VII Гаврилов Иванова Морозова Кратные и криволинейные интегралы.Элементы теории поля (1081400), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Теорема 6.2 (о2еорема о среднем). Пусть функция у (х, у, «) непрерывна на гладкой поверхности Я с площадью Я*. Тогда на этой поверхности существует такая точка («а; уа; «о), что выполняется равенство У(т,у «)оБ =У(жо уе,«о)Я ° Ф Как и в случае двойного интеграла, значение ~(те,уе,«е) называют средним значением функции ~(т,у,«) на поверхности Я.
а5. Прнюженнн поверхностного интеграла первого рода 341 6.5. Приложения поверхностного интеграла первого рода К = хр(х,у,«)ЫЯ, Кв — — ур(х, у, «) еБ, К, = «р(х,у,«) ИЯ, (6.31) где х, у, « — координаты точки М е Ф; в) координаты центра масс поверхности Ф имеют вид Кх хс= —, ус= — «с= — ' тп ' Щ П2 (6.32) В пространстве введем прямоугольную систему координат Охух с ортами (единичными векторами) в, .у, Й и рассмотрим материальную поверхность Ф, по которой распределена масса с поверхностной плотностью р(М) = р(х,у,«). Повторим описанный вьппе процесс разбиения поверхности (см. 6.4) на п частпичкых обдастпеб Ф;, 1 = 1, и, выбрав на каждои из них произвольную ~о~~у М;(х;;уб«;) ~=- Ф;. При этом полагаем, что при малых диаметрах 4 частичных областей Ф; поверхностная плотность распределенной по поверхности массы в пределах каждой частичной области постоянна и равна значению р(М1) = р(хоуе«~) При этих предположениях, как и в случае материальной кривой (см.
5.3), приходим к следующим выводам: а) масса всей поверхности Ф равна тп = р(М) ИЯ = р(х, у,«) сБ; (6.30) Ф Ф б) статические моменты этой поверхности относительно координатных плоскостей уО«, гОх и хОу равны 342 6. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ г) моменты инерции атой поверхности относительно, например, плоскости уОг, оси Ох и начала координат равны соответственно .Г„о.
— * р(х,у,») йБ, Ф ,Го„= (у +«)р(х,у,»)ЙБ, ,Г (х2+у2+»2)р(х,у,«)<У; д) проекции на координатные оси вектора г' силы притяжения, с которой материальная поверхность Ф притягивает материальную точку Мо(хо,уо,«о) массы о»о, равны соответ- ственно Р =Оо2о ~р(х,у,»)ИБ, Ф г' Оо2о Р(х у «)оБ Гу-уо Г« — «о Р, = Сто / р(х, у, ») йБ, (6.33) Приведенные соотношения связаны с приложениями поверхностного интеграла первого рода в механике. Аналогично можно получить формулы для вычисления величин, имеющих иной физический смысл.
В качестве примера найдем в некоторой точке Мо(хо> уо; »о) вектор Л напряженности злектрического поля, создаваемого заряженной поверхностью Ф с плотностью р,(М) = р,(х,у,«) где г = (х — хо)2+(у- уо)2+ (» — »о)2; с — гравитационная постоянная. 6.5. Лривоиеиии поверхиоетиого иитегрелв первого рода 343 распределения электрических зарядов.
Примем, что заряд элементарного участка Ф; С Ф этой поверхности, имеющего площадь Ьо;з з = 1, гзз равен оз = ре(М;)ЬБ; = р,(хо у;, «;)Ьо;з где М(х;; у;; «;) Е Ф; — произвольная точка этого участка. При ма; лом диаметре за участка Ф; можно считать, что этот заряд сосредоточен в точке М,. Из курса физики известно, что модуль вектора Е; напряженности электрического поля в точке Мо, находящейся на расстоянии г; = г(М Мо) = (х, — хо) + (у; — уо)г + («1 — «о)г от точечного заряда щ, расположенного в точке М;, равен в условиях вакуума (Е;~ = д;((4««ог~), где «о — электрическая постоянная.
Пусть сп — угол между вектором Е, и осью Ох. Тогда проекция этого вектора на ось Ох будет равна Узсоозхз Ре(хззузз«з)Ьоз хо — хз Ези = ~Е;~сояз«з— 4х«ог 4««ог; гз Суммируя выражения для проекций Ези по всем элементарным участкам Ф; з . Ф, з = 1, и, и переходя к пределу при е1 -+ О, где з1 = пзах 4, получаем проекцию на ось Ох в=1,п .Е, = 1ппу ч з Ре(хзз Узз«з)(хо — хз) я-+о ~ 4х«огз — Р'( ' ' )( ) (634) 3/2 4кео и ((х — хо)г+(у — уо)г+(« — «о)г) Ф вектора Е напряженности в точке Мо электрического поля, создаваемого поверхностью Ф. Аналогично можно найти выражения для проекций 1 / р,(х,у,«)(уо — у) 4х«о л ((х — хо)' + (у — уо)' + (« — «о)') 1 ( Ре(х У «)(«о — «) Е, = — 1' г з~гз' 4х«о.з ((х — хо)'+(у-уо)г+(« — «о)г)з 344 6.
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ( Ре(ге х) 4ясе./ ((, — )г+рг+ г)з(г — 1, (6.35) 16игео У (Дг+ гг 2гох)з/г 16ягео Ф о где через 1 обозначен поверхностный интеграл по сфере Ф. Также в силу симметрии Е = 0 при гя = О, т.е. в случае размещения точки Ме в центре сферы. Координатная плоскость хОу делит сферу Ф на две поу Фи, ~ хи~ *= ии- '-Р =-Л':Р* ~ д " у гу- О=1(х;р) ~З1г: х'+р'< Нг1. Для каждой из полусфер имеем ( †) = Вл~г рг ар/ Лг-х -р ( —.) = Вх~г В.1 Дг .г рг этого вектора на оси Оу и Оя соответственно. В итоге Е = — Ехз + Еуу + Ел й.
Пример 6.6. Электрический заряд Я равномерно распределен по сфере Ф радиуса В. Найдем вектор Е напряженности электрического поля в вакууме, создаваемого сферой, в точке Ме, находящейся на расстоянии ге от центра сферы (ге у~ В). Поместим в центре сферы начало прямоугольной декартовой системы координат так, чтобы ось Ох проходила через точку Ме, которая в этом случае будет иметь координаты Ме(ге,.О;0). Тогда в силу симметрии Ея — — Е, = 0 и .Е = Е. з, причем, учитывая (6.34) и уравнение сферы хг+ рг+ хг = Яг, имеем б.о. Прилоиеиил поверхвоетиого ивтеграеа первого рода 345 Поэтому с учетом (6.28) и равенства (х — го) + у + яг = Вг+ + тог — 2гох, заключаем, что поверхностный интеграл Х в (6.35) равен удвоенному двойному интегралу по кругу Р: то — х гедхду фг + „ог 2„ох)з/2 222 хг 2 ' )2 При изменении переменного интегрирования х на отрезке [ — Н2 В] имеем -2/Ж-х~ (у ( ъlгег — х .
В результате полуго — х Айхалу (Вг+ гог 2гох)з/г )22 хг рг (го — х) 4х ( 2Ь вЂ” )Л, о' — 2~.)~Л ) 2ге': г — 2 -н — /йг:ег = 2ге (Кг+ г' — 2гох)з/2 ~ ~~6:хг [,/йг: —.,/' и И = 2вге (го — х) сЬ ~гВ ( (2тог 2гох) 2/х (Рг+тг 2„)з/г, / ()22+гг 2„.)з/г -и -В Я г г )ГЛЛ /' ИХ 'о и | ~Ь + "~ „г г з/г 2 2)Л 2~2-2~ Л 2 )Л 2 — 2~ ) — н -н г г и ,— Л 2 2 Л 2~-2~ ~. Л 2 Л.2 — 2 Подставляя пределы и учитывая, что все радикалы неотрица- тельны, находим Я го[ Я+го) го В ( 1 1 346 6.
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Если г'о ( В, то ~ — то~ =  — го и В-го — (В+го) го-В к 1 1 г +яВ 'о г'о  — го В+ го г'о — В В+го-В+го = — +яВ = О. го г2 В2,2 о Таким образом, в соответствии с (6.35) заключаем, что Е = О внутри сферы, т.е. электрическое поле отсутствует. При го ) В имеем ( — го~ = го — В и го —  — (В+го) г'о — В ( 1 1 ) 1= — яВ +яВ го го го — В В+го 2яВ' гог Вг В+го — го+В 4яВ~ 2 ™ 2 2 2 2 'о 'о 'о 'о Учитывая (6.35), получаем 4яВз 16язео гол 4ясого ' т.е. сфера с равномерно распределенным электрическим зарядом Я создает в окружающем пространстве такое же электрическое поле, что и точечный заряд Ц, помещенный в центр сферы.
Отметим, что к интегралу по х при вычислении 1 можно прийти и иным путем. Сферу можно рассматривать как поверхность вращения полуокружности, заданной уровнением у(х) = ~/В' — хз, вокруг оси Ох. Тогда для дифференциала площади поверхности сферы находим ИЯ = 2яу(х)(Ь(х), причем дифференциал длины дуги полуокружности равен 347 6.6. Поверхвоетвый ввтеграл второго РоМа Таким образом, оБ = 2хВНх, и после подстановки оо в (6.35) получаем для поверхностного интеграла 1 выражение Х= (го — х) д~ / (гв — х) дх =2.В / (В'+ гг — 2гвх)Ю,( (В~+ г'-2твх)аг~ в -Я Используем его для нахождения Ев в случае гв = В, когда точка Мв находится на поверхности сферы.
Тогда приходим к сходящемуся несобственному интегралу ( ( — х) дх я )г дх / (2В2 2Вх)а/а ЯВ Вг ~Я вЂ” х -Я -Я 2х = — — ~Я вЂ” х = 2гг. ~/2В В! в Учитывая (6.35), находим Ев = Я/(8яевВ~). Таким образом, функция Е (те) при тв = В имеет точку разрыва первого рода, причем значение Ев(В) равно полусумме пределов функции Е(гв) при гв — ~  — О и гв — ~ В+ О. 6.6.
Поверхностный интеграл второго рода Пусть Ф вЂ” кусочно гладкая ограниченная двусторонняя поверхносгпь. Выберем одну из сгпорон поверхности Ф с помощью единичного вектора и; = гв(М) норлгвли н этой поверхносгаи. Координатами вектора и являются его направлвюигие косинусы сов гг, сов,0, сову, представляющие собой функции точки поверхности. Зададим на поверхности Ф три функции Р(М), Я(М), В(М). Поверхностный интеграл первоео рода вида (Р(х, у, и) сов гг+ Я(х, у, х) совр + В(х, у, х) соту) д$ (6.36) 348 б.ПОВЕРХНОСТНЫЕИНТЕГРАЛЫ называют поверхностпнььм иптеера.аом втпороео родо от функций Р, Щ В. Поверхностный интеграл второго рода фактически представляет собой сумму трех отдельньпс интегралов, соответствующих трем подынтегральным функциям Р(х,у,х), Я(х,р,л) и В(х,у,л). Рассмотрим первый из этих интегралов. Входящее в него выражение сое авЯ можно рассматривать как проекцию элемента площади вЯ на координатную плоскость уОз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
