VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 39
Текст из файла (страница 39)
дх др Используя формулу Ньютона — Лейбница, получаем >(з;з) У=хр~ =9 — 1=8. !(1,1) Пример 5.13. Вычислим криволинейный интеграл второго рода (3;О) 1= (5х +4хрз)1(х+(бхгрг — 5р )1(р. (-2;-1) В данном случае Р(х,р) = бх4+4хрз и щх,р) = бхгрг— — 5р . Нетрудно убедиться, что условие — = — выполнено на 4 аР ад ар Ъ всей плоскости хОу, т.е. подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции Р(х, р). Однако, в отличие от примера 5.12, найти эту функцию „с ходу" не удается. Поэтому прибегаем к непосредственному вычислению интеграла, выбирая путь интегрирования, проходящий сначала вдоль прямой х = — 2, а затем вдоль прямой р = О.
Используя формулу (5.50), находим 1=) (6(-2) Г -5У ) Ь+/5* а -1 — 2 =(8рз — р )~ +х ~ =8 — 1+243+32=282. 41 З 0 ~~ 0~~ -1 ~-г Рассмотрим более подробно задачу восстановления функции Р(х, р) по ее полному дифференциалу 1(Р(х, р) = Р(х, р) 1(х+ + Я(х,р)ор. Ясно, что решение такой задачи может быть о.й. Вычисление иатеграеа от полного лиффереициела 309 найдено с точностью до постоянного слагаемого. Применяя формулу Ньютона — Лейбница для криволинейного интеграла в случае фиксированной точки (хе,.уе) и переменной точки (х;у), заключаем, что (хи) Р(х,у) = Р(хд,уе)+ Р(х,у)йх+Я(х,у)с(у. (ноно) Поскольку искомую функцию можно изменить добавлением произвольной постоянной, то (хи) Р(х,д) = С+ Р(х,у) Их+ Я(х,у) Ыу, С = сопео.
(5.51) (хо'уо) Для вычисления криволинейного интеграла в правои части (5.51), как и выше, можно выбрать наиболее удобный путь интегрирования. Например, можно взять двузвенную ломаную из отрезков прямых, параллельных координатным осям. Тогда (5.51) преобразуется либо в равенство Р(х,р) = С+ Р(х,уе) 6х+ Щх,у) ф, (5.52) хо если движение из начальной точки идет по горизонтальному отрезку, либо в равенство Р(х,у) = С+ Щхо,у)ду+ Р(х,у)с(х, (5,53) хо если начальное движение идет по вертикальному отрезку. В качестве фиксиРованной точки (хе,уе) можно выбРать любую точку области П. З1О а кРиВОлинеЙные интеГРАлы Пример 5.14.
Найдем при помощи криволинейного инте. грала второго рода функцию Р(х, у), если йР(х, у) = (Зх — 2ху+ у~) Их — (х~ — 2ху+ Зд~) Иу. Сначала необходимо убедиться в том, что функция Р(х,у) существует. Непосредственной проверкой условия (5.45) убеждаемся, что выражение (Зхз — 2ху+ рз) Их — (хз — 2хр+ Зуз) Иу на всей плоскости хОу является полным дифференциалом. Полагая> что хе = ре = О в равенстве (5.52), получаем Р(х,у) =С+ Зх йх — (х~ — 2ху+Зу )6у= = С+х — х у+ху — р~.
Если же использовать формулу (5.53) при том же предположе- нии хе = уе = О, получим тот же результат: Р(х,у) = С вЂ” Зу Иу+ (Зх — 2ху+р~)сЬ = = С вЂ” рз + хз — хзу+ хуз. Дополнение 5.1. Криволинейный интеграл в многосвязной области Пусть функции Р(х,у), Я(х,у) являются непрерывными вместе со своими частными производными первого порядка в некоторой плоской многосвязной области Х1 (рис. 5.17) и в этой области выполняется равенство — = —. Сформулированные дР дЯ дв дх' условия отличаются от условий теоремы 5.4 только тем, что область не является односвязной, т.е. в этой области есть отверстия („ дырки" ), возможно, точечные.
Что в этом случае Д.б.1. Криаолииейимй иитеграл а миогоселэиой области 311 Рис. б.17 можно сказать об интеграле Р(х, у) дх+ Я(х, у) йу, ь (5.54) Р(х,р)дх+ Фхл) др = Р(х,р)~ + Их,р) ор. Если же контуры Хз и Хз пересекаются, то можно выбрать еще один контур Х', охватывающий то же отверстие, но не где Х вЂ” контур, целиком лежащий в области .О? Если контур Х не охватывает ни одного отверстия (например, контур Х1 на рис. 5.17), то его можно поместить в односвязную область В С Р и применить теорему 5.4. В результате получим, что интеграл (5.54) равен нулю. Если же контур охватывает хотя бы одно отверстие (например, контур Х| на рис.
5.17), то интеграл (5.54) может быть ненулевым. Однако можно утверждать следующее: все такие интегралы, взятые в положительном направлении по всевозможным контурам, охватывающим данное отверстие один раз, равны между собой. Действительно, пусть Хз и Ьз — контуры, охватыва; ющие одно и то же отверстие один раз (см. рис.
5.17). Если эти контуры не пересекаются, то они составляют границу двусвязной области. Применив формулу Грина дяя многосвязной обяастии, получим 312 8. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ пересекающийся ни с Ьэ, ни с Ьз (рис. 5.18). Тогда, как показано, интеграл по контуру Ь', с одной стороны, равен интегралу по контуру Хз, а с другой — интегралу по контуру Ьз. Значит, и в этом случае интегралы по контурам Ьз и Ьз совпадают.
Рис. 8.18 Общее значение всех криволинейных интегралов по любому простому контуру, обходящему только один раз данное отверстие в положительном направлении, называют циклической поспзолмноб данного отверстия. Для разных отверстий значения циклической постоянной в общем случае различны.
Пусть Ь вЂ” любой замкнутый контур, обходящий в положительном направлении только одно данное отверстие два раза (рис. 5.19). Тогда в силу свойства аддитивности криволинейного интеграла имеем Р(х, Я йх + Ц(х, у) йу = 2о, где о — циклическая постоянная данного отверстия. Если контур Ь обходит один раз в положительном направлении два отверстия (рис. 5.20), то Р(х, у) йх + фх, у) Пр = а1 + ог, где п1, оз — циклические постоянные этих отверстий. Д.5.1. Крвволввейвый иатеграл в ивогосвлэвой области 313 Рис. 5.19 Рис. 5.20 Рассмотрим четырехсвязную область с тремя отверстиями, имеющими циклические постоянные ст;, 1 = 1, 2, 3 (рис. 3.21).
Пусть контур Ь обходит в положительном направлении два раза первое отверстие, один раз второе и три раза третье. Тогда получим Р(х, у) с1х + Фх, у) с1у = 2г~ + (тг + Зпз. ь В общем случае и-связной области при обходе в положительном направлении каждого из и отверстий значение интеграла (3.54) увеличивается на соответствующую циклическую постоянную, а при обходе в отрицательном направленни — уменьшается на ту же циклическую постоянную. Таким образом, Рис.
5.21 5. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ где я; — разность числа обходов контуром Х отверстия с циклической постоянной о; в положительном и отрицательном направлениях. У Поскольку в многосвязной области значение криволинейного интеграла вдоль контура е может быть ненулевым, то, согласно теореме 5.4, интеграл в этой области зависит от пути. Рассмотрим две кривые АС1В и АС2В, соединяющие точки А Рис. 5.22 и В. Из этих двух кривых можно составить контур Ь = АС1ВС2А. Ясли контур Ь обходит в положительном направлении отверстие, имеющее циклическую постоянную и (рис.
5.22), то криволинейный интеграл вдоль этого контура равен о. С учетом свойств криволинейного интеграла (см. 5.6) заключаем, что АС1 В АСт В Интегралы вдоль кривых АС1В и АС2В будут равны, если составленный из этих кривых контур не охватывает ни одно из отверстий. Вопросы и задачи 5.1. Для криволинейного интеграла первого рода составить интегральную сумму функции Дх, у) = х+ у, соответствующую разбиению отрезка прямой р = х с концами (О;0) и (1;1) на п равных частей и выбору промежуточных точек Мь с абсциссами ~, я = 1, и. Вычислить предел этой интегральной и суммы при и — ~ оо. 315 Воиросы и задачи 5.2.
Для криволинейного интеграла второго рода АВ где А — отрезок с концами А( — 1; — 2) и В(2;4), составить интегральную сумму, которая соответствует разбиению отрезка АВ на о равных частей и выбору промежуточных точек /З — а — 2 бй — 2а — 4~ Мв~; ), й = 1, и. Вычислить предел этои интегральной суммы при и — ~ оо. 5.3. Вычислить криволинейный интеграл первого рода (х+ р) Ив АВ вдоль отрезка АВ с концами А(0;0) и В(1;1). Сравнить результат с пределом в задаче 5.1.
5.4. Вычислить сведуюпШе криволинейные интегралы первого рода: а) от функции У(х, р) = х+ р вдоль границы треугольника с вершинами А(0;0), В(1;0) и С(0;1); б) от функции Др) = р2 вдоль арки циклоиды х = а(Ф вЂ” вшФ), р = а(1 — сова), Ф Е [О, 2я]; в) от функции Дх, р) = ~хз + р2 вдоль окружности х2+ р2 = =ах; г) от функции у(в) = в вдоль конической винтовой линии х = Юсова, х = ввшв, в = 2, Ф Е [О, во]; д) от функции Дх) = хз вдоль линии пересечения сферы хз+р2+вз =а2 и плоскости х+р+ в= О. 5.5. Найти массу материальной кривой с линейной плотностью р = сопев, если кривая задана параметрическими уравнениями: а) х = е 2 сов1, р = е ~ вш$, в = е ~, Ф Е [О, 1п3]; б) х = 3$, р = 342, г = 222 (дуга кривой между началом координат и точкой А(3;3; 2)).
316 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 5.6. Найти массу материальной кривой х2/9+ 92/4 = 1, у < < 0 (нижняя половина зллипса), имеющей линейную плотность р(р) =-у 5.Т. Найти координаты центра масс однородных кривых: а) меньшей дуги окружности х2+ 92 = 4, заключенной между точками А(2;О) и В( — 1;~/3); б) границы сферического треугольника х2+ р2+ «2 = а2, х>0, у>0, «>О. 5.8. Для однородной дуги астроиды, заданной соотношени- 2/3 + 2/3 2/3 > О > О Ут статического момента, если линейная плотность дуги равна р. 5.9. Найти моменты инерции относительно осей координат одного витка однородной винтовой линии х = сов 3, у = зш$, « = = Ф/(2х), $ е [О, 2х), если ее линейная плотность равна р.
5,10. Найти проекции на оси координат силы, с которой материальная однородная полуокружность массой п3, заданная соотношениями х + у2 = а2, у > О, притягивает материальную точку Ме(0;0) массой п«е. 5.11. Криволинейный интеграл второго рода из задачи 5.2 свести к криволинейному интегралу первого рода и, вычислив его, сравнить с результатом, найденным в задаче 5.2.
5.12. Вычислить следующие криволинейные интегралы второго рода для указанных подынтегральных выражений: а) (4х+ у)~Ь+ (х+ 4д)йу вдоль кривой АВ с концевыми точками А(0; 0) и В(-1;1), заданной уравнением у = х3; б) (х+9) сЬ + (х — у) ф вдоль окружности (х — 1) 2 + (у — 1) 2 = = 4, проходимой в положительном направлении; в) (92 — «2)дх+ 2у«ду — х2<Ь вдоль кривой х = Ф, у = 32, « = 3~, $ Е [О, Ц, проходимой в направлении возрастания параметра $; г) (у~ — «~)сЬ+(«~-х )Ир — (х~-р~)И«вдоль границы сферического треугольника х2+92+ «2 = 1, х > О, у > О, «> О, 317 Вопросы и задачи направление обхода которого выбрано так, что движение от точки А(1;0;0) к точке В(0;1;0) происходит по кратчайшему пути.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
