VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 37
Текст из файла (страница 37)
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ но словиям теоремы, двоиной р " интег ал в левон части Согласно условия ф а области интегрирозтого равенства сущ у еств ет, причем ормао ал . Учитывая ванна позволяет овеет и его к повторному интегралу. ч зто,получаем яг(х) — Ихф = <Ь вЂ” Иу = в а яг(х) ь ь — РЬ,р ( яг — |РЬ,г,( ))г*. (539) а а к иволинейного интеграла втоИспользуя правило вычисления кр 1' (см. 5.6), заключаем, что рого рода и его своиство | ь |' » ЕР РЕ а ь | Р~,г~Юг*= | г'(*,и)г.
АВ П ставляя зти соотношения в (5.39), находим одставляя | — йх йу = — / Р(х, у) йх — Р(х, у) йх. в РЕ П нее равенство не будет наруш ено, если в его правую оследнее раве часть дописать со знаком минус интегралы Р(х, у) йх и Р(х, у) дх, ВР Г ЕА 291 Л.7. Формула 1)гена равные нулю, так как они берутся вдоль отрезков прямых, параллельных координатной оси Оу. В итоге будем иметь 1дР / — г1х йу = — Р(х, у) йх — Р(х, у) гЬ— ду АВ вр — Р(х, у) г1х — Р(х, у) Ых = — Р(х, у) Нх, ЕА что доказывает равенство (5.38). Предположим, что замкнутая область Р не является правильной относительно осн Оу, но может быть разделена кусочно гладкими кривыми на конечное число замкнутых областей, правильных относительно оси Оу.
Записывал формулу (5.38) для каждой частичной области и суммируя полученные равенства, мы приходим к формуле (5.38) для всей области Р. В самом деле, рассмотрим, например, ситуацию, изображенную на рис. 5.9. Область интегрирования Р разбита на три частичные области Рм Рз и Рз, ограниченные контурами Ьг, Ью Ьз. В силу аддиогивносоги двойного интеерааа двойной интеграл по области Р равен сумме трех двойных интегралов по частичным областям: — Йх Йу = — Йх Йу+ — Ех Йу + — Йх Йу. Вг Вг Рмс.
5.9 ю 292 5. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В сумме трех криволинейных интегралов по границам частичных областей интегралы по кривым у1 и уз, которыми замнутая область Р была разделена на частичные области, встретятся дважды, причем с противоположными направлениями.
Поэтому эти интегралы взаимно уничтожаются, а сумма криволинейных интегралов по границам трех частичных областей оказывается равной криволинейному интегралу по границе замкнутой области Р: Рдх = Рдх+ Рдх+ Рдх. ь Ь| Х2 ьз Сопоставляя последние два равенства, приходим к формуле (5.38) для замкнутой области Р. Доказательство формулы аналогично и проводится в предположении, что замкнутая область Р либо является правильной в направлении оси Ох, либо может быть разделена на конечное число таких областей.
~ В связи с доказанной теоремой остановимся на следующем важном понятии. Плоскую область Р называют односвлзной областью, когда она обладает следующим свойством: если простой замкнутый контур Ь целиком лежит в области Р, то и область, ограниченная контуром Ь, целиком лежит в Р. Плоскую область, не являющуюся односвязной, называют мнозосвлэной областью.
Примером многосвязной области является кольцо 1 ( х~ + уз ( 2. Для многосвязной области характерно наличие отверстий („дырок"). В общем случае многосвязная область может иметь очень сложную структуру. Мы ограничимся рассмотрением частного случая многосвязной области, когда граница этой области состоит из конечного 293 о.7. Формула Грина числа попарно не пересекающихся контуров. В этом случае один контур Хе является внешним, а остальные контуры Х1, ..., Մ— внутренними (они ограничивают отверстия в области). Отметим, что положительным направлением обхода внешнего контура следует считать движение против часовой стрелки, а положительным направлением обхода внутренних контуров— движение по часовой стрелке, поскольку при таком движении область Р, ограниченная этими контурами, остается все время слева (рис.
5.10). РИС. о.10 В дальнейшем мы также будем говорить об односвлзноб (мноеосвлзноб) заланнутой области Р, имея в виду, что Р является замыканием односвяэной (многосвязной) области. Формулу Грина можно распространить на случай многосвязной замкнутой области Р, ограниченной внешним кусочно гладким контуром Хе и внутренними кусочно гладкими контурами Х,1, Хэ,..., Х„. Если функции Р(х,у) и ч(х,у) непрерывны в Р вместе со своими частными производными, то верна формула Грина длл ланоеосвлзноб области Рдх+ Яду = — — — ЫхНу, (5.40) 294 с.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ где символ у (криволинейный интеграл по границе замкнутой дВ области) обозначает сумму криволинейных интегралов по всем контурам, составляющим границу Р, каждый из которых обходится в положительном направлении. Чтобы доказать эту формулу, разрежем замкнутую область Р вдоль кривых, соединяющих внутренние контуры Х„с внешним контуром Хе (рис. 5.11). После таких разрезов мы получим односвязную область Р', ограниченную кусочно гладким контуром Х*, в который входят все разрезы. Для односвязной замкнутой области Р' верна формула Грина, т.е. Рйх+ Ядр = — — — Ыхду, Ь О' причем в криволинейном интеграле контур Х* обходится так, что область Р* остается слева.
Рис. 5.11 При интегрировании вдоль границы области Р* криволинейные интегралы по разрезам берутся дважды в противоположных направлениях и потому взаимно уничтожаются. Поэтому криволинейный интеграл по контуру Х ~, проходимому в положительном направлении, равен сумме криволинейных интегралов по всем контурам Х;, 1 = О, и, также проходимым в положительном направлении, т.е. криволинейному интегралу 295 бласти Р. Так как наличие разрезов вдоль границы исходнои о ас ) влияет на значение двойного интегра(множеств меры нуль) не алия ла заключаем, что верна формула (5.40). ла, закл Фо л Грина для многосвязнои области можно записать, г е области.
Если не используя понятия интеграла по границ Х. е=О и обходятся против часовой считать, что все контуры стрелки, то Одно иэ возможных применений форму о лы Грина — вычи" ф уры ограниченной кусочно гладсление площади плоскои фигуры, . Пло а ь замкнутой области Р равна двойному ким контуром. ощадь зам нтег альной интегралу с о встык бл интегрирования П и подынтеграл нкцией, тождественно рави равной единице. Подобрав функции фу да дР =1.
Р, с помо .ю фор. Р(х,у) и Я(х,р) так, что — — — = в Грина можем вычислить площадь ер кр ч ез иволинейный мулы ина м ) и ~~(х ) можно различ. Подбирать функции Р(х, у) и ~~(х,р) интеграл. од ые п остые: ными спосо ами, но, к б ак правило используют сам р 1 а) Р= — у, ЯслО; б) Р=О, Я=х; в) Р = — у/2, Я =х/2. Для этих трех вариантов имеем Я= Ихс~ = — У хсзр — у(Ь. 2 ь В качестве примера в ера вычислим по последней формуле плоом с пол осями а и Ь, заданщадь, к оторва ограничена эллипсом у 296 Е КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ным параметрическими уравнениями < х = асеев, й Е (О, 2х).
у=Ьзш Находим Йх = — азшИ1, ду = ЬсозИ1 и получаем Я = — ~ хау — уах = — ~ (аЬсоз 8+аЬз1пгг)ох = яаЬ. 27 2/ 5.8. Ъ"словил независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования Пусть в некоторой области Р в плоскости Оху заданы непрерывные функции Р(х,у) и Я(х,у).
Рассмотрим криволинейный интеграл второго рода общего вида 1 = Р(х,у) дх+ Я(х,у) ду, (5.41) АВ Теорема 5.4. Для того чтобы значение криволинейного интеграла (5.41) в области Р не зависело от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы для любого кусочно гладкого контура Р в Р выполнялось равенство Р(х,у)дх+ Я(х,у)ду = О. ь (5.42) где А — произвольная кусочно гладкая кривая, целиком лежащая в Р и соединяющая точки А и В этой области. Выясним условия, при которых значение такого интеграла зависит лишь от точек А и В и не меняется при изменении кривой, связывающей точки А и В (в таком случае обычно говорят, что интеграл нс зависит от пути интегрирования).
о.8. Условия иезависииости иитеграла от пути иитегрироваиия 297 Рис. 5.12 ~ Необходимость. Предположим, что значение криволинейного интеграла (5.41) не зависит от пути интегрирования. Произвольный контур Х, целиком лежащий в В, двумя любыми точками А и В разделим на две кривые АМ1В и АМзВ (рис. 5.12). Тогда, исходя из предположения, можно записать (аргументы у подынтегральных функций здесь и далее для краткости опущены) АМвВ АМ1 В Отсюда, учитывая свойства криволинейного интеграла второго рода (см. 5.6), получаем Рс1х+ Яс1у = Рс1х+ Яду+ Рс1х+ Яду = ВМ,А АМ1 В Рахн 19- Рах+д 9=9.
АМТВ АМ1В Достаточность. Пусть равенство (5.42) выполнено для любого контура Ь, целиком лежащего в области В. Выберем произвольные точки А и В в Р и соединим их двумя различными кривыми АМ1В и АМзВ, целиком лежащими в .О. Из этих кривых можно составить контур Ь (см. рис. 5.12). В силу 298 5. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ предположения и свойства 4' криволинейного интеграла второ- го рода (см. 5.6) имеем Рйх+ Яду = Рйх+ ЯИу+ Рйх+Яду = О.
АМ1 В ВША Так как при изменении направления обхода кривой криволиней- ный интеграл второго рода меняет знак (см. 5.6), из последнего равенства следует,что АМ1В Поскольку точки А и В, а также две связывающие их кривые были выбраны произвольно, заключаем, что криволинейный интеграл в области В не зависит от пути интегрирования. ~ | Р(х,у) дх+ Я(х,у) Ыу, А рассматривая точки А и В как нижний и верхний пределы интегрирования. Зафиксируем точку А Е .О. Тогда криволинейный интеграл от точки А до произвольной точки М(х; у) определяет в области О функцию (*э) Р(х,у) = Р(х,р)Их+Я(х,у)йу.
А (5.43) Пусть в области .0 криволинейный интеграл второго рода от функций Р(х,у) и Щх,у) не зависит от пути интегрирования. Тогда его значение определяется лишь начальной точкой А и конечной точкой В пути интегрирования. Учитывая зто, такой интеграл записывают в виде 5.8. Условия веэввисииости ивтегрвев от путя ивтегрироввиия 299 С помощью этой функции значение криволинейного интеграла можно вычислить для любой пары точек Мд(хд',уд) и Мг(хз;уг) в Р, а именно (веже) Г Р(х,у) с(х+ Я(х,у) Иу = Р(хо,уо) — Р(хд,уд).
(5.44) (*пи) Действительно, путь интегрирования от точки Мд до точки Мо можно выбрать так, что он будет проходить через точку А. Тогда в силу свойства аддитивности интеграл можно представить как сумму двух интегралов, первый — от точки Мд до точки А, а второй — от точки А до точки Мо. Значение первого интеграла с учетом направления будет равно — Р(хд,уд), значение второго — Р(хо, у2). Формулу (5.44) по аналогии с определенным интегралом часто называют (роряеулой явьдотпона — Лейбница для нриеолннейноео интеера ьа. Теорема 5.5.
Если функции Р(х,у) и Я(х,у) непрерывны в области Р, а криволинейный интеграл второго рода от этих функций в области Р не зависит от пути, то функция Р(х,у), определяемая равенством (5.43), имеет в Р непрерывные частные производные, причем '9Р(х у) Р( ) ~Р(х у) (,.(х ) (.. ),Р х у < Пусть М(х;у) — произвольная точка области Р. Выберем Б > 0 настолько малое, что Б-окрестность точки М целиком попадает в область Р. Для произвольного приращения Ьх, удовлетворяющего неравенству (Ьх~ ( 6, согласно формуле Ньютона — Лейбница, имеем (в+Ахи) Р(х+ Ьх,у) — Р(х,у) = Р(х,у) с(х+ Щх,у) с(у, (*и) 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
