласа находим $ = 1,96 и затем при аэ = Пн/(Х) из (4.37) вычисляем 246 4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Перейдем к рассмотрению еще одного способа применения метода Монте-Карло. Этот способ основан на геометрической интерпретации значения интеграла как площади криволинейной трапеции.
Пусть подынтегральная функция у(х) в (4.34) является ограниченной и неотрицательной, причем 0 < Дх) < с, х Е [а, Ь). Рассмотрим двумерную случайную величину (Х, У), имеющую равномерное распределение в прямоугольнике Р = 1(х; у) Е К: х Е [а, Ь), р Е [О, с) ) . В соответствии с геометрическим определением вероятности вероятность того, что точка (Х, У) попадет в криволинейную трапецию, сверху ограниченную графиком функции у = Дх), равна отношению площади этой трапеции к площади прямоугольника Р. Это дает следующую оценку интеграла: Ь вЂ” а 1= Дх)дх=с Л1 =1м Ф (4.39) где Л~ — число элементов выборки (хм 91), ..., (хк, ик) объема 1Ч для случайной величины (Х, У), оказавшихся под графиком функции у = Дх) (рис.
4.12). Рис. 4.12 Пример 4.4. Используем формулу (4.39), чтобы оценить значение интеграла от функции Дх) = х+ 1 по отрезку [1, 3[ 4.5. Вычисление кратных иитеграаон методом Монте-Карло 247 (см. пример 4.3). Ясно, что 1(х) ( 1(3) = 4, поэтому примем с = 4. Из табл. 4.1 с точностью до трех знаков после запятой возьмем первые 20 псевдослучайных чисел т2„1, тзи, п = 1, 1ч', 1"ч' = 10, и найдем координаты х„= а + (Ь вЂ” а) т2„1 = 1 + 2тэи 1, д„= ст2„= 4тз„псевдослучайных точек (х„;да) и значения ,Х(х„) = х„+ 1 (табл.
4.3). Таблица 4.3 2 3 6 7 10 12а-1 12а х„ на Х(х„) 11 Если Ои ( 1(хи) = х„ + 1, то длЯ данного значениЯ и в последней строке табл. 4.3 ставим Д, = 1, а в противном случае ,В„= О. Сумма единиц в этой строке дает значение Хч'1 = 7 и в соответствии с (4.39) получаем Ь вЂ” а 3 — 1 1, = с — д71 — — 4 — 7 = 5,6. Хч' 10 Учитывая точное значение 1 = 6, находим абсолютную погрешность )Х вЂ” Х,~ = 0,4. При том же числе Хч = 10 испытаний результат оказался существенно грубее, чем в примере 4.3. 4.5.
Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло Два способа вычисления определенного интеграла с применением леетода Моите-Карло (см. 4.4) нетрудно обобщить на кратные интегралы. Пусть требуется вычислить т-кратный 0,605 0,518 2,210 2,072 3,210 1 0,667 0,357 2,334 1,428 3,334 1 0,367 0,505 1,734 2,020 2,734 0 0,478 0,973 1,956 3,892 2,956 0 0,393 0,071 1,786 0,284 2,786 1 0,696 0,113 2,392 0,452 3,392 1 0,245 0,050 1,490 0,200 2,490 1 0,679 0,117 2,358 0,468 3,358 1 0,467 0,058 1,934 0,232 2,934 1 0,593 0,952 2,186 3,808 3,186 0 248 4.
ЧИСЛЕННОЕИНТЕГРИРОВАНИЕ интеграл 1 = " У(хт,...,х>п) дх> ... дхтп (4.40) В от функции У(х), х = (хт, ..., х„,), по замкнутой области Р с С К>п. Обобщим первый из рассмотренных в 4.4 способов вычисления определенного интеграла. Погрузим область Р в тп-мерный промежутпок Р' = [а>, Ь>) х х ... х [а,„, Ь„>', имеющий меру Определим в этом промежутке функцию ) Дх)> хЕР; д(х) = О, х Е Р*'1 Р.
(4.41) Тогда в соответствии с (4.40) получим 1= " д(х>п..,х )дхт...дх . В' (4.42) 1 = " д(хт,...,х,„) яхт ... дх = п(Р')Мд(Х), (4.43) Х где Мд(Х) — матпематпическое ожидание функции д(Х) случайной величины Х. Оценивая Мд(Х) средним выборочным, Рассмотрев тп-мерную случайную величину Х, имеющую в замкнутой области Р* равномерное распределение вероятно1 стен с плотностью р(х) = —, интеграл 1 можно представить р(В )' в виде 4.5. Вычисленне нратных ннтеграюв методом монте-1сарло 249 полученным по выборке случайной величины, приходим к при- ближенной формуле, аналогичной (4.34): 1"( ) ~ ( (о)) у» Л о=1 (4.44) Пример 4.5.
Найдем оценку значения двойного интеграла Х= (Х1+Х2)ЙХ1ох2 = ох2 (Х1+Х2)ОХ1 О О при числе испытаний Ф = 10. Область интегрирования Р функции У(х1, х2) = = х1+ х2 ограничена прямыми х2 = О, Х2 = х1 и х1 = 1, т.е. является треугольником (рис. 4.13). Погрузим Р в квадрат Р*, ограниченный координатными осями и прямыми х1 = 1 и Х2 = 1, мера (пло1цадь) которого р(Р*) = 1. Определим в Р* функцию Рис. 4.13 х 1+Х2, (х1,х2) Е Р; д(х1,х ) = (4.45) Из табл. 4.1 возьмем первые 20 псевдослучайных чисел т2„1, 1'2„, п = 1, Ф, М = 10, равномерно распределенных на где х00 Е Р* — значения случайной величины Х в о-м испытании. Чтобы смоделировать выборку 1п-мерной случайной величины Х, равномерно распределенной в от-мерном промежутке Р", можно использовать псевдослучайные числа. Для этого в каждом испытании с номером и выбирают т псевдослучайных чисел т,, 1 = 1, о2, и по ним определяют координаты х,.
= а; + (6; — а;)г,, 1 = 1, о2, псевдослучайной точки х(о). 250 4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ отрезке [0,1]. При этом ограничимся точностью три знака после запятой. Выбранные числа определят координаты х(") = = гэ„1 и хэ" — — гэ„случайных точек х(") Е Р* (табл. 4.4). Таблица 4.4 Учитывая, что х(") Е Р при выполнении условия х ~ ( х ~, и используя (4.45), вычисляем д„= д(х1,хэ ) и при помощи () () (4.44) находим 1* = ~~1 д„= — 5,036 = 0,504.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
