VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Моменты инерции относительно осей Оу и Ох совпадают с моментами инерции относительно плоскостей хОз и уОз, и их обозначают через .7д и,7 . Формулы для координат Ка, Кю К, вектора статпического .попеита материальной кривой можно получить, проводя те же рассуждения, в которых кривая заменяется системой конечного числа материальных точек, а затем выполняется переход к пределу. Эти формулы имеют следующий вид: 268 5. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Вектор статического момента, как и в случае неоднородного тела, позволяет вычислить координаты цеи|вра масс материальной кривой: К Кя К хС 1 уС ~ еС= (5.18) т т' п~ Отметим, что центр масс кривой не обязательно является точкой этой кривой: например, центр масс окружности расположен в плоскости этой окружности внутри нее, но не на самой окружности.
В случае плоской кривой АВ, лежащей в координатной плоскости хОу, координата К, вектора статического момента равна нулю и яс = О, а в формулах (5.17) для координат К~ и Кя линейная плотность р(х, у) не будет зависеть от координаты г. В этом случае К. и Кя часто называют статическими моментами относительно осей Оу и Ох. Пример 5.7. Вычислнм ееомеигрический момент инерции Х окружности Ь радиуса а относительно оси, лежащей в плоскости окружности и проходящей через ее центр. Для геометрического момента инерции линейная плотность постоянна: р = 1. Отметим, что выбор оси не является однозначным, но значение момента инерции от выбора оси не зависит.
Это ясно из соображений симметрии, но вытекает также и из дальнейших рассуждений. Выберем прямоугольную систему координат Оху в плоскости окружности так, что начало координат будет совпадать с центром окружности, а ось инерции — с координатной осью Ох. Тогда окружность Ь будет описываться уравнением хг + уг = аг. Перейдем к параметрическому представлению окружности: х = асеева, ФН [0) 2я]. у = авшие, В этом случае для дифференциала дуги де получаем ,1ег ((х~(1))г+(у®)г) нг = (агя1пгЕ+агсояг1) Нг аг,цг З.З. Механические приеоиепие иптеграеа первого рода 269 и гЬ = агй. В результате для момента внерции Уп плоской кривой 5 с учетом формулы (5.9) перехода от криволинейного интеграла к определенному можем записать 2х 2е аэ Г у2 гЬ а2 згп2 $ а сц (1 соз 2г) гЦ паз 2 г' ь о о Пример 5.8.
Найдем положение центра масс полуокружности Г с постоянной линейной плотностью р, заданной соотношениями х +уз =аз, х > О. Ясно, что центр масс полуокружности в силу симметрии расположен на оси Ох, т.е. усг = О. Для вычисления второй координаты центра масс используем параметрическое представление полуокружности в виде < Х=аСОЗФ, ~ гг и~ у=азгпФ, 2' 2 Тогда гЬ = ай (см. пример 5.7), и для проекции Хе вектора статического момента получаем Хе = хргЬ = асозЗ рагИ = 2ра2.
г и Масса гв полуокружности постоянной линейной плотности р пропорциональна ее длине и равна тра. Поэтому Хе 2ра2 2а хс= — = — =— га 7Гра 7Г г' 2о Итак, центр масс полуокружности расположен в точке ~ —; 0) . Притиженне материальной точки плоской материальной кривой. По закону Ньютона материальная точка М массой га притягивает материальную точку Мо массой гпо с 270 5. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ тотв Хв = С вЂ” сооавв гг тот, Ув = С з1па;.
г. Суммируя зти проекции по всем точкам материальной системы, получаем проекции Х и У равнодействующей сил притяжения, с которой материальная система притягивает точку Мо. У = ,'~ С я~~;. (5Л9) в=1 Х = ,'~ С ' созаб г7 в=1 в Рассмотрим теперь силу притяжения, с которой на точку Мо действует материальная кривая АВ. Полагаем, что распределение массы на материальной кривой характеризуется линейной плотностью р(М). Как и в предыдущих задачах, чтобы вычислить силу притяжения, сначала заменим материальную кривую системой конечного числа материальных точек, а затем перейдем к пределу. Разобьем кривую АВ точками Ао = А, Ам ..., А„= В на элементарные дуги А; 1А; с длинами Ьл; и на каждой силой С~,— "'в направленной от Мо к М, где г = г(МоМ)— расстояние между точками Мо и М, а С вЂ” гравитационная постоянная.
Если материальную точку Мо притягивает система материальных точек М;, е = 1,п, с массами т;, то равнодействующая всех сил притяжения равна сумме сил притяжения точки Мо отдельными точками М; этой системы. Рассмотрим систему материальных У ~И с ,. лРМв точек М;,е = 1,п, в координатной плос- ~ввв кости хОу (рис. 5.3). Чтобы вычислить ° Ио сумму сил притяжения точки Мо точками М;, достаточно найти суммы проекций этих сил на координатные оси Ох и О х Оу.
Пусть вектор г; = МоМ; составляРис. 5.3 ет с осью Ох угол а; и имеет длину г;. Тогда проекции Х; и У; силы притяжения точки Мо точкой М; равны 5.3. Мехавичеевие приаоеиеиив ивтеграаа первого рода 271 тор(М;)Ьв; . 1=1 1 х сигор(М1)15а1 Х=ЕС „г 1=1 1 Переходя в этих соотношениях к пределу при А = шах Ьв; -+ О, находим / р(М) вшО(М) гг(М) 1 р(М) соаа(М) гг(М) АВ АВ где г(М) = ~г(М)~ означает длину вектора г(М) = Мой, а а(М) — угол между этим вектором и осью Ох. Работа силы на криволинейном пути. Пусть материальная точка перемещается вдоль некоторой кривой АВ в плоскости хОу и в каждой точке М ее пути на точку действует сила Р(М). Выясним, как можно вычислить работу силы, действующей на материальную точку.
Будем считать, что кривая АВ является гладкой. Разобьем кривую АВ точками Ао = А, А1, ..., А„= В на элементарные дуги А, 1А; с длинами Ьв; и выберем на каждой из таких дуг точку М; (рис. 5А). Если выбранное разбиение кривой АВ достаточно мелкое, то можно принять два допущения: 1) перемещение материальной точки на участке А; 1А; ее пути является прямолинейным, т.е. вз положения А; 1 в поло- дуге А, 1А; выберем точку Ме(в;;91) (см. рис.
5.1). При достаточно мелком разбиении кривой АВ можно приближенно считать, как и в предыдущих задачах, что масса тп; каждой элементарной дуги равна р(М1)Ьв; и сосредоточена в точке М;. Мы приходим к задаче притяжения точки Мо системой и материальных точек. Для такой системы проекции Х и У равнодействующей сил притяжения могут быть найдены по формулам (5.19). Тем самым мы получаем приближенные формулы для равнодействующей сил притяжения, с которой точка Мо притягивается материальной кривой: 5.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 272 жение А; точка перемещается вдоль прямолинейного отрезка длиной Ьвб 2) сила, действующая на материальную точку при ее перемещении на участке А; 1А,, постоянна и совпадает с и'(М;). Рис. 5.4 При этих допущениях работа силы при перемещении материальной точки М из положения А; 1 в положение А, вдоль элементарной дуги А; 1А;, г = 1, п, может быть записана с по+ мощью скалярного произведения (Р(М;), А; 1А;). Суммируя работу силы по всем элементарным дугам А; 1А;, мы получаем приближенную формулу для работы А, которую сила совершает при перемещении материальной точки по криволинейному пути АВ: и А-~ (Г(М;), А; А).
(5.20) Погрешность этой формулы, определяемая принятыми допущениями, будет тем меньше, чем мельче разбиение кривой АВ. Поэтому естественно в качестве точного значения А работы принять предел суммы в правой части (5.20) при Л = = шах Ьл; -+ О, т.е. считаем по определению, что а А= 1пп ,'> (я(М,), А; 1А;).
в=1 (5.21) При Л -+ 0 длина Ьл; прямолинейного отрезка А; 1А; и длина Ьл; элементарной дуги А; 1А; являются эквивалентными о.З. Меаавивееиие прилоиевив иитеграва первого рода 273 бесконечно малыми. Кроме того, при малых А можно считать, что угол между векторами Р(М1) и А; 1А; есть угол р(М;) между и (М;) и касательным вектором к кривой в точке М;. Это позволяет записать равенство А = 1пп ~~ Р(М;) сов/3(М;) Ьеь Л-+О 1=1 (5.22) В этом равенстве сумма в правой части есть интегральная сумма для криволинейного интеграла первого рода. Поэтому А = Р(М) соа 33(М) ое.
(5.23) АВ Выражение Р(М)соа33(М) представляет собой проекцию вектора и (М) на касательный вектор к кривой АВ в точке М е АВ. Обозначим через Ф(М) единичный касательный вектор к кривой в точке М. Тогда Р(М) сов 13(М) = (Р(М), Ф(М)) [1П] и равенство (5.23) перейдет в равенство А = (Р(М), Ф(М)) ое. (5.24) АВ (и' (Ме), А; 1А;) = Р(х;,у1)Ьх1+ О(х,,у1)йу;. Следовательно, вместо (5.21) можно записать А= 11п1~) (Р(х;,уе)йх;+Я(х;,у1)Ьу1). (5.25) 1=1 Пусть Р(М) и Я(М) — проекции вектора й(М) на координатные оси. Вернемся к приближенной формуле (5.20). Обозначим через Ьх; и Ьу; проекции вектора А; 1А; на координатные оси. Тогда в соответствии с правилом вычисления скалярного произведения 274 5.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 5.4. Криволинейный интеграл второго рода Пусть на плоскости Оху задана кривая АВ и на этой кривой — непрерывные функции Р(х,у) и Я(х,у). Разобьем кривую АВ точками Ае = А, А1, ..., А„= В на элементарных дуги А; 1А1 и выберем на каждой дуге А; 1А; точку М;(х;;у;) (см. рис. 5.1). Обозначим через х;, у; координаты точки А;. Кроме того, обозначим через Ьх1 = х; — х; 1 и Ьу; = = у; — у; 1 проекции векторов А; 1А; на координатные оси Ох и Оу. Составим интегральные суммы ~~ Р(х;,у1)йх1 и ~1 Ч(х,,у;)Ьу1 (5.26) вдоль кривой АВ для функции Р(х,у) по переменному х и для функции 9(х,у) по переменному у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
